精品解析：湖南省岳阳市湘阴县城南区联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年下学期城南区九年级数学期中学情调研 满分：120分 时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 反比例函数y＝的图象在（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 2. 反比例函数的两个点为、，且，则下式关系成立的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 3. 关于x一元二次方程一个根为1，p=（ ） A. 4 B. 0或2 C. 1 D. -1 4. △ABC∽△A′B′C′，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数等于（ ） A. 55° B. 100° C. 25° D. 30° 5. 等腰三角形的底和腰是方程的两实根，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 15 B. 9和15 C. 9 D. 不能确定 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 9. 函数y＝ax(a≠0)与y＝在同一坐标系中的大致图象是 ( ) A B. C. D. 10. 已知的周长为1，连结的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2013个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标是（），则另一个交点的坐标为________． 12 如图，ED∥BC，且，则＝_____． 13. 如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于________． 14. 一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ . 15. 已知非零实数a，b，c满足，且，c值为_____． 16. 一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为______米 17. 一个群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发了一条消息，这样共有条消息，求这个群里有多少个好友，设这个群有个好友，则可列方程_________． 18. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与分别交于点P、M．①若，则_____；②若， ；且，则_____． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 选择适当的方法解方程: （1）2(x－3)2＝8； （2）x2-6x-4＝0. 20. 太阳能进入了千家万户，一个容量为180升的太阳能热水器，能连续的工作时间是y分钟，每分钟的排水量为x升． （1）写出y与x的函数关系式； （2）若热水器连续工作最长时间是1小时，求自变量的取值范围； 21 如图，， （1）证明：； （2）求值． 22. 已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？ 23. 已知一次函数y=x+2的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数（x＞0）的图象相交于C点． （1）写出A、B两点的坐标； （2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数（x＞0）的关系式． 24. 如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长． 25. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 26. 如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M． (1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长； (3)若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期城南区九年级数学期中学情调研 满分：120分 时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 反比例函数y＝的图象在（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，函数是反比例函数，可知a的值． 【详解】函数是反比例函数 反比例函数为： 根据函数解析式，函数图像位于二四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数及其函数图像，掌握函数的相关知识是解决问题的关键． 2. 反比例函数的两个点为、，且，则下式关系成立的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在象限，再由判断出两点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别在一、三象限， ∵， ∴点、在第一象限， ∵在每一象限内y随x的增大而减小， ∴． 故选：B． 3. 关于x一元二次方程的一个根为1，p=（ ） A. 4 B. 0或2 C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【详解】∵将x=1代入原方可得p2﹣2p+1=0，解得p=1． 4. △ABC∽△A′B′C′，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数等于（ ） A. 55° B. 100° C. 25° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，再根据相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】∵∠A=55°，∠B=100° ∴∠C=180°-∠A-∠B=25° ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠C=∠C′=25° 故选C． 【点睛】三角形的内角和定理是初中数学平面图形知识里的重点，是中考中的常见知识点，学生需熟练掌握并会灵活运用． 5. 等腰三角形的底和腰是方程的两实根，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 15 B. 9和15 C. 9 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及等腰三角形的性质，先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：解方程，得， ∵当底为7，腰为1时，由于，不符合三角形三边关系， ∴等腰三角形的腰为7，底为1， ∴周长． 故选：A． 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得： 168（1-x）2=108． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 7. 已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选B． 8. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A. 5 B. 6 C 7 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△MOE∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值． 【详解】解：如图： 在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形， △CEF∽△MOE∽△PFN 则有 , ∴ ， 解得：x=0(舍)，x=7， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，在图形中找到相似三角形是解题的关键． 9. 函数y＝ax(a≠0)与y＝在同一坐标系中的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象可知a＜0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者相矛盾，故本选项不符合题意； C、该直线不是正比例函数的图象，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者一致，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知一次函数与反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 10. 已知的周长为1，连结的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2013个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位线定理，根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的，所以新三角形周长是前一个三角形的． 【详解】解：周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以： 第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为； 第4个三角形对应的周长为； 第5个三角形对应的周长为 ⋯， 故第2013个三角形周长为． 故选：A． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标是（），则另一个交点的坐标为________． 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（-1，-2）， ∴另一个交点的坐标是（1，2）． 故答案为（1，2）． 【点睛】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 12. 如图，ED∥BC，且，则＝_____． 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据平行线分线段成比例定理求出的值，即两相似三角形的相似比即可． 详解：∵DE∥BC，， ∴， ∴=. 故答案为. 点睛：此题考查了平行线分线段成比例和相似三角形的比例关系，难度适中. 13. 如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于________． 【答案】 【解析】 【详解】延长BA与y轴交于点C,根据反比例函数k的几何意义可得: ,所以. 故答案为：． 14. 一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ . 【答案】2 【解析】 【详解】【分析】根据一元二次方程根意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得. 【详解】由题意得：+2=0，=2， ∴=-2，=4， ∴=-2+4=2， 故答案为2. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 15. 已知非零实数a，b，c满足，且，c值为_____． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，用k表示出a、b、c,然后代入等式求出k的值，再求解即可． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 解得， 所以，． 故答案：26． 16. 一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为______米 【答案】15-5 【解析】 【分析】根据黄金分割比为计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可. 【详解】 如图，设舞台AB的长度为10米，C是黄金分割点，且AC>BC, 则有AC=AB=×10=（）米， ∴较短线段BC=AB-AC=10-(）=()米， 故答案 【点睛】本题考查的是黄金分割点的概念，即把一条线段分成两部分，使其中较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为叫做黄金分割比，利用黄金分割比计算是解决此类问题的关键. 17. 一个群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发了一条消息，这样共有条消息，求这个群里有多少个好友，设这个群有个好友，则可列方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】每个好友都有一次发给群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有个好友，每人发条消息，则发消息共有条． 【详解】解：设有个好友，依题意，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与分别交于点P、M．①若，则_____；②若， ；且，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． ①通过证明，可得，可求的长； ②通过证明，由相似三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：①在等腰和等腰中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ②在等腰中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或6(不合题意)， ∴， 又∵E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 选择适当的方法解方程: （1）2(x－3)2＝8； （2）x2-6x-4＝0. 【答案】（1）x1＝5，x2＝1．（2）x1＝3+； x2＝3-； 【解析】 【分析】（1）方程用直接开平方法即可求解； （2）用公式法即可求解方程. 【详解】（1）2(x－3)2＝8， (x－3)2＝4， 开方，得x－3＝2或x－3＝－2， 解得x1＝5，x2＝1． （2）x2-6x-4＝0 a=1，b=-6，c=-4， △=b2-4ac=52>0， ∴方程有两个不相等的实数根x===3±， ∴x1＝3+； x2＝3-. 【点睛】此题考查了解一元二次方程的方法-直接开平方法和公式法，根据给出的方程的结构，选择适当的方法进行求解是关键. 20. 太阳能进入了千家万户，一个容量为180升的太阳能热水器，能连续的工作时间是y分钟，每分钟的排水量为x升． （1）写出y与x的函数关系式； （2）若热水器连续工作最长时间是1小时，求自变量的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据工作时间乘以每分钟的排水量等于总容量，可得出y与x的关系式． （2）根据反比例函数的性质可得在每一个象限内，y随x的增大而减小，即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵热水器连续工作最长时间是1小时， ∴， ∵函数在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，x最小，最小值为， 解得：， ∴自变量的取值范围为． 【点睛】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，根据题意准确地列式是解题的关键． 21. 如图，， （1）证明：； （2）求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由和根据相似三角形的判定推出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边成比例． 22. 已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？ 【答案】k＝8或10 【解析】 【分析】因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k的式子表示方程的解，根据△ABC是等腰三角形，分AB＝AC，BC＝AC，两种情况讨论，得出k的值． 【详解】∵△＝[﹣(2k+2)]2﹣4(k2+2k)＝4k2+8k+4﹣4k2﹣8k=4>0， ∴x＝， ∴x1＝k+2，x2＝k， 设AB＝k+2，BC＝k，显然AB≠BC， 而△ABC的第三边长AC为10， (1)若AB＝AC，则k+2＝10，得k＝8，即k＝8时，△ABC为等腰三角形； (2)若BC＝AC，则k＝10，即k＝10时．△ABC为等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，公式法，解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k的值，从而证得△ABC为等腰三角形． 23. 已知一次函数y=x+2的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数（x＞0）的图象相交于C点． （1）写出A、B两点的坐标； （2）作CD⊥x轴，垂足为D，如果OB是△ACD的中位线，求反比例函数（x＞0）的关系式． 【答案】（1）A的坐标是（﹣3，0），B的坐标是（0，2）；（2）． 【解析】 【分析】（1）分别把x=0和y=0代入一次函数的解析式，即可求出A、B的坐标； （2）根据三角形的中位线求出OA=OD=3，即可得出D、C的横坐标是3，代入一次函数的解析式，求出C的坐标，代入反比例函数的解析式，求出k即可． 【详解】解：（1）∵y=x+2，∴当x=0时，y=2，当y﹣0时，x=﹣3． ∴A的坐标是（﹣3，0），B的坐标是（0，2）． （2）∵A（﹣3，0），∴OA=3． ∵OB是△ACD的中位线，∴OA=OD=3．∴D点、C点的横坐标都是3． 把x=3代入y=x+2得：y=2+2=4，∴C的坐标是（3，4）． 把C的坐标代入得：k=3×4=12． ∴反比例函数的关系式是． 24. 如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长． 【答案】剪去的正方形的边长为2cm． 【解析】 【分析】设正方形的边长为xcm，根据底面积是24cm2列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为xcm， 根据题意得：(10﹣2x)(6﹣x)＝24， 整理得：x2﹣11x+18＝0， 解得x＝2或x＝9（舍去）， 答：剪去的正方形的边长为2cm． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-几何问题，解题关键是要读懂题目的意思，掌握几何图形的性质，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 25. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【答案】应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元． 【解析】 【分析】设该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低x元，根据等量关系：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200，列方程求解 【详解】设该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低x元， （1-x）（200+400x）-24=200 -400x2+200x-24=0 即 x1=0.2，x2=0.3 答：该经营户要想每天盈利200元，应降价0.2元/千克或0.3元/千克. 26. 如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M． (1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长； (3)若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)BM＝4；(3)存在，∠CPF＝30°． 【解析】 【分析】(1)根据题意及中点的性质得出四边形CBED是平行四边形，根据平行的性质得出∠EDB＝∠FBM，∠DME＝∠BMF，从而得出△EDM∽△FBM； (2)根据(1)中三角形相似的比例关系即可推理得出答案; （3）先由角平分线的定义和平行线的性质可得DC＝BC，结合DP•BP＝BF•CD可证明△PDC∽△FBP，从而∠BPF＝∠PCD，利用三角形内角和及平角定义可证∠PDC＝∠CPF，然后通过证明△ADE是等边三角形，可进一步求出结论. 【详解】(1)证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点， ∴DC＝EB． 又∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∴ED∥BC． ∴∠EDB＝∠FBM． 又∵∠DME＝∠BMF， ∴△EDM∽△FBM； (2)解：∵△EDM∽△FBM， ∴， ∵F是BC的中点， ∴DE＝BC＝2BF， ∴DM＝2BM， ∴DB＝DM+BM＝3BM， ∵DB＝12， ∴BM＝DB＝×12＝4； (3)存在，∵DC∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴DC＝BC， ∵DP•BP＝BF•CD， ∴， ∴△PDC∽△FBP， ∴∠BPF＝∠PCD， ∵∠DPC+∠CPF+∠BPF＝180°， ∠DPC+∠PDC+∠PCD＝180°， ∴∠PDC＝∠CPF， ∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∴∠EDB＝∠PDC＝30°， ∴∠CPF＝30°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，同时考查了三角形相似的判定及性质，等边三角形的判定与性质，难度适中．此题的综合性较强，需要灵活运用平行四边形的判定及性质，以及三角形相似的判定及性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$