精品解析：天津市第十四中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

十四中高三12月月考题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数给出下列结论： ①的周期为； ②时取最大值； ③的最小值是； ④在区间内单调递增； ⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号题（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③ 8. 在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题 10. 是虚数单位，复数___________. 11. 若的展开式中的系数为，则实数的值为__________. 12. 已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则____________ 13. 袋中装有大小､形状完全相同的2个白球和4个红球，每次抽取1个球.若无放回的抽取，已知第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率是__________；若有放回的抽取，则在3次抽取中恰有2次抽到白球的概率是__________. 14. 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________. 15. 已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为______． 三、解答题 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求的值； （2）若， （i）求的值； （ⅱ）求的值. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 18. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. （1）求证：平面平面PAD； （2）求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值； （3）求B点到平面EAC的距离. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）设，讨论函数的单调性； （3）若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十四中高三12月月考题 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，排除选项C；再利用特值排除选项AB，进而得到正确选项D. 【详解】函数定义域为， 则函数为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项C； 又，排除选项AB； 故选：D 4. 已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间线线的关系、面面平行、面面垂直的判定定理和性质逐一判定各选项，即可得出结论. 【详解】对于A，若，，则或，则m，n相交、平行、异面都有可能，A错误； 对于B，若，则与相交或平行，B错误； 对于C，若，则，又，则或，C错误； 对于D，由，得或，若，则存在过的平面与相交， 令交线为，则，而，于是，；若，而，则， 因此，D正确. 故选：D 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数的运算性质变形可得. 【详解】，，， 所以. 故选：C. 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 7. 已知函数给出下列结论： ①的周期为； ②时取最大值； ③的最小值是； ④在区间内单调递增； ⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号题（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】先由降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式、最值性质、单调性，结合正弦型函数图象变换性质逐一判断即可. 【详解】因为 . ①因为，所以①正确； ②因为，所以②错误； ③当，即时， 取最小值，且最小值是，所以③正确； ④当时，由 知在区间内并不单调，故④错误； ⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度， 可得到函数，故⑤错误. 故正确的是①③. 故选：B. 8. 在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理及三点共线即可求解. 【详解】 由题意可得：， ， 设， 则, 又三点共线，所以， 解得， 所以， 故选：A 9. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图像的一部分， 可得，且，所以圆柱的底面直径， 设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，可得， 所以，由勾股定理得，解得. 故选：A. 二、填空题 10. 是虚数单位，复数___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据虚数的性质，先计算，然后代入原式，利用复数的四则运算法则计算求解. 【详解】已知 所以. 故答案为： 11. 若的展开式中的系数为，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：可使用二项式展开式的通项公式，通过已知条件，使用待定系数法，求解出参数的值； 法二：可以将此二项式看成6个这样的式子乘在一起，两项和看看怎样组合，能得到，即可完成等量关系的建立，从而完成参数的求解. 【详解】法一：展开式第项 时，，，，. 故答案为：2. 法二：展开式中，要想凑出，必须取三次方，也取三次方，于是算下系数就有，. 故答案为：2. 12. 已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆关于直线对称，得到直线经过圆心，求出圆心，再运用弦长公式求解即可. 【详解】圆0，即，圆心， 因为圆关于直线对称，所以，解得， 所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离， 所以． 故答案为：. 13. 袋中装有大小､形状完全相同的2个白球和4个红球，每次抽取1个球.若无放回的抽取，已知第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率是__________；若有放回的抽取，则在3次抽取中恰有2次抽到白球的概率是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算即可得到结果；根据二项分布的概率计算公式，即可得到结果. 【详解】设第一次抽到白球为事件，第二次抽到白球为事件，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为， 因为，， 所以. 若有放回的抽取，设在3次抽取中抽到的白球个数为，则服从二项分布，即，所以. 故答案为: ;. 14. 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件得出上且仅有2个零点，则列不等式组求参即可. 【详解】因为上有且仅有2个零点， 所以， 所以. 故答案为： 15. 已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示______；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，，可求得；向量在向量上的投影向量的模为，计算可求得最小值. 【详解】根据题意，可得， 由点是中点，可得， 所以， 向量在向量上的投影向量， 因为，所以， 所以向量在向量上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时取等号， 所以向量在向量上的投影向量的模的最小值为. 故答案为：①；②. 三、解答题 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求的值； （2）若， （i）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理运算求解； （2）（i）利用余弦定理运算求解；（ⅱ）根据三角恒等变换运算求解. 【小问1详解】 由，且C是三角形的内角，则， 因为，由正弦定理得， 所以. 【小问2详解】 （i）由余弦定理得， 即，解得或. （ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得， 所以， ， 所以. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 【答案】（1） （2）（i）；1；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由图可知，，求出周期，再利用周期公式可求出，再将代入可求出，从而可求出的解析式； （2）（i）根据三角函数图象变换规律求出，进而可求；（ii）由求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出其值域. 【小问1详解】 由图可知，，，所以，. 将点代入得，. 又，所以， 所以. 【小问2详解】 （i）将的图象向左平移个单位长度， 得， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 所以， 所以； （ii）因为，所以，， 所以， 所以， 所以， 故在上的值域为. 18. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点. （1）求证：平面平面PAD； （2）求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值； （3）求B点到平面EAC的距离. 【答案】（1）证明:由题可知，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示 则， 所以， 由，得， 由得， 又,平面PAD，所以平面, 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用两向量的数量积的坐标表示及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解； （2）求出平面EAC与平面ACD的法向量，利用向量的夹角公式及面面角的定义即可求解； （3）根据（2）得出平面EAC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则，所以， 由题意知，平面，平面ACD的法向量为, 设平面EAC与平面ACD夹角的，则 ， 所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量为， 设B点到平面EAC的距离为，则 ， 所以B点到平面EAC的距离为. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 椭圆C 的右焦点到直线的距离为， 可得： 因为， 所以解得， 由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由 即椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点 可得：， 即， 所以由直线与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去y得： 设两交点，则有 又椭圆左焦点到直线的距离为 所以 解得： 或 (舍去)，即 ; ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点， 且， 可知直线方程为，与椭圆 联立方程组， 消去y得：由 且， 解得 设两交点， AB中点，则有 所以 即 整理得 又因为 所以 当且仅当时，所以， 则 . 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）设，讨论函数的单调性； （3）若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数中，对函数求导，求出切线斜率，利用点斜式即可； （2）先对原函数求导，然后利用分类讨论的思想进行分析求解即可； （3）构造函数，将问题转化，然后利用函数导数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ， ， ， 当时，， 切点坐标为， 又，切线斜率为， 曲线在处切线方程为： . 【小问2详解】 ，， ，， ，， ①当时，成立， 的单调递减区间为，无单调递增区间. ②当时，令， 所以当时，，在上单调递减 时，，在上单调递增 综上: 时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问3详解】 ， ， ， 令，， 由已知可得： 且， 的单调区间是 ，， 时，恒成立， ，， 令，，即证，， 成立， 的单调递减区间为， ， 恒成立， 综上：的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $