精品解析：四川省眉山市区县高中学校2024-2025学年高三上学期一诊模拟联考数学试题

区县高中学校25届高三一诊模拟联考 数学试题 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点在直线上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(，a≠1)，对任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. [2，e] C. [e，＋∞) D. (e，＋∞) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 每一个直角三角形的面积为 B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 11. 设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（ ） A. 都是的周期 B. 曲线关于点对称 C. 曲线关于直线对称 D. 都是偶函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k=_________ 13. 已知钝角的面积是，且，，则__________． 14. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是_________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 16. 如图，已知三棱锥中，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）点满足，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 18. 目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看． （1）已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率； （2）若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为． ①判断为何值时，最大； ②记，求． 19. 已知函数. （1）当时，记函数的导数为，求的值. （2）当，时，证明：. （3）当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值. （注：是自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 区县高中学校25届高三一诊模拟联考 数学试题 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定集合，再由并集定义求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定即可解答. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是存在量词命题，即，， 故选：B. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、B、C选项可用赋值法判断正误，D选项根据指数与对数计算法则判断. 【详解】设则 ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案． 【详解】若，，，则，充分性成立； 若，可能，，此时，所以必要性不成立． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 5. 关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，可知不等式恒成立；当时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】x的不等式对一切恒成立， 当时，不等式对一切恒成立， 当时，时，则有，解得， 所以k的取值范围是. 故选：D 6. 在中，点在直线上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画出及点D的位置，再由向量的线性运算即可由表示出. 【详解】因为， 所以 故选：A. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】由图可知，即，又，所以， 又关于对称，且， 因为且，所以，解得，所以， 所以，解得，所以， 所以. 故选：A 8. 已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(，a≠1)，对任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. [2，e] C. [e，＋∞) D. (e，＋∞) 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数得到在是单调递增函数，对任意的，，不等式恒成立，转化为，再求出，， 所以，即，即，所以，解不等式即得解. 【详解】依题意，① 因为， 当时，对任意的，，，，恒有； 当时，，，，，恒有； 所以在是单调递增函数. 那么对任意的，，不等式恒成立， 只需，② 因为 ，， 所以，即，即， 所以，从而有，而当时，①显然成立. 故选:C 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 每一个直角三角形的面积为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合勾股定理，求出直角三角形的直角边的长度，再逐项验证即可. 【详解】如图： 设，，则，所以. 所以，. 对于A选项：每个直角三角形的面积为：，故A正确； 对于B选项：，故B错误； 对于C选项：，故C正确； 对于D选项：，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，则可判断A选项；整体代入法计算的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项． 【详解】函数 ． 选项A：，故最大值为2，A正确； 选项B：时，不单调递增，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时， 即以及时，在上有2个零点，故C正确； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误. 故选：AC． 11. 设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（ ） A. 都是的周期 B. 曲线关于点对称 C. 曲线关于直线对称 D. 都是偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得. 【详解】由是奇函数，故有，即有， 故，则，即，故关于对称， 由，则，即， 故关于中心对称， 由，则，又， 故，即有， 则，故， 即，故，故周期为. 对A：当时，，故A错误； 对B：由周期为，故， 又，故，故， 故曲线关于点对称，故B正确； 对C：由周期为，故， 又，故， 故曲线关于直线对称，故C正确； 对D：由B得，故，又周期为， 故有，故，又， 即都是奇函数，故D错误. 故选：BC. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k=_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意表示出，结合对数的运算，即可求出结果. 【详解】由题知， ， 又， 所以，. 故答案为： 13. 已知钝角的面积是，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】三角形面积公式为,所以，若为钝角时，则,由余弦定理，，解得；若为锐角时，则，由余弦定理，，解得，此时，为直角边1的等腰直角三角形，不符合题意．综上，. 14. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题目先得到的奇偶性和单调性，从而令，若仅有一个实数根，则，此时只有两个根，不符合题意，若有两个实数根，由对称知，，故和均有两个解，根据判别式即可得到且，然后结合函数单调性和奇偶性求得结果. 【详解】由题知，的定义域为， 且， 所以为偶函数， 当时，恒成立， 所以在上单调递增， 由对称性可知在上单调递减， 所以， 令， 若仅有一个实数根，则， 此时，解得或，有两个根，不符合，舍去； 若有两个实数根，由对称知，， 需要满足和均有两个解， 即和均有两个解， 由，，解得， 又，故. 故答案为： 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路主要有： （1）利用换元思想，设出内层函数； （2）分别作出内层函数与外层函数的图像，分别探讨内外函数的零点个数或范围； （3）内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）， （2） 由上知:， 故， 易知单调递增， 时，， 又，即，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用递推公式作差计算即可求得通项公式； （2）利用（1）的结论及裂项相消法求和，再利用数列的单调性计算范围即可证明. 【小问1详解】 已知， 当时，； 当时，， 则， 显然时，，满足上式， 综上，； 【小问2详解】 略 16. 如图，已知三棱锥中，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）点满足，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为为的中点，所以. 因为， 所以和为全等的等边三角形. 所以.又因为为的中点，所以. 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，由（1）知，和分别为等边三角形，所以. 又因为为的中点，所以. 在Rt中，. 在中，，所以. 所以两两互相垂直. 以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.由题知， 所以，，. 设平面的一个法向量为. 则，即，令，则， 所以，. 设平面的一个法向量为. 则，即，令，则， 所以，. 设平面与平面所成角为，则. 17. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角. （2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 由 得，而为三角形内角， 故 ,得，而为三角形内角，或 【小问2详解】 由得， 又，∴， ，故 ， 由（1）得，故， ∴，而为三角形内角， ∴. 又即， 又，而为三角形内角，故， . 18. 目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看． （1）已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率； （2）若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为． ①判断为何值时，最大； ②记，求． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播直播的概率，然后利用对立事件的概率，即可求解； （2）①由已知服从二项分布，则，进而可得，然后利用比值与1比较大小，即可求解； ②因为，所以可能取值为1或，然后结合①分别求出和的概率代入，即可得解. 【小问1详解】 由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为， 所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为. 【小问2详解】 ①由已知服从二项分布，所以， 由， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，最大. ②因为，所以或， 当时，， ， 当时，， ， . 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解服从二项分布，由二项分别公式利用与1进行比较大小，得到最大时的取值；由，得到可能取值为1或是所对应的值，结合二项式定理化简得到答案. 19. 已知函数. （1）当时，记函数的导数为，求的值. （2）当，时，证明：. （3）当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值. （注：是自然对数的底数）. 【答案】（1） （2） 当时，，∴， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得最小值， 则，即， ∴，∴， ∴在上单调递增， ∴，得证； （3） 【解析】 【分析】（1）由得到，然后求导后求解； （2）当时，，利用导数法证明； （3）求导，由，得到，从而，令，得到，再利用导数法求解. 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， ，所以，， 所以在上递增，，上递减， 由题意，，得， ， 由得到，记， 则， ，所以，， ∴在上递减，在上递增. ∴， 设，则,故在上为增函数， 当时，， ∴. 【点睛】方法点睛：利用导数法证明不等式，一般是构造函数，转化为证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $