精品解析：江苏省海安市初中教学联盟2024-2025学年九年级上学期12月学习评估数学试题

九年级数学阶段质量评估2024.12 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数在每一象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的两个根为m、n，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和一个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下，下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A. 只闭合1个开关 B. 只闭合2个开关 C. 只闭合3个开关 D. 闭合4个开关 7. 如图，为的直径，构造四边形，且弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数图象上存在两个点，这两个点关于y轴的对称点恰好在反比例函数的图象上，则k的范围是( ) A. B. C. D. 9. 二次函数自变量和函数值的部分对应值如下表所示．当时，的取值范围是，则的取值范围是（ ） x … -3 -1 1 … y … 8 n 8 … A. B. C. D. 10. 若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 二．填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，则点A关于原点中心对称的坐标是___________． 12. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为_________． 13. 圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为______． 14. 如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的________． 15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后滑行________秒才能停下来． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=_____． 17. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 18. 如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连结BC，则△BCE面积的最小值为_____． 三．解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）以点C为中心，把逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； （2）在（1）中的条件下， ①点A经过的路径的长为______(结果保留π)； ②写出点的坐标为______． 21. 从2025年起，云南省高考将采用“3+1+2”新模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科． （1）若小红在“1”中选择了物理，在“2”中选择了生物，则她选择化学的概率是_________． （2）若小军在“1”中选择了历史，用画树状图或者列表的方法求他在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．选中思想政治、地理的概率． 22. 如图，在中，，，点D在上，以为直径的与相切于点E，与相交于点F， （1）求CF的长度； （2）求阴影部分面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数解析式； （2）若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且，求点B的坐标； （3）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m取值范围． 24. 某商场购进某商品的进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格x元/件，每天的销售量为y件． （1）请直接写出y关于x函数关系式__________； （2）设每天的销售利润为w元，当每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）若商场规定销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件销售任务，求商场销售该商品获得的最大利润是多少？ 25. 如图1，中，，点D，E分别是，的中点，连接．将绕点C逆时针旋转得到（如图2），连接，． （1）求证：； （2）已知，，分别延长，交于点F． ①若，求的长； ②连接，当面积最大时，求的值． 26. 已知函数图像上一点，当自变量x的范围满足时，函数y有最大值M和最小值N，令，则下列函数： （1）若一次函数，当时，求h的值； （2）若反比例函数，当h的值等于4时，求t的值； （3）若二次函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学阶段质量评估2024.12 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形； B.是轴对称图形，不是中心对称图形； C.是轴对称图形，不是中心对称图形； D.是轴对称图形，又是中心对称图形； 故选：D． 2. 若函数在每一象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性即可得． 【详解】解：函数在每一象限内，随的增大而减小， ， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键． 3. 一元二次方程的两个根为m、n，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由m、n是一元二次方程的两个实数根，可得，即可解题． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为m、n， ∴， 故选：C． 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线为： ． 故选：D 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，先证明，再根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加条件，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意； 添加条件不能证明，故B符合题意； 添加条件，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，可以根据两组对应边成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和一个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下，下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　） A. 只闭合1个开关 B. 只闭合2个开关 C. 只闭合3个开关 D. 闭合4个开关 【答案】B 【解析】 【分析】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，观察电路发现，闭合，或闭合，或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路， A选项，只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意； B选项，只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意； C选项，只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意； D选项，闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意． 故选B． 7. 如图，为的直径，构造四边形，且弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识． 连接，由平行线的性质得到，由得到，由四边形是的内接四边形即可得到的度数． 【详解】解：连接， ∵弦，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：C． 8. 已知一次函数的图象上存在两个点，这两个点关于y轴的对称点恰好在反比例函数的图象上，则k的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设一次函数的图象上的点坐标为，可知有两个解，即有两个不相等的实数根，再由一元二次方程根的判别式列不等式可解得答案． 【详解】解：设一次函数的图象上的点坐标为，它关于y轴的对称点坐标为， 根据题意，有两个解，即有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数，反比例函数图象上点坐标的特征，涉及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，把所求问题转化为判断一元二次方程根的情况． 9. 二次函数自变量和函数值的部分对应值如下表所示．当时，的取值范围是，则的取值范围是（ ） x … -3 -1 1 … y … 8 n 8 … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出抛物线的开口向上，对称轴是直线，根据抛物线的性质求解． 【详解】解：，时，的值都是， 抛物线的对称轴是直线． 当时，的取值范围是， 抛物线开口向上， ． 故选：D 10. 若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程解的情况求未知系数的取值范围，由题可得，代入原式整理得，然后根据方程有实数根得到，即，然后求出t的取值范围，解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理得：， ∵存在实数b， ∴方程有实数根， ∴，即， 整理得， 解得， 所以的最大值为，最小值为，最大值和最小值的和为， 故选：C． 二．填空题（本大题共8小题，第11～12小题每小题3分，第13～18小题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点A坐标为，则点A关于原点中心对称的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的特征，直接利用关于原点对称点的横、纵坐标均互为相反数得出答案． 【详解】解：点于原点中心对称的坐标是， 故答案为：． 12. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，由是一元二次方程的一个根得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得， 解得， 所以侧面展开图的圆心角为． 故答案为：． 14. 如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 令每个小正方形的边长为1，分别求出的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置． 【详解】解：令每个小正方形的边长为1， ∴， 要使， ∴，即 ∴ ∵点P到甲的距离为，点P到乙的距离为，点P到丙的距离为，点P到丁的距离为， ∴点R应是甲、丙、丁四点中的丙． 故答案为：丙． 15. 飞机着陆后滑行距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，飞机着陆后滑行________秒才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，要求飞机从滑行到停止的时间，即求出函数的对称轴即可． 【详解】解：， ∴所以当时，该函数有最大值米， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=_____． 【答案】3． 【解析】 【详解】试题分析：连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数（）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，∴k=3．故答案为3． 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 17. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．延长交轴于点，过点作轴，利用，证得为等腰三角形，求得点坐标，求出直线解析式，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴，如图所示， 点在抛物线上，代入， 解得， 点， ，令，即， 解得， ， ， ， ， ， ， 点, 设直线解析式为，将点，点，代入解析式求得 直线解析式为， 联立直线和抛物线解析式得， 解得，， 其中即为点的坐标， 点D坐标为． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连结BC，则△BCE面积的最小值为_____． 【答案】4﹣． 【解析】 【分析】设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2-m），再利用AD=2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，为半径的圆上，即可得出结论． 【详解】解：如图，设E（m，n）， 过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N， ∴∠CME＝∠END＝90°， ∴∠MCE+∠MEC＝90°， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝DE，∠CED＝90°， ∴∠NED+∠MEC＝90°， ∴∠MCE＝∠NED， ∴△CME≌△END（AAS）， ∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m， ∴D（m+n，n+2﹣m）， ∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上， 连接AD，则AD＝2， ∴＝2， ∴＝， 即， ∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹）， ∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， ∵C（2，0）， ∴OC＝2， ∴BC＝2， 过点O作OH⊥BC于H， ∴OH＝＝， 设点E到BC的距离为h， ∴S△BCE＝BC•h＝×h＝h， ∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣2， ∴S△BCE最小＝（）＝4﹣， 故答案为：4﹣． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积公式，圆的性质和定义，全等三角形的判定和性质，确定出点D的坐标是解本题的关键，判断出点E的轨迹是解本题的难点． 三．解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： 或， 解得：，． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． （1）以点C为中心，把逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； （2）在（1）中的条件下， ①点A经过的路径的长为______(结果保留π)； ②写出点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查作图旋转变换； （1）根据旋转的定义作出点、绕点逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得． 解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及弧长公式． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 ①，， 点经过的路径的长为， 故答案为：； ②由图知点的坐标为， 故答案为：． 21. 从2025年起，云南省高考将采用“3+1+2”新模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科． （1）若小红在“1”中选择了物理，在“2”中选择了生物，则她选择化学的概率是_________． （2）若小军在“1”中选择了历史，用画树状图或者列表的方法求他在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．选中思想政治、地理的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明选中“思想政治”“地理”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 在“2”中已选择了生物，从剩下的化学、地理，思想品德三科中选一科， ∴小红选择生物的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 把化学、生物、思想政治、地理4科分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小红选中“思想政治”“地理”的结果有2种， ∴小红选中“思想政治”“地理”的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，在中，，，点D在上，以为直径的与相切于点E，与相交于点F， （1）求CF的长度； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）过O作于G，连接，求出的半径以及的长，再证明是等边三角形，即可解答； （2）证明，得到阴影部分的面积等于扇形的面积，即可解答． 【小问1详解】 解：∵与相切于点E， ， ， ， ， ， 如图，过O作于G，连接， 则，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 等边三角形， ， 在与中， ， ， ∴阴影部分的面积=扇形的面积． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数解析式； （2）若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且，求点B的坐标； （3）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数图象的对称性质，结合图象求不等式的解集．掌握反比例函数图象的性质是关键． （1）由点A坐标在正比例函数图象上可求得点A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）因正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称，则可求得点C的坐标为．设点B的坐标为，由面积关系建立关于t的方程，求解即可； （3）由点P到x轴距离小于3，即，所以点P在直线和之间的反比例函数的图象上，借助图形即可求得m的范围． 小问1详解】 解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，， 解得， 所以点A的坐标为 将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图所示， 因为正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称， 所以点C的坐标为 令点B的坐标为， 由得，， 解得， 所以点B的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图所示， 因为，，且点P到x轴距离小于3， 即， 所以点P在直线和之间的反比例函数的图象上， 故m的取值范围是：或． 24. 某商场购进某商品的进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格x元/件，每天的销售量为y件． （1）请直接写出y关于x的函数关系式__________； （2）设每天的销售利润为w元，当每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）若商场规定销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务，求商场销售该商品获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当每件商品的销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元 （3）最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用； （1）根据销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件即可得到y与x的函数关系式； （2）先求出利润w关于x二次函数解析式，然后配方得到顶点式找最值进行解答即可； （3）根据“销售单价不低于70元，且商场要完成不少于160件的销售任务”列不等式组求出x的取值范围，再求出在该范围内的最大值即可． 【小问1详解】 解：y关于x的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∴当时，最大，最大为元， 答：当每件商品的销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：∵商场要完成不少于160件的销售任务， ∴， 解得， 又∵商场规定销售单价不低于70元， ∴， ∵，且，开口向下， ∴当时，w随x的增大而减小， ∴当时，获得的利润最大，最大利润是元． 答：该商场获得的最大利润是元． 25. 如图1，中，，点D，E分别是，的中点，连接．将绕点C逆时针旋转得到（如图2），连接，． （1）求证：； （2）已知，，分别延长，交于点F． ①若，求的长； ②连接，当面积最大时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）① ② 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）由中线可得，再根据夹角相等即可证明相似； （2）①通过证明可得，然后利用勾股定理可求解； ②根据①可得点，在以为直径的圆上，即可得到当面积最大时，是等腰直角三角形，即可得到，然后在中利用勾勾股定理求出的长，然后再在求出长即可． 【小问1详解】 证明： ∵点分别是的中点， ， ， 即 又， ， ； 【小问2详解】 解：①如图， 设交于点， 连接， ， ， 由（1）得 ， ， 又， ， ， ； ②∵， ∴点，在以为直径的圆上， ∴当面积最大时，是等腰直角三角形， ∴，， 如图，过点作于，设，则， 在中，，即， 解得：，（舍去）， ∴． 26. 已知函数图像上一点，当自变量x的范围满足时，函数y有最大值M和最小值N，令，则下列函数： （1）若一次函数，当时，求h的值； （2）若反比例函数，当h的值等于4时，求t的值； （3）若二次函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由题意求出，再由定义可求的值； （2）由题意然后根据h的值列方程解题即可； （3）分四种情况讨论：①当 时， ②当 时， ③当 即 ④当 可得或 解题即可． 【小问1详解】 解：， ， ∵函数， ∴函数的最大值，函数的最小值， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴， 解得：或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴； 【小问3详解】 解：存在实数，使得函数的最大值等于的最小值，理由如下： ， ∴函数的对称轴为直线 的最大值为， ①当时，即 此时，， ， 此时的最小值为，则，解得； ②当时，即 此时， ， 此时的最小值为，则，解得； ③当 即 此时， ， ∴的最小值为； ④当 即 此时 ， ∴的最小值为 ； 由题意可得 解得； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象 及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$