精品解析：山东省东营市广饶县第一中学（二校区）2024-2025学年高二上学期12月月考卓越班数学试题

广饶一中二校区66级12月月考 卓越班数学试题 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 2. 已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. 3 C. D. 4. 用这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 5. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ） A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 7. 已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点.且，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 10. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 点到平面的距离 C. 异面直线与所成的角为 D. 存在点，使得直线与平面所成的角为 11. 已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 存在某条直线，使得 D. 若点，则周长的最小值为 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为________． 13. 已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.若，其中为坐标原点，则原点到直线的距离是______. 14. 如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足，，，若点，分别为焦点在轴上的椭圆：的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，设椭圆的离心率为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 16. 某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课 （1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？ （2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ （3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 17. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由. 18. 已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、，求证：直线DE过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广饶一中二校区66级12月月考 卓越班数学试题 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6， 所以点M到y轴的距离为. 故选：C． 2. 已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意可得，解出即可得. 【详解】可化为， 则，解得或， 即的取值范围是. 故选：D. 3. （ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】. 故选：B 4. 用这五个数字能组成无重复数字且与不相邻的五位数的个数有（ ） A. 36 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分当在万位，当在万位，当在万位和当在万位四种情况分别求解即可. 【详解】根据题意：当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当在万位时，共有：种； 当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种； 当在万位时，千位不能排，所以千位有：种，再排列剩下的数字有：，所以当在万位时，共有：种； 当在万位时，先排和，有：种，会出现三个空，再将数字和插入三个空，有种，所以当在万位时，共有：种； 综上所述：满足条件的方法共有：. 故选：C. 5. 已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 【详解】连接，则. 又，所以四边形为正方形，， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切， 所以点到直线的距离，解得. 故选：D. 6. 如图，正方体的棱长为1，点M在棱上，且，点P是平面上的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（ ） A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】作，，即为点到直线的距离，由勾股定理得，由已知，故，即到点的距离等于到的距离 【详解】解：如图所示，在正方体中，作，垂足为， 则平面，过作，则平面， 则为点到直线的距离， 由题意得， 由已知得， 所以， 即到点的距离等于到的距离， 所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线， 故选：B 【点睛】此题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结的数学思想，属于中档题 7. 已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B 8. 设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点.且，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得，进一步得为等边三角形，且轴，从而可得解. 【详解】由椭圆的定义，得， 由余弦定理，得 ， 整理得：，又， ， 因此，，又，则为等边三角形， 由椭圆对称性得轴，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种 B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种 C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种 D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，定序问题采用倍缩法进行求解；B选项，采用插空法进行求解；C选项，分两种情况，若最左端排乙，最左端不排乙，分别求出两种情况下的排法，相加即可；D选项，使用捆绑法进行求解； 【详解】对于A，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排列有种情况，故A错误； 对于B，先安排丙，丁，戊三人，有种情况，再将甲乙两人插空，则有种情况，故甲乙不相邻的排法种数为种情况，故B正确； 对于C，若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有种；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊选出1人，又乙不能在最右端，则有种情况，则共有种站法，故C错误； 对于D，将甲与乙捆绑，看做一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有种，故D正确； 故选：BD 10. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 点到平面的距离 C. 异面直线与所成的角为 D. 存在点，使得直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，证明出线面平行，得到点到平面的距离为定值，结合为定值，故四面体的体积为定值，A正确；B选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到点到平面的距离；C选项，利用异面直线夹角向量公式求出答案；D选项，设出点的坐标，利用线面角的向量求解公式得到，D正确. 【详解】A选项，因为，平面，平面， 所以平面， 又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值， 又为定值，故四面体的体积为定值，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故点到平面的距离 ，B正确； C选项，，， 则， 故异面直线与所成的角不为，C错误； D选项，设，， 由B选项知，平面的法向量为 设直线与平面所成角为， 则， 令，解得，负值舍去， 故存在点，使得直线与平面所成的角为，D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 存在某条直线，使得 D. 若点，则周长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由则、两点坐标且在抛物线 上，代入方程进而判断选项；直线方程为与抛物线联立，再根据韦达定理代入可求其值则可判断选项B；利用选项B中代入利用不等式求最小值后进行判断选项C；画出大致图像，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，过作垂直于准线，垂足为，结合的周长为，进而判断选项D即可． 【详解】由对称性得点在抛物线上， 所以，解得，故A选项正确； 设直线和双曲线交于两点， 设直线方程为， 代入抛物线方程可得：，， 所以， 所以： 故B选项正确； 则， 当且仅当时等号成立，故C错误； 如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点为，过点作轴的垂线， 过作垂直于准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号，故D选项正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：我们在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法； （1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合； （2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法； （3）抛物线定义结合焦点弦公式. 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数的计算公式化简计算，再结合的取值范围即可得出答案. 【详解】原不等式可化为，其中，， 整理得，即，所以或． 因为，，所以，，所以原不等式的解集为． 故答案为：. 13. 已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.若，其中为坐标原点，则原点到直线的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的方程，与圆的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示，列式求出，进而求出点到直线距离. 【详解】依题意，直线：，设， 由消去得， 则，，， 于是，解得， 当时，方程中，符合题意， 所以的方程为，原点到直线的距离是. 故答案为： 14. 如图所示，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD满足，，，若点，分别为焦点在轴上的椭圆：的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，设椭圆的离心率为，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由，可得，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将代入椭圆及圆的方程，可求出，即可求得离心率. 【详解】依题意，，，设，，连接， 由，，知，，，在以为直径的圆上，且， 又原点为圆的弦的中点，则圆心在的垂直平分线上， 即在轴上，有，由， 得，而， 于是， 当时，则0， 若，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾， 于是，则，圆的圆心坐标为， 圆的方程为，将代入得，又， 因此，所以椭圆的离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 【答案】（1）， （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，代点计算，即可求解； （2）根据题意，易知点不在抛物线上，分别讨论过点的直线斜率不存在、斜率为0、斜率存在且不为0三种情况，即可求解. 【小问1详解】 由抛物线C：过点， 可得，解得. 所以抛物线C的方程为，其准线方程为. 【小问2详解】 根据题意，易知点不在抛物线上. ①当直线l的斜率不存在时，符合题意； ②当直线l的斜率为0时，符合题意； ③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为， 由，得，由，得， 故直线l的方程为. 综上直线l的方程为或或. 16. 某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课 （1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？ （2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ （3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据数学必须比语文先上定序问题的排列用除法即倍缩法可求解； （2）分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和即可； （3）根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法可求解. 【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种； （2）如果体育排在最后一节，有种， 体育不排在最后一节有种， 所以共有种， （3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变， 则有种 【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（l）由线线平行或面面平行证明线面平行； （2）通过建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，或利用几何法解决. 【小问1详解】 . 解法一 证明：取中点E，连接和. C为中点，且， 且，且， 四边形为平行四边形，则， 面，面，面. 解法二： 如图所示，取的中点Q，连接，， 在，C为中点，Q为中点，， 平面， 平面，平面， 在四边形中，，，Q为中点， ，， 四边形为平行四边形，， 平面， 平面，平面 又，平面，平面平面， 由平面，平面 【小问2详解】 解法一： 取中点O，连接，则等边中. 面面，面面，面， 面，面，可得. 又，，面，面， 以N为坐标原点，，为x，y轴，过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，则， ， 依题意可得平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即， 二面角为，则， ，（舍）， ，则. 解法二： 取中点O，连接，则等边中. 面面，面面，面， 面，面，可得. 又，，面，面 取的中点E，以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， ，，， 由已知是平面的一个法向量，记为， 假设线段上存在点F满足已知条件，则有，且， 设，有，， ，，，即，， 设平面的一个法向量为， 则， 取， 由已知得， 整理得，即化简得， 解得，（舍去）， 线段上存在点F，当时，已知条件成立， 则有， ，. 求平面的一个法向量的另一种解法： ， 平面的一个法向量可取 解法三：几何法 作， ，，，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角, 设，在中，，， 在中，由得， 由已知得， 在直角三角形中，，， 在直角三角形中，， 所以在中，由,得. 18. 已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 【解析】 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【小问1详解】 由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、，求证：直线DE过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下，求的最大值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，定点； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点，借助三角形面积求出点的坐标，再利用椭圆定义求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及垂直关系的坐标表示计算推理即得. （3）由（2）的信息，利用弦长公式求出长及最大值，再借助勾股定理及基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 设，由，得焦点，则， 由的面积为，得，解得， 而点在抛物线上，则，即， 于是， 所以，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆：的上顶点，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 由消去整理得， ，由，得， 而，则， 即，整理得， 则， 化简得，而，解得， 所以直线：恒过定点. 【小问3详解】 由（2）知，， 则 ， 令，则， 当且仅当，即时取等号，而， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $