精品解析：辽宁省铁岭市铁岭县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024∼2025学年度（上）期中质量检测 九年级数学试卷 ※考试时间120分钟，试卷满分120分． 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 优弧大于劣弧 B. 圆的任意一条直径都是它的对称轴 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 3. 将方程配方后所得的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 由平移得到抛物线，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝102°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在BC边上，且，则的度数为（ 　 ） A. 24° B. 26° C. 28° D. 30° 6. 如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 10. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为__________ 12. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形（），量角器上点对应的读数是，则的度数为__________． 13. 已知点，，均在抛物线上．则，，的大小关系为______． 14. 某商品售价为400元，两次降价后售价为256元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率是__________． 15. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为________． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 已知关于x的方程． （1）求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个实数根是1，求p的值及方程的另一个实数根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）点关于原点对称的点的坐标为 ； （2）画出绕着原点按顺时针方向旋转得到的图形，写出各顶点的坐标． 19. 在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图1是跳台比赛场地的示意图，在图2中取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动． （1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离H取到最大值？最大值为多少？ 20. 某书店销售一本畅销的小说，每本进价为元．根据以往经验，当销售单价是元时，每天的销售量是本；销售单价每上涨元，每天的销售量减少本，设这本小说每天的销售量为本，销售单价为元． （1）请求出与之间的函数关系式； （2）书店决定每销售本该小说，就捐赠元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？ 21. 小静所在的数学兴趣小组剪了一张圆形纸片，并将直角三角板（）的锐角的顶点放在圆上的点处，进行如下实践探究活动． （1）如图①，小静将直角三角板的直角顶点放在圆形纸片上，请你利用尺规作出圆形纸片的圆心．（保留作图痕迹，不写作法） （2）小亮将直角三角板摆放成如图②所示的情形，其中边，分别与交于点，，连接，若的半径为2，求的长． 22. 探究与应用 （1）【操作发现】如图1，为等边三角形，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、，请直接写出下列结果： ①的度数为___________； ②与之间的数量关系为______________； （2）【类比探究】如图2，为等腰直角三角形，，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、． 则线段，，之间有什么数量关系？请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，是一个三角形的余料，小张同学量得，，他在边上取了D、E两点，并量得、，这样、将分成三个小三角形，则________________． 23. 在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … … ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024∼2025学年度（上）期中质量检测 九年级数学试卷 ※考试时间120分钟，试卷满分120分． 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题关键． 2. 下列命题正确的是（ ） A. 优弧大于劣弧 B. 圆的任意一条直径都是它的对称轴 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 平分弦的直径垂直于这条弦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，圆的相关概念辨析，根据圆的相关概念，垂径定理的推论，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同圆或等圆中，优弧大于劣弧，原命题为假命题，不符合题意； B、圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，原命题为假命题，不符合题意； C、等弧所对的圆心角相等，原命题为真命题，符合题意； D、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题为假命题，不符合题意； 故选C 3. 将方程配方后所得的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选D． 4. 由平移得到抛物线，则下列平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】由题意写出平移前后坐标变化公式，即可得到正确的平移过程． 【详解】解：设(x，y）经过平移得到，则原抛物线经过平移得到 抛物线，即 ，所以平移坐标公式为： ，即 ， 所以平移过程为：先向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 故选B ． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，由题意写出平移坐标公式是解题关键． 5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝102°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在BC边上，且，则的度数为（ 　 ） A. 24° B. 26° C. 28° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】设∠C = x，则∠B=78°- x，根据∠B+∠C = 78°，得，则，用x的代数式表示出的度数，根据，列出方程即可解决． 【详解】解：如图， 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， ， 设∠C = x，则∠B=78°- x， ， ， 解得：， ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形得外角等知识，计算出是解题的关键． 6. 如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，设半径为，易得，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设半径为，则， ∴， ∵为的直径，弦于点， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选A． 7. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由可得，再由可得出． 【详解】解：∵在中， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 9. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 10. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，即可判断①；根据当x=-1时，y大于0即可判断②；根据抛物线对称轴为直线x=1即可得到代入中得，即可判断③；由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②当时，， ∴，故②正确 把代入中得，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上 ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 12. 如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形（），量角器上点对应的读数是，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，得到，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，点为的中点，连接，则：， ∵， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 已知点，，均在抛物线上．则，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越近的点的纵坐标越小， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 14. 某商品售价为400元，两次降价后售价为256元，若每次降价的百分率相同，则降价的百分率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合题意分析：两次降价后的价格=原价降低的百分率，据此列方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得， ， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴降价的百分率是， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点C的坐标为，点P在抛物线上，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，当点D落在y轴正半轴上时，点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，轴于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式，即可求得点坐标，进一步求得，即可求得点的坐标． 【详解】解：令，则， 解得或， ，， 过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，即， 解得或（舍去）， ， ，， 点的坐标为，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是明确点的横、纵坐标相等． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用公式法解方程即可； （2）移项后，利用提公因式法进行因式分解，求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴． 17. 已知关于x的方程． （1）求证：无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个实数根是1，求p的值及方程的另一个实数根． 【答案】（1）见解析 （2），另一个实数根为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程和一元二次方程的解，根据题意正确计算即可． （1）先化为一般形式，再求出，即可得结论； （2）把代入得，，解得，则，再解方程即可得到另一个实数根． 【小问1详解】 解：由得， ∵， ∴无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 把代入得，， 解得 ∴， ∴， 即 ∴ ∴ 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）点关于原点对称的点的坐标为 ； （2）画出绕着原点按顺时针方向旋转得到的图形，写出各顶点的坐标． 【答案】（1） （2） 解：如图，即为所求，． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）关于原点对称，横坐标，纵坐标都互为相反数； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，顺次连接可得，再根据图形写出各顶点的坐标即可． 【小问1详解】 解：点关于原点对称的点的坐标为, 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图1是跳台比赛场地的示意图，在图2中取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动． （1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离H取到最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）抛物线的函数解析式为：； （2）当运动员运动的水平距离为4米时，运动员与小山坡的竖直距离H有最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意将点和代入求出、的值即可写出的函数解析式； （2）设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为H米，依题意得：，然后根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线过点和，将其代入得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为H米，依题意得： ， ∵，即开口向下， ∴当时，H有最大值，最大值为 【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． 20. 某书店销售一本畅销的小说，每本进价为元．根据以往经验，当销售单价是元时，每天的销售量是本；销售单价每上涨元，每天的销售量减少本，设这本小说每天的销售量为本，销售单价为元． （1）请求出与之间的函数关系式； （2）书店决定每销售本该小说，就捐赠元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每本该小说售价为元，最大利润是元 【解析】 【分析】根据题意列函数关系式即可； 设每天扣除捐赠后可获得利润为元，由已知可得：，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：设每天扣除捐赠后可获得利润为元， 由已知得： ， ， ， 时，取得最大值，最大值为， 答：每本该小说售价为元，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的理解题意，掌握二次函数的性质． 21. 小静所在的数学兴趣小组剪了一张圆形纸片，并将直角三角板（）的锐角的顶点放在圆上的点处，进行如下实践探究活动． （1）如图①，小静将直角三角板的直角顶点放在圆形纸片上，请你利用尺规作出圆形纸片的圆心．（保留作图痕迹，不写作法） （2）小亮将直角三角板摆放成如图②所示的情形，其中边，分别与交于点，，连接，若的半径为2，求的长． 【答案】（1） 如图，点O即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）根据直径所对的圆周角为直角，连接点和与圆的交点，作该线段的中垂线，即可得到圆心O； （2）连接，过点O作于点G，圆周角定理，得到，垂径定理结合直角三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， 则， 过点O作于点G， 则，， ∴ ∴， ∴． 22. 探究与应用 （1）【操作发现】如图1，为等边三角形，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、，请直接写出下列结果： ①的度数为___________； ②与之间的数量关系为______________； （2）【类比探究】如图2，为等腰直角三角形，，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、． 则线段，，之间有什么数量关系？请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，是一个三角形的余料，小张同学量得，，他在边上取了D、E两点，并量得、，这样、将分成三个小三角形，则________________． 【答案】（1）①120°； ②DE＝EF （2） 解：AE2+DB2＝DE2 ，理由如下： ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝45°， 由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝90°， ∵， ∴， 即∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， ∵， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝45°，AF＝DB， ∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝90°； ∵∠DCF＝90°，∠DCE＝45°， ∴∠FCE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中， ∵， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF， 在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2， 又∵AF＝DB， ∴AE2+DB2＝DE2． （3）S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2 【解析】 【分析】（1）①根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得的度数为120°；②根据旋转及等边三角形的性质，证明，再求得． （2）根据旋转及等腰直角三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，再运用全等三角形的性质及勾股定理，证得AE2+DB2＝DE2． （3）将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF，根据旋转及等腰三角形的性质，证明△ACF≌△BCD，△DCE≌△FCE，由全等三角形的性质推导出，，则，即得S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2． 【小问1详解】 解：①的度数为120°，理由如下： ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． ②DE＝EF，理由如下： ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将线段CD绕点C顺时针旋转120°得到线段CF，连接AF、EF， ∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝120°， ∴AC＝BC，∠BAC＝∠B＝30°， 由旋转知，CD＝CF，∠DCF＝120°， ∵， ∴， 即∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， ∵， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF＝∠B＝30°，AF＝DB， ∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝60°； ∵∠DCF＝120°，∠DCE＝60°， ∴∠FCE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DCE＝∠FCE， 在△DCE和△FCE中， ∵， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE＝EF． ∵△DCE≌△FCE， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵△ACF≌△BCD， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中， ． ∵△DCE≌△FCE，△ACF≌△BCD， ∴EF=ED，AF=BD， ∴， ∵S△BCD：S△CDE：S△ACE＝， ∴S△BCD：S△CDE：S△ACE＝1：：2． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，三角形全等的证明及性质应用，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 23. 在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … … ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 【答案】（1）①； ②描点画图即可，如下图： ； （2）①； ②抛物线； （3）为或． 【解析】 【分析】（1）①用和合对称二次函数图像与轴交点相同即可求解； ②用圆滑的曲线，按描点画图的要求作图即可； （2）①当时，抛物线，可求其与轴交点和顶点坐标，设抛物线，两个二次项系数之和为，对称轴相同，联立方程组，求解，确定抛物线，求其顶点坐标，则； ②设抛物线，求两个函数与轴的交点，利用横坐标相等，可得，从而确定抛物线，求其顶点坐标，利用其横、纵坐标互为相反数，求解，即可确定抛物线； （3）由题可设抛物线，将两个抛物线化成顶点式，表示其顶点坐标，当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点，列式可得 或，验证时，不满足条件． 【详解】解：（1）①∵和合对称二次函数图像与轴交点相同， ∴坐标与坐标相同，同为； ②略 （2）①当时，抛物线， 与轴交点为， ， ∴顶点坐标为， 设抛物线， 则， 解得， ∴抛物线， 当时，， ∴坐标为， ∴； ②抛物线， 与轴交点为点为， 则设抛物线， 与轴交点为点为， ∴， 抛物线， ∴， ∴顶点为， ∵其横、纵坐标互为相反数， ， ∴抛物线； （3）抛物线， ∴其顶点为， 则抛物线， ∴其顶点为， 当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点， ∴， 解得， 当时，两个抛物线与只有一个交点，不满足条件， ∴为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $