精品解析：辽宁省鞍山市台安县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

台安县2024-2025学年九年级（上）12月限时作业检测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 是实数，则 B. 在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球 C. 杭州明天是阴天 D. 抛投一枚骰子，则上面的点数是6 3. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1 和2 D. 都不对 4. 若关于的函数是一次函数，则的值为（ ） A. 3 B. 2或1 C. 1 D. 0 5. 若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（ ） A. 正八边形 B. 正七边形 C. 正六边形 D. 正五边形 6. 如图，是的弦，点是弦的中点，与交于点，是直径，连接，．若，则半径的长为(　　) A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是外任意一点，分别是的切线，是切点．设与交于点．则点是的（　　） A. 内心 B. 重心 C. 垂心 D. 外心 10. 如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 14. 小明和小华所在的班级需要到校大礼堂统一听讲座，该校大礼堂共有4个入口，每个学生可以选择其中任意一个入口进入大礼堂．则小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是_______． 15. 图1是一个圆柱体，图2是它的主视图．若，，则该圆柱体的侧面积为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 17. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 18. 如果一个正多边形的每个内角都是它相邻的外角的2倍，求正多边形的边数． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 20. 某体育馆有A，B，C三个入口，甲、乙两名观众分别从三个入口中随机选择一个入口进入． （1）求甲选择C入口的概率 （2）求甲选择A入口，同时乙选择B入口的概率（请用画树状图的方法解答）． 21. 金秋时节，辽北农村山货迎来丰收季，某乡村坚果加工厂购进一批成本价为50元的松子，经加工后对外批量销售，如果按70元销售，每天可卖出．通过市场调查发现，松子售价每降低2元，日销售量就增加． （1）若日利润保持不变，该厂想尽快销售完这批松子，售价应定为多少元； （2）某网购平台果品经销商也销售同款松子，标价为75元，为提高市场竞争力，促进线上销售，该经销商对商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 22. 如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：． （2）若的半径是，，求的长． 23. 如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米． （1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台安县2024-2025学年九年级（上）12月限时作业检测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选C． 2. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 是实数，则 B. 在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球 C. 杭州明天是阴天 D. 抛投一枚骰子，则上面的点数是6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解∶A、a是实数，则，是随机事件，不符合题意； B、在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球，是必然事件，符合题意； C、杭州明天是阴天，是随机事件，不符合题意； D、抛投一枚骰子，则上面的点数是6，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 3. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1 和2 D. 都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得：， 故选：A． 4. 若关于的函数是一次函数，则的值为（ ） A. 3 B. 2或1 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴或， ∴或， 故选：B． 5. 若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（ ） A. 正八边形 B. 正七边形 C. 正六边形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：， 即这个多边形的边数是6，是正六边形． 故选：C． 6. 如图，是的弦，点是弦的中点，与交于点，是直径，连接，．若，则半径的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理得，， 根据过圆周角定理得，在证是的中位线，，然后根据勾股定理求出，根据，在，勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的弦，点是弦的中点， ∴，， ∵是直径， ∴， ∵, ∴是的中位线， ， ∵， ， ， 在中 ， ， 在中 ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角、垂径定理、三角形中位线的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角的性质、垂径定理及中位线的判定与性质是解决问题的关键． 7. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 直接根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵和是同弧所对的圆心角和圆周角，且， ． 故选：C． 8. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得到，再利用三角形内角和计算出，然后计算即可． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后得到， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，点是外任意一点，分别是的切线，是切点．设与交于点．则点是的（　　） A. 内心 B. 重心 C. 垂心 D. 外心 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了了切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，圆周角定理，连接，由切线长定理得，，然后证明垂直平分，则有，，由全等三角形的性质可得，，再通过角度和差得，再由圆周角定理可得，最后得出，根据内心的定义即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的切线， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的内心， 故选：． 10. 如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则母线的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，进而得出圆锥的侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵为底面直径，， ∴圆锥的底面周长， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 由题意得：， 解得：， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 12. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 14. 小明和小华所在的班级需要到校大礼堂统一听讲座，该校大礼堂共有4个入口，每个学生可以选择其中任意一个入口进入大礼堂．则小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． 设该校大礼堂个入口分别为，，，，根据题意画出树状图，由树状图可以得出小明和小华进入校大礼堂的情况总数及小明和小华从不同入口进入校大礼堂的情况数，然后代入概率公式求概率即可． 【详解】解：设该校大礼堂个入口分别为，，，， 根据题意，画树状图如下： 由树状图可以看出，小明和小华进入校大礼堂的情况共有种，其中小明和小华从不同入口进入校大礼堂的情况共有种， 小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是， 故答案为：． 15. 图1是一个圆柱体，图2是它的主视图．若，，则该圆柱体的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图和圆柱侧面积计算，先根据主视图得出圆柱底面圆的直径为，高为，再根据圆柱体的侧面积公式求解可得，解题的关键是掌握圆柱侧面积的计算． 【详解】解：由题意知，该圆柱底面圆的直径为，高为， 则该圆柱的侧面积为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键在于选取适当的方法解一元二次方程． （1）提公因式，利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （3）移项，提公因式，利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （4）先去分母整理为一般式，再利用因式分解法解一元二次方程，即可解题． 【小问1详解】 解：， ， 有或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 有或， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 有或， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， 有或， 解得，． 17. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 18. 如果一个正多边形的每个内角都是它相邻的外角的2倍，求正多边形的边数． 【答案】正多边形的边数是6 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，设正多边形的一个外角的度数为，根据题意，列出方程，求出的值，再根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：设正多边形的一个外角的度数为，由题意，得：， 解得：， ∴正多边形的一个外角的度数为， ∴正多边形的边数为：； 答：正多边形的边数是6． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 【答案】（1） A1(−1,−1)，B1(−4,−2)，C1(−3,−4) （2） 如图所示， AI                    AI 【解析】 【分析】本题考查了作图对称变换，轴对称变换，解决本题的关键是熟练掌握中心对称及轴对称的性质． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）先作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某体育馆有A，B，C三个入口，甲、乙两名观众分别从三个入口中随机选择一个入口进入． （1）求甲选择C入口的概率 （2）求甲选择A入口，同时乙选择B入口的概率（请用画树状图的方法解答）． 【答案】（1） （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图求概率以及概率公式， （1）利用概率公式求解即可； （2）画树状图可得共有9中等可能的结果，其中甲选择A入口，同时乙选择B入口的结果有1种，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，甲选择C入口的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9中等可能的结果，其中甲选择A入口，同时乙选择B入口的结果有1种， ∴甲选择A入口，同时乙选择B入口的概率为． 21. 金秋时节，辽北农村山货迎来丰收季，某乡村坚果加工厂购进一批成本价为50元的松子，经加工后对外批量销售，如果按70元销售，每天可卖出．通过市场调查发现，松子售价每降低2元，日销售量就增加． （1）若日利润保持不变，该厂想尽快销售完这批松子，售价应定为多少元； （2）某网购平台果品经销商也销售同款松子，标价为75元，为提高市场竞争力，促进线上销售，该经销商对商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）60元； （2）8折销售． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、不等式的应用等知识点，根据题意正确列出方程和不等式成为解题的关键． （1）设售价应定为x元，则每的利润为元，根据等量关系利润不变列出一元二次方程求解即可； （2）设该款松子需要打a折销售，再根据不等关系销售价格不超过60列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设售价应定为x元，则每的利润为元， 依题意，得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：若日利润保持不变，该厂为尽快销售完这批松子，售价应定为60元． 【小问2详解】 解：设该款松子需要打a折销售， 由题意，得，，解得：． 答：该商品至少需打8折销售． 22. 如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：． （2）若的半径是，，求的长． 【答案】（1）证明：，是的切线，，是的半径， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据切线的性质得，，再根据，，得，则四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论； （2）设，依题意得，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 四边形是矩形，的半径是，， ，， ， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 23. 如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到l的距离为d米． （1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围． 【答案】（1），6米 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得； （2）法一：根据对称性求出平移方式，再根据平移方式即可求出点的坐标；法二：先根据二次函数平移的特点求出下边缘的解析式，进而求出B的坐标即可； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，则设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为6米． 【小问2详解】 法一：∵上边缘抛物线对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴将点C向左平移得到点B的坐标为 法二：∵下边缘抛物线可以看做是上边缘抛物线向左平移t个单位长度得到的， ∴可设， 将点代入得，（舍去） ∴下边缘抛物线的关系式为， ∴当时，， 解得，（舍去）， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为． 当抛物线恰好经过点时，． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使，则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $