精品解析：河南省周口市沈丘县中英文等校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年上学期第三次教学测评（Z） 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 5. 如图，在中，，，，与的相似比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 已知数轴上A、B两点表示的数分别是方程的两个实数根，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=_____． 12. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是___． 13. 中，，，，则__________． 14. 小颖解一元二次方程时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为，则□代表的数为______． 15. 如图，在正方形中，，延长至E，使，连接，平分交于F，连接，则的长为_____________． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，， （1）以原点O为位似中心，在原点左侧，将放大到原来的2倍．请你画出变化后的，并写出点的坐标； （2）画出关于x轴对称的． 18. 如图，正方形内接于，在斜边上．求证：． 19. 在中，，根据下列条件解直角三角形． （1）已知，，求及； （2）已知，，求及． 20. 公元前138年张骞出使西域，自长安出发，经匈奴，西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，最后于公元前126年返回汉朝．张骞出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过“丝绸之路”迅速向四周传播．根据古今地图对比，南南同学发现丝绸之路途经现代西安，吐鲁番，喀什等地． （1）南南爸爸想趁暑假一家人一起出游，若只能去一个地方游览，且选择三个地方的概率相等，那么南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是 ． （2）若时间充足，南南一家决定以上三个城市都去一趟，求南南一家最后一站去喀什的概率． 21. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位） （1）连接，求证：； （2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：） 22. 某超市销售一种进价为18元／千克的商品，经市场调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系：，超市每天的利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系； （2）若该超市本着“尽量让顾客享受实惠”的原则销售该商品，则当时，销售单价应定为多少？ 23. 如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接． （1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； （2）是直角三角形吗？若是，请给予证明； （3）线段上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期第三次教学测评（Z） 九年级数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可． 【详解】解 ：， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 2. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）． ∴得到的抛物线的解析式为． 故选B． 3. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念、二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A、被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 【详解】解：， ∴方程有两个相等的实数根， 故选A． 5. 如图，在中，，，，与的相似比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查对平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的运用．根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；可判定与的关系是相似；然后根据和的长，可求出与的比例关系，即两三角形的相似比． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即与的相似比为． 故选：B． 6. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案. 【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ，米. ， 米. 故选： B . 【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比. 7. 四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，从中随机抽取一张卡片，﹣10的个数是1，再根据概率公式直接求解即可求得概率． 【详解】解：由题意可知，共有4张标有数字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为﹣10的有1种，所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是﹣10的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． 8. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此解答即可，． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°， ∵∠APD＝60°， ∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BAP＝∠DPC， 即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD； ∴ ∵BP＝2，CD＝1， ∴ ∴AB＝4， ∴△ABC的边长为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力. 9. 已知数轴上A、B两点表示的数分别是方程的两个实数根，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设A表示的数为，B表示的数为，根据数轴上A，B两点表示的数是方程的两个实数根，可得，，故． 【详解】解：设A表示的数为，B表示的数为，根据数轴上A，B两点表示的数是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论k＞0和k＜0时一次函数和二次函数的图像即可求解. 【详解】当k＞0时，函数y=kx+k的图象经过一、二、三象限；函数y=2x2+kx的开口向上，顶点坐标在x轴的下部,y轴左部； 当k＜0时，函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限；函数y=2x2+kx的开口向上，顶点坐标在x轴的下部，y轴右部； 故C正确． 故选C． 【点睛】本题考查的是一次函数和二次函数的图像，熟练掌握两者是解题的关键. 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=_____． 【答案】4：9 【解析】 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3， ∴S△ABC：S△DEF=（）2=4：9． 故选C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 12. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是___． 【答案】，直线 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法，先把二次函数配方成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴解题即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 故答案为：，直线． 13. 中，，，，则__________． 【答案】6. 【解析】 【详解】由三角函数的定义和勾股定理即可求得． 解：∵，．又∵，∴．∵， ∴． 14. 小颖解一元二次方程时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为，则□代表的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是根据一元二次方程解的定义，列出关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：设□代表的数为b，则一元二次方程为：， 把代入得：， 解得：， ∴□代表的数为， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，延长至E，使，连接，平分交于F，连接，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例. 过点作于， 作于点，首先证四边形为正方形，再设则 ，然后证和相似，由相似三角形的性质求出，进而在中由勾股定理即可求出． 【详解】解：过点作于， 作于点， ∵四边形为正方形， ， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵平分， ， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 故答案为： ． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，， （1）以原点O为位似中心，在原点左侧，将放大到原来的2倍．请你画出变化后的，并写出点的坐标； （2）画出关于x轴对称的． 【答案】（1）；详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，和轴对称图形，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点A、B的对应点、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形． 18. 如图，正方形内接于，在斜边上．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由正方形的性质得到，，再证明，进而证明，得到，由此即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 在中，，根据下列条件解直角三角形． （1）已知，，求及； （2）已知，，求及． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形； （1）先根据正切的定义得出，进而求得； （2）根据得出，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得；， ∴， ， 【小问2详解】 依题意得， ∴， ． 20. 公元前138年张骞出使西域，自长安出发，经匈奴，西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，最后于公元前126年返回汉朝．张骞出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过“丝绸之路”迅速向四周传播．根据古今地图对比，南南同学发现丝绸之路途经现代西安，吐鲁番，喀什等地． （1）南南爸爸想趁暑假一家人一起出游，若只能去一个地方游览，且选择三个地方的概率相等，那么南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是 ． （2）若时间充足，南南一家决定以上三个城市都去一趟，求南南一家最后一站去喀什的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，直接求解即可； （2）用列举法表示出所有等可能的结果，再求得最后一站去喀什的情况，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择一个地方游览， ∴南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是， 故答案为． 【小问2详解】 解：南南一家去三个城市的顺序可能有以下6种情况： 西安一吐鲁番一喀什，西安一喀什一吐鲁番，吐鲁番一喀什一西安，吐鲁番一西安一喀什，喀什一吐鲁番一西安，喀什一西安一吐鲁番． 且每种出游顺序的可能性相同，最后一站去喀什有2种可能情况， ∴南南一家最后一站去喀什的概率为=． 【点睛】本题考查列举法求概率，熟练掌握列举法或画树状图求概率的方法是解题的关键． 21. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位） （1）连接，求证：； （2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：） 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵ 即 ∴ 即 ∴； （2）雕塑的高约为米 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点作，交的延长线于点， 在中， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴ （米）． 答：雕塑的高约为米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 22. 某超市销售一种进价为18元／千克的商品，经市场调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系：，超市每天的利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系； （2）若该超市本着“尽量让顾客享受实惠”的原则销售该商品，则当时，销售单价应定为多少？ 【答案】（1） （2）当时，销售单价应定为30元 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据利润（售价进价）销售量进行求解即可； （2）根据（1）所求把代入求出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：当时，则， 整理得： 解得：，， ∵尽量让客户受到实惠， ∴， ∴当时，销售单价应定为30元． 23. 如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接． （1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； （2）是直角三角形吗？若是，请给予证明； （3）线段上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）是，见解析； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）抛物线的解析式中，令即得二次函数与轴交点的纵坐标，令即得二次函数与轴交点的横坐标. （2）根据（1）中点的坐标得出的长，进而利用勾股定理逆定理得出即可； （3）根据的坐标，求得直线的解析式，由于等腰的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：由于 此时点符合点的要求，即此时重合；根据等腰三角形三线合一的性质知：点横坐标为点的横坐标加上的一半，然后将其代入直线的解析式中，即可得到点的坐标；此时过作轴于， 已求得的长，即可通过相似三角形所得比例线段求得的长，从而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：在二次函数中令得 ∴点的坐标为， 令得： 即： 解得：和 ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ， ∵点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 设直线对应的函数关系式为 则： ，解得，， ； ①当时， ， ， ∵， ， ； ②当时，则点在的垂直平分线上，即点横坐标为：， 将代入，解得， ∴ ； ③当时，如图，过点作 则， ， 即 ； 综上所述，符合条件的点共有三个：，，． 【点睛】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $