精品解析：吉林省松原市部分学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度上学期高一12月份教学质量检测 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：B. 2. 已知半径为3的圆弧所对的圆心角为，则该圆弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件利用扇形面积公式直接计算即得. 【详解】由题意，扇形面积为：. 故选：D 3. ，，，则下列正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的定义可得，根据指数函数单调性可得，，即可得结果. 【详解】因为，，，即， 所以. 故选：B. 4. 已知命题，命题或，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先写出两个命题的否定，再由充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】命题，命题或， 则命题，命题， 由能推出，由不能推出. 所以是的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合不等式的性质运算即可. 【详解】因为，，则， 可得，所以的取值范围是. 故选：D. 6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，半衰期公式为：，为初始值，为半衰期，为时间，则氚含量变成初始量的大约需要经过( )年.() A. 155 B. 159 C. 162 D. 166 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出等量关系，借助换底公式和题目给出的参考量得出结果. 【详解】设氚含量变成初始量的大约需要经过年， 则，， 两边同时取倒数：， 两边同时取倒数整理得：年， 故选：B. 7. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值. 【详解】因为的解集为， 可知，且，是方程的两根， 由根与系数的关系知， 可得，，当且仅当时等号成立， 故， 设，，可知函数在上单调递增， 则，所以的最小值为5. 故选：C 8. 已知函数，则关于的不等式解集为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得原不等式的解集. 【详解】因为 ， 由可得或， 即函数的定义域为， 因为， 所以，函数为偶函数， 任取、，且， 则，，，令， 则， 即，所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数， 由可得，可得， 解得或，因此，原不等式的解集为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分. 9. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本（均值）不等式可判定AB是正确的；举反例说明C是错误的；消元结合二次函数最值分析判断. 【详解】因为正实数，满足， 对A：因为，可得， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对B：因为， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对C：当时，满足，此时，故C错误； 对D：因为，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 函数关于点中心对称 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例即可判断A；由函数的定义域的定义可判断B；对讨论，分，可判断C；由函数的图象平移可判断D . 【详解】对于A，例如，则，即无意义，故A错误； 对于B，函数的定义域是，可得，解得， 所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，不等式， 当时解集为； 当时解集为； 当时解集为，故C错误; 对于D，的图象可由向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 可得关于点中心对称，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性. 【详解】如图： 由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误； 当时，方程有4个不同的解，且. 所以，且，故B正确； 又，且关于直线对称，所以，故C错误； 由，又.所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边上一点，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】因为， 所以，解得， 又因为，所以， 所以， 故答案为: . 13. 化简： ________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果 【详解】. 故答案为：. 14. 已知己函数的最大值为，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】同一坐标系中画出和的图象，然后根据图象分讨论求解即可. 【详解】由题意， 设，则，即函数在R上为奇函数， 又当时，，当且仅当时等号成立， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减， 故 设，则， 令，解得 同一坐标系中画出和的图象如下： 由图可知，当时， ， 当 时， ， 当时， ， 综上，的取值范围是 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于分段函数，其中每一段对应的变量范围在没有确定的情况下，需要在一个坐标系中画出每一段的完整图象，对变量的取值变化情况分析，从而得到分类的标准进行讨论. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式： （2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，解得的值，再根据常见幂函数的奇偶性即可求解； （2）转化问题为对恒成立，即，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为是幂函数， 则，解得或， 若，为偶函数，符合题意； 若，的定义域为，不为偶函数，不符合题意； 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则原题可等价转化为对恒成立， 分离参数得，因为对恒成立，则， 当时，， 当且仅当，即时取得最小值，即， 所以实数的取值范围为. 16. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. （1）证明的单调性； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） 函数在上为增函数，下面用定义证明： 设任意， 则 因为，所以，所以. 即，所以函数在上为增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性. （2）借助函数的单调性，结合函数的定义域，把函数不等式转化成代数不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 由. 所以所求不等式的解集为：. 17. 某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． （1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 【答案】（1） （2）游客为30万人时利润最大，最大为205万． 【解析】 【分析】（1）根据计算可得； （2）分别求出函数在各段的范围（最大值），即可得解. 【小问1详解】 依题意， 又， 所以， 即； 【小问2详解】 当时，单调递增，且当时， 所以， 当时，， 则在上单调递增，所以， 当时，， 当且仅当即时等号成立，故， ， 综上，游客为万人时利润最大，最大为万． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值： （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义得，代入计算即可求； （2）由（1）得出解析式，结合指数函数性质解不等式即可； （3）借助（2）中解析式求出值域，利用换元法求出的值域，由题意得出，进而得出的取值范围. 【小问1详解】 函数中，， 因为为奇函数， 所以，即， 整理得，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． （1）已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）是增长函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【小问1详解】 的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； 【小问2详解】 依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数的最小值为； 【小问3详解】 由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期高一12月份教学质量检测 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知半径为3的圆弧所对的圆心角为，则该圆弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 3. ，，，则下列正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，命题或，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，半衰期公式为：，为初始值，为半衰期，为时间，则氚含量变成初始量的大约需要经过( )年.() A. 155 B. 159 C. 162 D. 166 7. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 8 8. 已知函数，则关于的不等式解集为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的按部分得分，有选错的得0分. 9. 设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 不等式的解集为 D. 函数关于点中心对称 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边上一点，且，则___________. 13. 化简： ________ 14. 已知己函数的最大值为，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式： （2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. （1）证明的单调性； （2）解关于的不等式. 17. 某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． （1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； （2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值： （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． （1）已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $