精品解析：河南省信阳市罗山县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度上期期中质量监测试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，列入国家级非物质文化遗产名录．下列四个剪纸图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 2. 把方程化为的形式，则m，n的值分别为（ ） A. 3，6 B. 6，3 C. ， D. ，6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查用配方法解一元二次方程，方程移项变形后，配方得到结果，即可确定出与的值． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 可得，， 故选：D． 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，判断各选项是否为整式且最高次数为2即可． 【详解】解：选项A：形如，但未明确，当时不是二次函数，故不符合题意； 选项B：含分式，不符合二次函数为整式的要求，故不符合题意； 选项C：展开得，是最高次为2的整式，且二次项系数，符合二次函数定义，故符合题意； 选项D：展开得，是一次函数，故不符合题意． 故选：C． 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 5. 如图，与关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是（ ） A. B. C. 点A的对称点是点 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，C，D正确， 故选：B． 6. 电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为2亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为5亿元，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：B． 7. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 8. 若抛物线与x轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，能够求出定弦抛物线的表达式并掌握平移规律是解题的关键．先根据定弦抛物线的定义求出定弦抛物线的表达式，再按图象的平移规律平移即可． 【详解】∵某定弦抛物线的对称轴为直线， ∴某定弦抛物线过点， ∴该定弦抛物线的解析式为， ∴将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是， 即， ∴抛物线顶点坐标为． 故选A． 9. 如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点B、D的坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，轴于点F，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴每8次旋转一个循环， ∵ 由题意可得，最后的位置是,如图， ∴点的坐标 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键． 10. 如图，点，是抛物线：上的两点，将该抛物线向左平移，得到抛物线，点，的对应点分别为点，，则曲线段扫过的阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，图中阴影部分的面积是平行四边形的面积，根据点、的坐标求得该平行四边形的一高为3，结合平移后的抛物线解析式求得平移距离是3，即底边长为3，结合平移规律解答． 【详解】解：∵将抛物线向左平移，得到抛物线， ∴平移的距离是， ∴， ∵点，是抛物线：上的两点， ∴点到的距离为， ∴曲线段扫过的阴影部分面积为， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的判别式：根据一元二次方程根的情况求参数．因为关于的一元二次方程有实数根，则，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 12. 已知点与点关于原点对称，则的值是__________. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（−x，−y），进而得出即可． 【详解】∵点P（−b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称， ∴−b＝−3，−2＝2a， ∴b＝3，a＝−1． ∴=（-1）3=-1 故答案为：−1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，熟练掌握其性质是解题关键． 13. 如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是_______（不需要写自变量取值范围）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由剪去小正方形的边长，可得出折叠成的盒子的底面长为，宽为，利用矩形的面积公式，可得出S关于x的函数关系式 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为， ∴折叠成的盒子的底面长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 14. 如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意得抛物线过点，设抛物线解析式为，代入得，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得抛物线过点， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线的解析式为， ， 令， 解得， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为： ． 15. 如图，若∠ACE＝∠AEC＝∠ADC＝45°，∠ACD－∠AED＝60°，DC＝3，则DE的长为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AD＝AH，∠DAH＝90°，CH＝DE，∠AED＝∠ACH，求出∠DHC＝30°，且∠CDH＝90°，根据含30°直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵∠ACE＝∠AEC＝45°， ∴AC＝AE，∠CAE＝90°， 如图3，将△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ACH，连接DH， ∴△AED≌△ACH， ∴AD＝AH，∠DAH＝90°，CH＝DE，∠AED＝∠ACH， ∴∠ADH＝45°， ∵∠ADC＝45°， ∴∠HDC＝90°， ∵∠ACD−∠AED＝60°， ∴∠ACD−∠ACH＝60°＝∠DCH， ∴∠DHC＝30°，且∠CDH＝90°， ∴CH＝2CD＝6， ∴DE＝CH＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及含30°直角三角形的性质，利用旋转的性质构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法即可求解； （2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）可由绕点旋转得到，则点M的坐标为________． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求； （2） 解：如图所示即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，找旋转中心，坐标与图形； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据旋转变换的定义与性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，点M的坐标为； 故答案为：． 18. 已知，是一元二次方程的两实根. （1）如果，求的值； （2）如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理，当时，三角形的周长为17； ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 19. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点D在上，． （1）求的大小； （2）若，与交于点O，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由旋转的性质可得， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． （1）由旋转的性质得到，根据等边对等角得到，则由平角的定义可得答案； （2）由旋转的性质得到，证明，得到． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：略． 20. 如图，已知抛物线 交x轴于两点，交 y轴于点C，点 P是抛物线上一点，连接 ． （1）求b，c 的值； （2）连接，若 ，求点 P 的坐标； （3）若点 P 在第一象限内，过点 P作轴交直线 于点D，求线段的最大值． 【答案】（1） （2）P的坐标为或． （3）线段最大值为 【解析】 【分析】（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式即可求解； （2）可求，①当P在x轴上方时，设，可求，由，即可求解；②当P在x轴下方时，由①得可求，由，即可求解； （3）求出直线的表达式为．设，则，得到，根据二次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； ①如图，当P在x轴上方时， 设， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， ∴ ∴此方程无实数根， ∴在x轴上方不存在P点满足题意． ②如图，当P在x轴下方时， 由①得：∴ =， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， 当时，； 当时，； ∴P的坐标为或． 【小问3详解】 设直线的表达式为， 将分别代入， 得 解得 故直线的表达式为． 设，则， ∴， ∵， ∴当时，线段有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，二次函数与图形面积问题，正确理解题意是解题的关键． 21. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 （3）销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用． （1）设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ， 解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 单价不低于成本价，且不高于50元销售， 不符合题意，舍去． 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 22. 【项目式学习】 【项目主题】如何调整电梯球、落叶球的发球方向. 【项目素材】 素材一，如图1是某足球场的一部分，球门宽，高，小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分． 素材二，如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系． 【项目任务】 任务一：足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此时足球能否入网？ 任务二：改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？ 上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网；根据以上素材，探索完成任务. 【答案】任务一：，不能落网；任务二：能打到远角E处再入网 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，勾股定理是解题的关键． 任务一：由题意知，抛物线的顶点坐标为即，设抛物线的解析式为，将代入，可求，进而可得抛物线的解析式为，当时，即，可求，然后作答即可； 任务二：由运动路线的形状不变，以为原点，所在的直线为轴，抛物线的表达式为；由勾股定理得，，当时，，然后作答即可． 【详解】任务一：解：由题意知，抛物线的顶点坐标为即， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，即， ∴， ∴足球不能落网； 任务二：解：∵运动路线的形状不变， ∴以为原点，所在的直线为轴，抛物线的表达式为； ∵，，， 由勾股定理得，， 当时，， ∴能打到远角E处再入网． 23. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：谈你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1） 解：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴． ∴矩形为正方形． （2） ①． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ：①略 ②解：如图：设的交点为M，过M作于G， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴，即； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上期期中质量监测试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，列入国家级非物质文化遗产名录．下列四个剪纸图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程化为的形式，则m，n的值分别为（ ） A. 3，6 B. 6，3 C. ， D. ，6 3. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5. 如图，与关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是（ ） A. B. C. 点A的对称点是点 D. 6. 电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线与x轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点，是抛物线：上的两点，将该抛物线向左平移，得到抛物线，点，的对应点分别为点，，则曲线段扫过的阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 12. 已知点与点关于原点对称，则的值是__________. 13. 如图，把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子（纸板厚度忽略不计）盒子底面积与剪去的小正方形边长之间的函数表达式是_______（不需要写自变量取值范围）． 14. 如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为________ 15. 如图，若∠ACE＝∠AEC＝∠ADC＝45°，∠ACD－∠AED＝60°，DC＝3，则DE的长为_______． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）可由绕点旋转得到，则点M的坐标为________． 18. 已知，是一元二次方程的两实根. （1）如果，求的值； （2）如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 19. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点D在上，． （1）求的大小； （2）若，与交于点O，求证：． 20. 如图，已知抛物线 交x轴于两点，交 y轴于点C，点 P是抛物线上一点，连接 ． （1）求b，c 的值； （2）连接，若 ，求点 P 的坐标； （3）若点 P 在第一象限内，过点 P作轴交直线 于点D，求线段的最大值． 21. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 22. 【项目式学习】 【项目主题】如何调整电梯球、落叶球的发球方向. 【项目素材】 素材一，如图1是某足球场的一部分，球门宽，高，小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分． 素材二，如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系． 【项目任务】 任务一：足球运动的高度与水平距离之间的函数关系式，此时足球能否入网？ 任务二：改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？ 上述任务1、任务2中球落在门柱边线视同球入网；根据以上素材，探索完成任务. 23. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：谈你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $