山东省东营市广饶县第一中学（二校区）2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

二校区 66 级数学组 姓名： 班级： 试卷第 1页 广饶一中二校区 66 级 12 月月考 数学试题 12.13 一、单项选择题: 1.已知直线 3x+y-3=0和 6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( ) A.4 B. 10 20 C. 10 4 D.7 10 20 2.如果点  ,M x y 在运动过程中，总满足关系式    2 22 23 3 4 3x y x y      ，则点M 的轨迹是 （ ）． A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线 3.已知椭圆 C:� 2 � + � 2 4 =1(m>4)的离心率为 3 3 ,则椭圆 C的长轴长为( ) A. 6 B.6 C.2 6 D.12 4.（错题重做）已知椭圆 2 2 1 9 x y  和双曲线 2 2 2 1( 0) yx b b    的公共焦点为 1 2,F F ，在第一象限内的交点为 P，则 1 2PF PF    （ ） A．-4 B．-6 C．-8 D．-9 5.过双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) y xC a b a b     内一点  1,1M 且斜率为 1 2 的直线交双曲线于 ,A B两点，弦 AB恰好被 M 平分，则双曲线C的离心率为（ ） A． 6 2 B． 5 2 C． 3 D． 5 6.已知从点(-5,3)发出的一束光线,经 x轴反射后,反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,则反射光线所 在的直线方程为( ) A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0 C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=0 7.椭圆 2 2 1 9 5 x y   上任一点 P到点  1,0Q 的距离的最小值为（ ） A． 3 B． 15 2 C．2 D． 2 5 3 8.已知 M是抛物线 y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,N是 x轴上点 F右侧一点,若以 FN为始边,FM为终边 的角∠NFM=60°,则|FM|等于( ) A.2 B.4 3 3 C.2 3 D.4 二校区 66 级数学组 姓名： 班级： 试卷第 2页 二、多项选择题 9.已知方程 �2 4−� + � 2 �-1 =1表示的曲线为 C,则以下四个判断正确的为( ) A.当 1<t<4时,曲线 C表示椭圆 B.当 t>4或 t<1时,曲线 C表示双曲线 C.若曲线 C表示焦点在 x轴上的椭圆,则 1<t<5 2 D.若曲线 C表示焦点在 y轴上的双曲线,则 t>4 10.已知圆 O:x2+y2=4和圆 M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于 A,B两点,下列说法正确的为( ) A.两圆有两条公切线 B.直线 AB的方程为 y=2x+4 C.线段 AB的长为6 5 D.圆 O上点 E,圆 M上点 F,|EF|的最大值为 5+3 11.设 A,B是抛物线 x2=y上的两点,O是坐标原点,下列结论正确的是( ) A.若 OA⊥OB,则|OA||OB|≥2 B.若 OA⊥OB,直线 AB过定点(1,0) C.若 OA⊥OB,点 O到直线 AB的距离不大于 1 D.若直线 AB过抛物线的焦点 F,且|AF|=1 3 ,则|BF|=1 三、填空题 12.� = 1 4 �2的焦点坐标是 . 13.双曲线� 2 4 − � 2 �2 =1(b>0)的离心率为 5 2 ,过双曲线的右焦点 F作直线垂直于双曲线的一条渐近线,垂足为 A, 设 O为坐标原点,则|OA|= . 14.设椭圆� 2 25 + � 2 9 =1上的一点 P到椭圆两焦点的距离的乘积为 s,则当 s取得最大值时,点 P的坐标 是 . 四、解答题:本题共 6小题,共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在 x轴，且长轴长为12，离心率为 1 2 ； (2)已知双曲线以椭圆 2 2 1 8 5 x y   长轴的端点为焦点，且经过点 (3, 10) . 二校区 66 级数学组 姓名： 班级： 试卷第 3页 16.已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左焦点为 F ，离心率为 1 2 ，且C经过点 31, 2       . (1)求C的方程； (2)已知 11, 2 M      是椭圆内一点，过点M 任做一条直线与椭圆交于 B、C两点，求以M 为中点的弦所在的 直线方程. 17.已知抛物线 C1:y2=8x的准线与 x轴交于点 F1,其焦点为 F2,椭圆 C2以 F1,F2为焦点,且离心率为 2 2 . (1)求椭圆 C2的标准方程; (2)设直线 l:y=x+t与椭圆 C2交于 A,B两点,若|AB|=4,求△AOB(点 O为坐标原点)的面积. 二校区 66 级数学组 姓名： 班级： 试卷第 4页 18.如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD 平面 ABCD， AB CD∥ ， 90ADC  ，且 2 2AD CD PD AB    ． (1)求证： AB 平面 PAD； (2)求平面 PAD与平面 PBC 夹角的余弦值； 19.已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，焦 距为 2 . (1)求椭圆的方程； (2)直线 l过点  0,2P 且与椭圆相交于 A、B两点，当 AOBV 面积取得最大值时，求直线 l的方程. 二校区 66 级数学组 姓名： 班级： 5 数学月考答案 1.D 由直线平行可得 3m-6=0,解得 m=2,则直线方程为 6x+2y+1=0,即 3x+y+1 2 =0,则距离是 1 2+3 32+12 = 7 10 20 . 2.B    2 22 23 3 4 3x y x y      表示平面由点  ,M x y 到点 (0, 3), (0,3) 的距离之和为 4 3，而 3 ( 3) 6 4 3    ，所以点M 的轨迹是椭圆。 3.C 由题意可知 �-4 � = 3 3 ,解得 m=6,即 a= 6,所以椭圆长轴长为 2 6. 4.B 已知椭圆 2 2 1 9 x y  和双曲线 2 2 2 1( 0) yx b b    的公共焦点为 1 2,F F ，在第一象限内的交点为 P， 由椭圆和双曲线的定义，有 1 2 1 2 6 2 PF PF PF PF       ，解得 1 2 4 2 PF PF     ， 由椭圆方程 2 2 1 9 x y  ，得 1 2 2 2 9 1 4 2F F c    ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos 6 2 PF PF FF PF PF PF PF FPF PF PF PF PF                . 5.C解：由题意可得 1 2 1 22, 2x x y y    ，且 1 2 1 2 1 2 y y x x    ， 又因为 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 y x a b y x a b        ，所以 1 2 1 2 1 2 2 12 2 1 1( )( ) ( )( ) 0y y y y x x x x a b       ，即有 1 2 1 22 2 2 2( ) ( )y y x x a b    ， 所以 22 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 y y ab x x b a      ，所以 2 22b a ，所以 2 2 2 23c b a a   ，所以 2 2 2 3 ce a   ，所以 3e  . 6.A 设点 A的坐标为(-5,3),圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆心坐标为 B(1,1), 设 C(x,0)是 x轴上一点,因为反射光线恰好平分圆(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,所以反射光线经过点 B(1,1). 由反射的性质可知 kAC+kBC=0⇒ 3−0 -5-� + 1−0 1−� =0⇒x=-1 2 ,于是 kBC= 1−0 1−(−12) = 2 3 ,所以反射光线所在的直线方程为 y=2 3 x+1 2 ⇒2x-3y+1=0.故选 A. 7. B设点 P的坐标为  ,m n ，其中 [ 3,3] m ，由 2 2 1 9 5 m n   ，可得 2 2 55 9 mn   ， 又由 2 2 2 2 5( 1) ( 1) 5 9 PQ m n m m       24 2 6 9 m m  24 9 15 9 4 4 m       ， 当 9 4 m  时， PQ 取得最小值，最小值为 min 15 2 PQ  . 8.D 如图所示,由题意得焦点坐标 F(1,0),准线方程为 x=-1, 二校区 66 级数学组 姓名： 班级： 6 设 M的坐标为 � 2 4 ,y ,∠NFM=60°,∴� 2 4 >1,∴|y|= 3 � 2 4 -1 ,整理得 3y2-4|y|-4 3=0,解得|y|=2 3,又 ∠NFM=60°,∴|FM|= 2 3 sin60° =4. 9.BCD 若曲线 C: � 2 4−� + � 2 �-1 =1表示椭圆,则 4 − � > 0, �-1>0, 4 − � ≠ �-1, ∴1<t<4且 t≠5 2 ,故 A不正确; 若曲线 C: � 2 4−� + � 2 �-1 =1表示双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或 t>4,故 B正确; 若曲线 C: � 2 4−� + � 2 �-1 =1表示焦点在 x轴上的椭圆,则 4 − � > 0, �-1>0, 4 − � > �-1, ∴1<t<5 2 ,故 C正确; 若曲线 C: � 2 4−� + � 2 �-1 =1表示焦点在 y轴上的双曲线,则 �-1>0,4 − � < 0,∴t>4,故 D正确.故选 BCD. 10.ABD 圆 O:x2+y2=4的圆心 O(0,0),半径 r1=2,圆 M:(x+2)2+(y-1)2=1的圆心 M(-2,1),r2=1, |OM|= (-2)2 + 12 = 5,显然有 r1-r2<|OM|<r1+r2,于是得圆 O与圆 M相交,圆 O与圆 M有两条公切线,故 A 正确; 由 �2 + �2 = 4, �2 + �2 + 4�-2� + 4 = 0, 得 4x-2y+8=0,则直线 AB的方程为 y=2x+4,故 B正确; 圆心 O到直线 AB:2x-y+4=0的距离 d= 4 22+(−1)2 = 4 5 5 ,则|AB|=2 �12-�2=2 22- 4 5 5 2 = 4 5 5 ,故 C不正确; |EF|≤|EO|+|OF|≤|EO|+|OM|+|MF|=r1+|OM|+r2= 5+3,当且仅当点 E,O,M,F四点共线时等号成 立,如图,因此当点 E,F分别是直线 OM与圆 O交点 E',与圆 M交点 F'时,|EF|max= 5+3,故 D正 确.故选 ABD. 11.ACD 对于 A,设 A(x1,�12),B(x2,�22). ∵OA⊥OB,∴�� ·�� =0,∴x1x2+(x1x2)2=0,∴x1x2(1+x1x2)=0,∴x2=- 1�1, ∴|OA||OB|= �12(1+�12)· 1 �1 2 · 1 + 1 �1 2 = 1 + �12 + 1 �1 2 + 1 ≥ 2+ 2=2,当且仅当 x1=±1时等号成立,A正确; 对于 B,若 OA⊥OB,显然直线 AB的斜率存在,设直线 AB的方程为 y=kx+m, 联立方程 � = �� + �, � = �2, 消去 y得 x 2-kx-m=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=k,x1x2=-m,∴y1y2=�12�22=(x1x2)2=m2. ∵OA⊥OB,∴�� ·�� =0,∴x1x2+y1y2=0,∴-m+m2=0,∴m=0或 m=1, 易知直线 AB不过原点,∴m=1,∴直线 AB的方程为 y=kx+1,恒过定点(0,1),故 B错误; ∴点 O到直线 AB的距离 d= 1 1+�2 .∵k2≥0,∴k2+1≥1,∴d≤1,故 C正确; 对于 D,直线 AB过抛物线的焦点 F 0, 1 4 ,设直线 AB的方程为 y=kx+1 4 , 联立方程 � = �� + 1 4 , �2 = �, 消去 y得 x2-kx-1 4 =0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点 A在 y轴右侧, ∴x1+x2=k,x1x2=- 1 4 ,∴|AF|=y1+ 1 4 = 1 3 ,∴y1= 1 12 ,∴x1= 3 6 ,∴x2= -14 �1 =- 3 2 ,∴y2= 3 4 ,∴|BF|=y2+ 1 4 =1,故 D正确. 二校区 66 级数学组 姓名： 班级： 7 12.（0，1） 13.2 因为双曲线� 2 4 − � 2 �2 =1(b>0)的离心率为 5 2 ,可得 4+� 2 2 = 5 2 ,则 b=1,所以双曲线� 2 4 -y2=1的 右焦点 F( 5,0),其中一条渐近线方程为 x-2y=0,所以|AF|= 5 1+(−2)2 =1,所以|OA|= ( 5)2-12=2. 14.(0,3)或(0,-3) 设椭圆� 2 25 + � 2 9 =1的焦点为 F1,F2,由椭圆定义可得,|PF1|+|PF2|=2a=10, 则 s=|PF1|·|PF2|≤ |��1|+|��2| 2 2=a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=a=5,即 P(0,3)或(0,-3),s取得最大值 25. 15.（1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为 2 2 2 2 1 x y a b   （其中 0a b  ）则 2 12a  ，∴ 6a  ，且离 心率为 1 2 ce a   ，∴ 3c  ∴ 2 2 2 2 26 3 27b a c     ，故所求的椭圆的标准方程为 2 2 1 36 27 x y   （2）由题意得，双曲线的焦点在 x轴上，且 2 2c  .设双曲线的标准方程为 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     ， 则有 2 28b a  ， 2 2 9 10 1 a b   ，解得 2 3a  ， 2 5b  .故所求双曲线的标准方程为 2 2 1 3 5 x y   . 16.（1）依题意可得 2 2 2 2 2 1 2 1 9 1 4 ce a a b c a b            ，解得 2 2 4 3 1 a b c       ，所以椭圆方程为 2 2 1 4 3 x y   ； （2）根据题意得中点弦的斜率存在，且M 在椭圆内，设  1 1,B x y ，  2 2,C x y ，所以 2 2 1 1 1 4 3 x y   ， 2 2 2 2 1 4 3 x y   ，两式作差得 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) 0 4 3 x x x x y y y y      ， 由于 11, 2 M      是 BC的中点，故 1 2 2x x  ， 1 2 1y y  ，所以 1 2 1 2 1 2 1 2 0 4 3 x x y y y y x x        ， 所以 1 1 0 2 3 BC k   ，所以 3 2BC k   ，所以中点弦的方程为  1 3 1 2 2 y x    ，所求的直线方程3 2 4 0x y   ． 17.(1)解 由抛物线的定义,得 3+� 2 =4,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x,将点 T(3,t)代入,得 t2=12,解得 t=±2 3. (2)证明 设直线 AB的方程为 x=my+n,A �1 2 4 ,�1 ,B �2 2 4 ,�2 ,联立 �2 = 4�, � = �� + �,消去 x得 y 2-4my-4n=0,则 y1+y2=4m,y1y2=-4n. 由�� ·�� =5,得(�1�2) 2 16 +y1y2=5,所以 y1y2=-20或 y1y2=4(舍去),即-4n=-20,n=5,所以直线 AB的方程为 x=my+5, 所以直线 AB过定点(5,0). 18.解（1）因为 PD 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，所以 PD AB ， 又因为 , 90AB CD ADC  ∥ ，所以 AD AB ，而 AD PD DI ，且 ,AD PD 平面 PAD， 二校区 66 级数学组 姓名： 班级： 8 所以 AB 平面 PAD； （2）因为PD 平面 ABCD， ,AD CD 平面 ABCD，所以 ,PD CD PD AD  ，而CD AD ， 于是建立如图所示的空间直角坐标系，          0,0,0 , 0,0,2 , 2,0,0 , 2,1,0 , 0,2,0D P A B C ， 由（1）可知： AB 平面 PAD，所以平面 PAD的法向量为  0,1,0AB   ， 设平面 PBC 的法向量为  , ,n x y z ，    2,1, 2 , 0,2, 2PB PC      ， 则有   0 2 2 0 1,2,2 2 2 00 n PB x y z n y zn PC                  ， 设平面 PAD与平面 PBC 夹角为 ， 2 2cos 31 1 4 4 AB n AB n             ， 所以平面 PAD与平面 PBC 夹角的余弦值为 2 3 . 19.（1）设椭圆方程为   2 2 2 2 1 x y a b c a b     ,由已知得 2 2 2 1 b c c a b c        2 2 2 2 1 1 a b c       ∴所求椭圆方程为 2 2 1 2 x y  . （2）由题意知直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 2y kx  ，� �1, �1 ，� �2, �2 由 2 2 2 1 2 y kx x y       ，消去 y得关于 x的方程：  2 21 2 8 6 0k x kx    由直线 l与椭圆相交于 A、B两点，∴  2 20 64 24 1 2 0k k     解得 2 32k  又由韦达定理得 1 2 2 1 2 2 8 1 2 6 1 2 kx x k x x k            ， ∴   2 22 2 2 1 2 1 2 1 2 2 11 1 4 16 24 1 2 kAB k x x k x x x x k k            原点O到直线 l的距离 2 2 1 d k   ∵ 2 2 2 2 1 16 24 2 2 2 3 2 1 2 1 2AOB k kS AB d k k         . 令  22 3 0m k m   ，则 2 22 3k m  ∴ 2 2 2 2 2 2 44 2 mS m m m      当且仅当 4m m  即 2m  时， max 2 2 S  此时 14 2 k   .所以，所求直线方程为 14 2 4 0y    .