精品解析：广东省深圳市龙华区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025 学年第一学期 中段学情检测 九年级 数学 试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1． 答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名和考生号； 将条形码横贴在答题卡指定区域． 2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 不能答在试卷上． 3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一． 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，根据一元二次方程的概念进行解答即可． 【详解】解：A． 该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．该方程中含有一个未知数，但未知数的指数为1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程不是整式方程，故此选项不符合题意； D．该方程符合一元二次方程的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 一组数据为， 2， 3， 4， 6， 6， 从这组数据中抽取一个数， 抽到的数为6的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件的概率，解题的关键在于正确掌握概率公式．根据概率公式求解，即可解题． 【详解】解：这组数据为， 2， 3， 4， 6， 6，共有6个， 其中数为6的有2个， 抽到的数为6的概率是， 故选：A． 3. 如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似之比为，相似三角形对应边上的高的比等于相似比， ∴这两个三角形对应边上高的比为， 故选：B． 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】由的取值可快速判断，根据可知方程有两个不相等的实数根． 【详解】由得， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，可以利用的值进行快速判断方程根的个数． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比1∶2，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘即得D的坐标． 【详解】解∶∵在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比1∶2，若点， ∴其对应点D的坐标为，即， 故选∶A． 6. 如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离，已知某一时刻的地面的影长，在地面的影长，则窗户的高是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查投影及平行线所截线段对应成比例，解题的关键是根据管线性质得到．根据和表示射入室内的光线，得到，再根据平行线所截线段对应成比例即可得到，即可得到答案． 【详解】解：∵和表示射入室内的光线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于H，连接； ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在正方形中，点 M 是边的中点，连接，将沿直线向正方形内翻折，点 B 的对应点为点 N，连接，，则 等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，连接，利用正方形性质，折叠的性质证明，推出，，结合等腰三角形性质得到，设，，结合勾股定理推出，，进而得到，再利用等面积法求出，即可解题． 【详解】解：延长交于点，连接， 四边形为正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ，， ， ， ，， 即平分， ， ， 设，， ， 点 M 是边的中点， ， ，即， ， 即， 整理得， ， ， ， 解得， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形性质，折叠的性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于利用等面积法求出． 二． 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质；设，代入计算即可． 【详解】解：， 设， ， 故答案为：． 10. 在一个不透明的袋子里装有红球和黄球，共有20个球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在，则袋中黄球有_________个． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握利用频率估计概率是解题关键．先求出每次从袋子中摸出一个球是黄球的概率是，再利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在， ∴每次从袋子中摸出一个球是黄球的概率是， 设袋中黄球有个， 则， 解得， 故答案为：13． 11. 如果m是关于x的一元二次方程：的根，则代数式的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，将方程的根m代入方程中求解即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴，则， ∴， 故答案为：2025． 12. 如图，在矩形中，，为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的点处，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考出来了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，由折叠和矩形的性质得到，，利用勾股定理得出的长度，进而得到的长，在中求解的长即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理可得： 即 解得：， ∴， 故答案为：． 13. 在菱形中，，连接，点M 为线段上一动点（不与点A，点C重合），点N在线段上，且 则 最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】连接交于点O，以为边在下面作等边，连接，根据等边三角形和菱形的对称性知点E、B、D共线，根据，得，得是等边三角形，得，，根据，得，得，得，根据，得，∴，根据，得，得，得，得，根据，得的最小值为12． 【详解】连接交于点O，以为边在下面作等边，连接， 则， ∴点E在垂直平分线上， ∵菱形中，与互相垂直平分， ∴点E、B、D共线， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点M运动到上时，取得最小值，为， ∴， 即的最小值为12． 【点睛】本题主要考查了菱形和三角形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形判定和性质，含的直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 三．解答题（本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解方程：； 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴或， ∴，． 15. 深圳市某中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数为 人； （3）学校在竞赛成绩为A 等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）400，见解析 （2）800 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图与扇形图的综合应用，利用样本估计总体，树状图求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用C等级的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出D等级的人数，补全条形图即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（名）； D等级人数为：，补全条形图如图： 故答案为：400． 【小问2详解】 （人）； 故答案为：800 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种 ∴P（甲、乙两人同时被选中）． 16. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，，，，均在格点上． （1）在图中，， 相交于点， 则 的值为 ； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； 如图，在线段上找一点， 使； 如图，在线段上找一点 ， 使 ． 【答案】（1）； （2）见解析；见解析． 【解析】 【分析】（）可证得，进而得出结果； （）格点，满足，，，连接，交于点，则； （）格点满足，，，连接，交于点则 ； 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握有关基础知识． 小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 格点，满足，，，连接，交于点，则，理由如下： 由（）得，， ∵， ∴； 如图， 格点满足，，，连接，交于点则，理由如下： 由上可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17. 如图：在菱形中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的性质与判定是解本题的关键． （1）证明且，AD＝EF，可得四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）设，则，在中，，则，再解方程即可． 【小问1详解】 证明：∵在菱形中， ∴且， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵菱形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 18. 深圳市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮． 景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚． （1）设每一枚纪念币降价元，则每天可销售 枚（用含的代数式表示出来）； （2）若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元? 【答案】（1）； （2）每枚纪念币应降价元． 【解析】 【分析】（）根据题意列出代数式即可； （）设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚，依题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 【小问1详解】 解：每一枚纪念币降价元，则每天可销售枚， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每一枚纪念币降价元，则每天可售出纪念币枚， 依题意得：， ∴， 解得：，， ∵想尽可能地减少库存， ∴取， 答：每枚纪念币应降价元． 19. 如图， 在菱形中，，点E，点F 分别在上． （1）如图1，若点E， 点F 分别是的中点， 则 °； （2）如图2，若满足， 求证：是等边三角形． （3）如图3，若点E为的中点，，点G、点H 分别在，上，且，求和之间的数量关系． 【答案】（1）60 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质及平行四边形的判定与性质； （1）连接，得到都是等边三角形，根据三线合一性质求出即可； （2）连接，得到是等边三角形，证明，进而证明结论； （3）连接，过点B作交于点P，交于点Q，先证明，设，求出，，即可求出结论； 【小问1详解】 解：连接， 在菱形中，， 都是等边三角形， ∴， 点E， 点F 分别是的中点， ， ； 故答案为：60； 小问2详解】 证明：如图2，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； 【小问3详解】 如图3，连接，过点B作交于点P，交于点Q， 在菱形中，， 四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， 设， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 20. 问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 如图1， 已知是的角平分线， 可证 探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明 【问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系： ； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明： 【结论运用】 （2）如图3， 在中，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是上的点，的交点为P，若平分，求证：． 【答案】（1）①；②见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质得出，进而得出，从而得出结果； ②可证得，从而得，进一步得出结论； （2）过点B作平分，可证得，从而得，从而得出的值，的值，根据得出结果； （3）延长交于点G，得出，可证得，得到，进而得出，从而得出，即可求出结果． 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造角平分线性质的基本图形． 【详解】（1）①（或者相等），理由如下： ∵ ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵ ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴； （2）过点B作平分 ∵ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 由（1）结论得： ∴ （3）延长交于点G ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵平分 由（1）结论得： ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年第一学期 中段学情检测 九年级 数学 试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1． 答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名和考生号； 将条形码横贴在答题卡指定区域． 2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号； 不能答在试卷上． 3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一． 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各方程中，属于一元二次方程的是（　　） A B. C. D. 2. 一组数据为， 2， 3， 4， 6， 6， 从这组数据中抽取一个数， 抽到数为6的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比1∶2，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离，已知某一时刻的地面的影长，在地面的影长，则窗户的高是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A. B. C. 3 D. 8. 如图，在正方形中，点 M 是边的中点，连接，将沿直线向正方形内翻折，点 B 的对应点为点 N，连接，，则 等于（　　） A. B. C. D. 二． 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则______． 10. 在一个不透明的袋子里装有红球和黄球，共有20个球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在，则袋中黄球有_________个． 11. 如果m是关于x的一元二次方程：的根，则代数式的值为______． 12. 如图，在矩形中，，为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的点处，则的长是________． 13. 在菱形中，，连接，点M 为线段上一动点（不与点A，点C重合），点N在线段上，且 则 的最小值为________． 三．解答题（本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 解方程：； 15. 深圳市某中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数为 人； （3）学校在竞赛成绩为A 等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 16. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，，，，均在格点上． （1）在图中，， 相交于点， 则 的值为 ； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； 如图，在线段上找一点， 使； 如图，在线段上找一点 ， 使 ． 17. 如图：在菱形中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 18. 深圳市某景区是级旅游景点，国庆黄金周期间，景区内游客如潮． 景区内部旅游纪念币是热销文创工艺品，每一枚纪念币的成本为元，景区内某商店国庆期间推出了优惠活动，根据销售经验，当定价为元时，平均每天可售出枚． 若每一枚纪念币的售价每降低元，平均每天可多售出枚． （1）设每一枚纪念币降价元，则每天可销售 枚（用含的代数式表示出来）； （2）若该商店想通过售出这批纪念币每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每一枚纪念币应降价多少元? 19. 如图， 在菱形中，，点E，点F 分别在上． （1）如图1，若点E， 点F 分别是中点， 则 °； （2）如图2，若满足， 求证：是等边三角形． （3）如图3，若点E为的中点，，点G、点H 分别在，上，且，求和之间的数量关系． 20. 问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 如图1， 已知是的角平分线， 可证 探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明 【问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系： ； ②请参照探究小组提供思路，利用图2证明： 【结论运用】 （2）如图3， 在中，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是上的点，的交点为P，若平分，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$