精品解析：广西壮族自治区崇左市宁明县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024秋季学期九年级数学12月份月考试卷 一、选择题（共12题， 每题3分， 共36分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的性质，根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可． 【详解】解：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 3. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值． 【详解】∵∠C=90°，BC=1，AC=2， ∴tanA=． 故选B． 4. 在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A的余弦值（ ） A. 扩大4倍 B. 保持不变 C. 缩小4倍 D. 扩大2倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余弦值保持不变． 故选B． 【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 5. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，转化为有2个相等的实数根，即可求解． 【详解】解：依题意，中，， 解得： 故选：B． 6. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为2，则的周长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的周长之比等于位似比，根据，得到，确定位似比计算即可． 【详解】∵与是位似图形，点O为位似中心，． ∴， 根据位似图形的周长之比等于位似比，的周长为2， ∴， 解得， 故选B． 7. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例系数为－3得出函数图象位于二、四象限，根据函数值出利用点的坐标得出A、B两点在第四象限即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大， 又∵， ∴，在第四象限图象上， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质的应用，掌握根据比例系数判断图象位置以及各象限函数的增减性是解答此题的关键． 8. 如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（　　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过B点作BD⊥AC，得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果． 【详解】 解：过B点作BD⊥AC，如图， 由勾股定理得， AB= AD= cosA= 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键． 9. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的判断，可分和两种情况讨论函数图象经过的象限进行判断即可 【详解】解：当时，，则一次函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数的图象分布在第一、三象限，选项A、B、C、D没有符合条件的； 当时，，则一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，选项A符合条件，B、C、D不符合条件的； 故选：A 10. 已知在中，，D，E分别是边上的点，且．若和相似，则（　　） A. 5 B. 3 C. D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，对应边成比例，由此即可求解． 【详解】解：①如图所示，， ∴，， ∴； ②如图所示，， ∴， ∴， 综上所述，AE的长为3或， 故选：D． 11. 如图，过函数 的图像上两点 做轴的垂线，垂足分别为，与相交于，若图中三角形的面积记为 ，图中梯形形的面积记为，则和的大小关系是（ ）（图中阴影的面积） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数中比例系数的几何意义，根据比例系数几何意义得，则，即有，从而求解，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵是函数的图象上两点， ∴根据比例系数几何意义得：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 12. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】AB被截成三等分，可得AB=3AE，AF=2AE，由EH∥FG∥BC，可得△AEH∽△AFG∽△ABC，则S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2，S阴影= S△AFG- S△AEH =S△ABC． 【详解】∵AB被截成三等分， ∴AB=3AE，AF=2AE， ∵EH∥FG∥BC， ∴△AEH∽△AFG∽△ABC， ∴S△AEH：S△AFG：S△ABC=AE2：AF2：AB2=AE2：（2AE）2：（3AE）2=1:4:9， ∴S△AEH= S△ABC, S△AFG=4 S△AEH， S阴影= S△AFG- S△AEH=3 S△AEH=3× S△ABC=S△ABC． 故选择：C． 【点睛】本题考查阴影部分面积问题，关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，找到阴影面积与△AEH的关系，由△AEH与△ABC的关系来转化解决问题． 二、填空题（共6题，每题2分，共12分） 13. 在直角三角形中，，且，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系是解题的关键．根据三角函数的性质，一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，由此即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 14. 平面直角坐标系内有一点，那么与x轴正半轴的夹角为，________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点P作轴于点A，由P点的坐标得、的长，根据正切函数的定义得结论． 【详解】解：过点P作轴于点A，如图： ∵点， ∴，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 15. 若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________． 【答案】30°或150° 【解析】 【详解】当该三角形为锐角三角形时，如图1， ∵sin∠A=， ∴∠A=30°，即△ABC的顶角为30°； 当该三角形为钝角三角形时，如图2， 在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=， ∴∠BAD=30°， ∴∠BAC=150°，即△ABC的顶角为150°； 故答案为30°或150°， 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 16. 已知中，，都是锐角，且，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质确定，，再根据特殊角的三角函数解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数最值，由求出，，再得出直线解析式为，设，则，则，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，令得， ∴， 令得或， ∴， 设直线直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 故答案为：． 18. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有 已知 厘米， 那么________厘米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，根据五角星是正五角星得到，再代入式子中计算即可． 【详解】解：∵五角星是正五角星 ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：2． 三、解答题（共8题，共72分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）将特殊角的三角函数值代入计算，最后算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 如图， 已知直线分别截直线于点，，，截直线于点，，， 且，若，，求的长． 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例即可求解，掌握平行线分线段成比例的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 21. 如图， 已知正方形 的边长为4， 点 M， N分别是 ， 上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． （1）求证：； （2）当M为中点时， 求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； （2）由M为中点时，可得，由相似三角形的性质可得：，可得，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形 的边长为4， ∴，， ∵M为中点时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 22. 小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为，向楼房前行在B点处测得楼房顶端D点的仰角为，已知测角仪的高度是（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果取整数） 【答案】楼房的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得,再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴, 在中，， ∴． 答：楼房的高度约为． 23. 在三角形中，， （1）求三角形的面积． （2）求角A的对边a的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形，熟练应用特殊角的三角函数值是解题关键， （1）作于点H，先求出，即可求出结论； （2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出结论即可； 【小问1详解】 解：作于点H， 在中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：在中，，， ， ， ， 在中， ． 24. 如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点． （1）求，的值； （2）请你根据图象直接写出不等式 的解集． 【答案】（1）,； （2）或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可解决问题； （）利用图象法即可解决问题，写出直线的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可； 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象交反比例函数图象于，两点， ∴，， ∴,； 【小问2详解】 解：根据图象可知，不等式 的解集为或． 25. 如图， 已知抛物线 与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点 的坐标是， （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式； （2）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； 【小问2详解】 如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形，， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 26. 如图， 在菱形中，，点 E是边的中点， 连接． （1）求的长；（结果保留根号） （2）点F 为边上的一点， 连接， 交于点G， 连接， ． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1） （2）①证明：， ， ， 又， ； ② 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长即可； （2）①求出，结合对顶角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似，即可得出结论； ②作于H，证明，得到，勾股定理求出的长，在中，求出的长，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ∵点 E是边的中点， ，， ． 【小问2详解】 解：①略 作于H． ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024秋季学期九年级数学12月份月考试卷 一、选择题（共12题， 每题3分， 共36分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角A的余弦值（ ） A. 扩大4倍 B. 保持不变 C. 缩小4倍 D. 扩大2倍 5. 抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 6. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为2，则的周长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（　　）． A. B. C. D. 8. 如图，△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（　　　） A. B. C. 2 D. 9. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知在中，，D，E分别是边上的点，且．若和相似，则（　　） A. 5 B. 3 C. D. 3或 11. 如图，过函数 的图像上两点 做轴的垂线，垂足分别为，与相交于，若图中三角形的面积记为 ，图中梯形形的面积记为，则和的大小关系是（ ）（图中阴影的面积） A. B. C. D. 不能确定 12. 如图，是等边三角形，被一平行于的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是的面积的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题2分，共12分） 13. 在直角三角形中，，且，则 ________． 14. 平面直角坐标系内有一点，那么与x轴正半轴的夹角为，________． 15. 若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________． 16. 已知中，，都是锐角，且，则________度． 17. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是______． 18. 如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有 已知 厘米， 那么________厘米． 三、解答题（共8题，共72分） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图， 已知直线分别截直线于点，，，截直线于点，，， 且，若，，求的长． 21. 如图， 已知正方形 的边长为4， 点 M， N分别是 ， 上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． （1）求证：； （2）当M为中点时， 求的面积． 22. 小明利用所学三角函数知识对小区洋房的高度进行测量．他们在地面的A点处用测角仪测得楼房顶端D点的仰角为，向楼房前行在B点处测得楼房顶端D点的仰角为，已知测角仪的高度是（点A，B，C在同一条直线上），根据以上数据求楼房CD的高度．（，结果取整数） 23. 在三角形中，， （1）求三角形的面积． （2）求角A的对边a的长． 24. 如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点． （1）求，的值； （2）请你根据图象直接写出不等式 的解集． 25. 如图， 已知抛物线 与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点 的坐标是， （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 26. 如图， 在菱形中，，点 E是边的中点， 连接． （1）求的长；（结果保留根号） （2）点F 为边上的一点， 连接， 交于点G， 连接， ． ①求证：； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $