精品解析：山东省临沂市临沭县2024—-2025学年上学期期中考试九年级数学试题

2024-2025学年度上学期阶段学情调研 九年级数学试题 总分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标变换规律即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律：横、纵坐标均互为相反数． 3. 方程的根为（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据本题特点，用“因式分解法”进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握相关知识是解题关键． 4. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为x米，根据草坪的面积为160平方米，列出方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得： ， 故选：A． 5. 若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，由直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形，10是斜边长， 直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点， 三角形外接圆的半径斜边的一半， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半是解决问题的关键． 6. 点，，在抛物线上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意，把点、、的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键． 【详解】解：由题意，将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 又， ． 故选：B． 7. 若二次函数的x和y的部分对应值如下，则下列说法错误的是（ ） x … 0 1 2 3 … y … 1.75 1.75 … A. 二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 二次函数的图象与x轴交点的横坐标一个在和0之间，另一个在1和2之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．根据当时，，可判断选项A；当或2，二次函数值都是1，可判断选项B；观察表格数据的变化，可判断选项C和D． 【详解】解：∵当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，故选项A说法正确，不符合题意； ∵当或2，二次函数值都是1， ∴对称轴为直线，故选项B说法正确，不符合题意； 观察表格，当时，y随x的增大而增大，故选项C说法正确，不符合题意； ∵当时，时， ∴方程的一根在和0之间， 当时，时， ∴方程的一根在2和3之间， 故选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，连接AC，得，进一步得出，从而可得结论． 【详解】解：连接AC，如图， ∵A，B，C，D在以AB为直径的半圆上， ∴ ∵ ∴ ∵AB为半圆的直径 ∴， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键． 9. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D， 由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A， ∴△ABB′为等边三角形， ∴∠ABB′=60°，AB=B′B； 在△ABC′与△B′BC′中， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠DBB′=∠DBA=30°， ∴BD⊥AB′，且AD=B′D， ∵AC＝BC＝， ∴， ∴，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 10. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， I．当P在线段AD上时，即时，如解图1 ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误； II．当P在线段CD上时，即时，如解图2： 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 12. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据平移规律“左加右减，上加下减”可得答案． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位，再向上平移4个单位， 平移后的抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 13. 抛物线和轴有公共点，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线和轴有公共点， ∴， ∴， 又∵， ∴k的取值范围是且； 故答案为：且． 14. 如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上，且，时，的长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可得，，即可求解．理解旋转前后的对应线段相等是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 故答案为：7． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______． 【答案】（2，1） 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 16. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的序号是 _____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当x取何值时，． 【详解】解：①∵开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴0， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故结论正确； ②∵对称轴为直线， ∴1． ∴． 故结论错误； ③当时，由图象可知：，故结论正确； ④∵对称轴x， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，故结论正确； ⑤如图，当时，，故结论不正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点个数确定 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程的方法有配方法，公式法，因式分解法等． （1）用公式法解一元二次方程； （2）通过移项，用因式分解法解一元二次方程； 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理得，即， 因式分解得， ∴，， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为． （1）画出，使得与关于原点对称，并写出的坐标； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出并写出的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质找到的对称点，顺次连接得到，根据坐标系写出点的坐标即可求解； （2）根据中心对称的性质找到的对称点，顺次连接得到，根据坐标系写出点的坐标即可求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了旋转作图，画中心对称图形，写出点的坐标，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键． 19. 快手、抖音等各大娱乐APP软件深受人们的喜爱，但随着电商时代的热潮，曾经以直播、娱乐为主的主播也开始转型为带货主播．某快手主播，从今年九月份开始直播带货，并深受粉丝的喜爱，并从十月份该主播就开始盈利36000元，十二月的盈利达到43560元，且从十月到十二月，每月的盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计下个月（即元月份）该主播的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）10％；（2）元． 【解析】 【分析】（1）设设每月的平均增长率为，根据等量关系：十月份盈利额×（1+增长率）2=十二月份的盈利额列出方程求解即可． （2）元月份的盈利=十二月份盈利×增长率． 【详解】解：（1）设每月的平均增长率为． 根据题意可知：． 解得，（舍去）． 答：每月的平均增长率为10％． （2）由（1）知：元月份的盈利将达到：元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-，难度一般． 20. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）若点，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，函数的最大值为4，最小值为0； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）配方成顶点式，即可求得； （2）根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当时y取最小值，时y取最大值； （3）求得点关于直线对称的点的横坐标是1，数形结合可求解． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：顶点坐标为， 当时，． ，函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，函数的最大值为4，最小值为0； 【小问3详解】 解：因为对称轴为直线， 点关于直线对称的点的横坐标是1，且， ，函数图象开口向下， 所以或． 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）研究函数特点： 该小组认为，可以将该函数转化为已经学过的二次函数来研究，即将绝对值符号去掉，得到分段函数（每段均为二次函数），其解析式为（填空）：y＝x2﹣2|x|+3． （2）画图象： 在给出的坐标系中，分别画出当x≥0时和x＜0时所对应的二次函数的图象；（要求描出横坐标分别为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3所对应的点） （3）研究性质： 根据函数图象，完成以下问题： ①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有　　（填写正确选项的代码）． A．对称轴是直线x＝1 B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2） C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大 D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位长度时，图象与x轴有三个公共点． ②结合图象探究发现，当m满足 　　时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解； ③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣2|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，则n的值为 　　． 【答案】（1）， （2） 描点确定函数图象如下： （3）①B、D；②2＜m＜3；③2或6 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的性质求解即可； （2）把，，，0，1，2，3分别代入函数表达式求出的值，描点确定函数图象； （3）根据函数图象性质即可求解． 【小问1详解】 解：． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：把，，，0，1，2，3分别代入函数表达式得：，3，2，3，2，3，6， 【小问3详解】 解：①A．对称轴是直线，故错误； B．函数的图象有两个最低点，其坐标分别是、，故正确； C．当时，函数在轴右侧的部分，随的增大而减小，故错误； D．当函数的图象向下平移3个单位时，图象与轴有三个公共点，正确； 故答案为：B、D； ②从图象看，时，方程有四个解， 故答案为：； ③如图，当直线处于直线或的位置时， 点和图象上的点构成等腰直角三角形， 即或6． 故答案为：2或6． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，解题的关键是主要通过函数作图，确定函数的性质，依据函数的性质，确定函数与直线的位置关系，通过图象求解问题． 23. 在中，，，D为内一点，将绕点C按逆时针方向旋转角α得到，点A，D的对应点分别为点B，E． （1）如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则                    （用含α的代数式表示）； （2）如图2，若A，D，E三点在同一直线上，，过点C作于点F，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，连接，若，，将绕点C旋转一周，当时，     ． 【答案】（1） （2）．见解析 （3）2或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转的性质可得，进而即可求解； （2）由旋转的性质可得，可证是等腰直角三角形，由等边三角形的性质可得，进而即可求解； （3）分两种情形分别求解即可． 【小问1详解】 解：将绕点按逆时针方向旋转角得到， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由： 将绕点按逆时针方向旋转角得到， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，过点作于点， ， 都是等边三角形， ， ， ， 共线， ， ， ， ， ， ， ， 当点在左侧时，如图4， ∵，，， ∴， ∴， 把沿对折，的对应点为，此时， ， ， ∴， ， 故答案为：2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期阶段学情调研 九年级数学试题 总分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根为（ ） A. B. ， C. D. ， 4. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 点，，在抛物线上，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数的x和y的部分对应值如下，则下列说法错误的是（ ） x … 0 1 2 3 … y … 1.75 1.75 … A. 二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 二次函数的图象与x轴交点的横坐标一个在和0之间，另一个在1和2之间 8. 如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 60° 9. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 10. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是________． 12. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位，平移后得到抛物线解析式为________． 13. 抛物线和轴有公共点，则的取值范围是________． 14. 如图，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上，且，时，的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______． 16. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中结论正确的序号是 _____． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为． （1）画出，使得与关于原点对称，并写出的坐标； （2）以为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出并写出的坐标． 19. 快手、抖音等各大娱乐APP软件深受人们的喜爱，但随着电商时代的热潮，曾经以直播、娱乐为主的主播也开始转型为带货主播．某快手主播，从今年九月份开始直播带货，并深受粉丝的喜爱，并从十月份该主播就开始盈利36000元，十二月的盈利达到43560元，且从十月到十二月，每月的盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计下个月（即元月份）该主播的盈利将达到多少元？ 20. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）若点，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围． 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 22. 某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）研究函数特点： 该小组认为，可以将该函数转化为已经学过的二次函数来研究，即将绝对值符号去掉，得到分段函数（每段均为二次函数），其解析式为（填空）：y＝x2﹣2|x|+3． （2）画图象： 在给出的坐标系中，分别画出当x≥0时和x＜0时所对应的二次函数的图象；（要求描出横坐标分别为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3所对应的点） （3）研究性质： 根据函数图象，完成以下问题： ①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有　　（填写正确选项的代码）． A．对称轴是直线x＝1 B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2） C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大 D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位长度时，图象与x轴有三个公共点． ②结合图象探究发现，当m满足 　　时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解； ③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣2|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，则n的值为 　　． 23. 在中，，，D为内一点，将绕点C按逆时针方向旋转角α得到，点A，D的对应点分别为点B，E． （1）如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则                    （用含α的代数式表示）； （2）如图2，若A，D，E三点在同一直线上，，过点C作于点F，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，连接，若，，将绕点C旋转一周，当时，     ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $