专题1-2 整式的乘除【9大题型】- 【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练（北师大版）

【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题1-2 整式乘除 模块一 题型·解读 【题型1】整式乘法基本计算与求值 【题型2】整式除法 【题型3】遮挡问题 【题型4】不含某项问题 【题型5】整体思想的应用 【题型6】错看数据问题 【题型7】整式乘除的实际应用 【题型8】新定义问题 【题型9】规律探究 模块二 基础知识·梳理 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 要点注释：单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点：　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 要点注释：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点：　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项；　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即 对于一次项系数不为1的两个一次二项式和相乘可以得到. 知识点04 单项式除以单项式 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑. 知识点05 多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加. 即 多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号. 多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号. 模块三 核心题型·训练 【题型1】整式乘法基本计算与求值 【例题1】 【例题2】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是________ 【例题3】已知，则　 　． 【巩固练习1】计算：　． 【巩固练习2】计算 （1） （2） （3） （4） 【巩固练习3】已知，，则　 　． 【巩固练习4】已知，，则的值是　 　． 【题型2】整式除法 【例题1】计算的结果是 　　　　． 【例题2】若A与的积为，则A为（　　） A．﹣8a2b2+6ab﹣1 B． C．8a2b2﹣6ab+1 D． 【巩固练习1】计算： （1）； （2）． 【巩固练习2】先化简，再求值：，其中x＝﹣10，． 【巩固练习3】已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____． 【巩固练习4】将一多项式，除以后，得商式为，余式为0，求的值． 【题型3】遮挡问题 【例题1】某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题： 被除式的第二项中被钢笔水弄污了(还能看到前面的运算符号），你能算出被污染的内容是 ． 【巩固练习1】某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题： ．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处污染的内容是什么吗？ 【巩固练习2】今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3　 　﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写　 　． 【巩固练习3】已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值． 【题型4】不含某项问题 【例题1】代数式的值与的取值无关，则的值为　　 A． B．3 C．7 D． 【例题2】若的积中不含项与，求，的值． 【巩固练习1】代数式的展开式中不含，项，则　　． 【巩固练习2】若的积中不含项与项，则　　，　　． 【巩固练习3】已知的展开式中不含项和项，则　 　，　　． 【巩固练习4】已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 　　． 【题型5】整体思想的应用 【例题1】当时，代数式的值为2023，则当时，代数式的值是　　． 【巩固练习1】对于任何实数，我们规定的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为　 　． 【巩固练习2】已知，则　 　． 【巩固练习3】若，则　 　． 【巩固练习4】若，，则　　． 【题型6】错看数据问题 【例题1】小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到，则正确的计算结果是　 　． 【例题2】甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是 ． 【巩固练习1】小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成除以，结果得到，则正确的结果是（　　） A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3 【巩固练习2】某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？ 【巩固练习3】在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 【巩固练习4】甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3． （1）求（﹣2a+b）（a+b）的值； （2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果． 【题型7】整式乘除的实际应用 【例题1】一个长方形花园，长为a，宽为b，中间有两条互相垂直的宽为c的路，则可种花的面积为 ． 【巩固练习1】如图，在一块长，宽的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边垂直），剩余部分栽种花草美化环境，设道路的管度为，则栽种花草的面积表示不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习3】如图，将一张边长为x的正方形纸板按图中虚线裁剪成三块长方形，观察图形表示阴影部分的面积，则表示错误的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． (1)【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式______； (2)【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式______； (3)【拓展应用】若，，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积． 【题型8】新定义问题 【例题1】化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 【例题2】设x，y为任意有理数，定义运算：x*y＝(x＋1)(y＋1)－1， 得到下列五个结论：①x*y＝y*x  ②x*(y＋z)＝x*y＋x*z ③(x＋1)*(x－1)＝x*x－1  ④x*0＝0 ⑤(x＋1)*(x＋1)＝x*x＋2*x＋1其中正确结论的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习1】定义，如|| (1)若||，求x的值；(2)若的值与x无关，求m的值． 【巩固练习2】定义，如．已知，已知（n为常数） (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项时，当，求的值． (3)若A中的n满足时，且，求的值． 【巩固练习3】在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是 ；若乘以的结果为，则的值为 【巩固练习4】定义：对于任意一个有理数，我们把称作的相伴数．若，则；若，则．例如：． (1)求，的值； (2)若，，化简：． 【题型9】规律探究 【例题1】观察下列式子： ； ； ； … (1)根据以上规律，得出________； (2)请你归纳出一般性规律：________； (3)请根据（2）总结的规律，求出的值． 【例题2】下面为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下面的规律，填出展开式中所缺的系数．则 ． 【例题3】根据，，， …的规律，则可以得出的末位数字是 ． 【巩固练习1】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【巩固练习2】数学兴趣小组发现： 利用你发现的规律：求： ． 【巩固练习3】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分別为1，2，1．若展开得，那么的值为 ． 【巩固练习4】如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题1-2 整式乘除 模块一 题型·解读 【题型1】整式乘法基本计算与求值 【题型2】整式除法 【题型3】遮挡问题 【题型4】不含某项问题 【题型5】整体思想的应用 【题型6】错看数据问题 【题型7】整式乘除的实际应用 【题型8】新定义问题 【题型9】规律探究 模块二 基础知识·梳理 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 知识点04 单项式除以单项式 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注意：首先确定结果的系数(即系数相除)，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑. 知识点05 多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加. 即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m 多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号. 多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号. 模块三 核心题型·训练 【题型1】整式乘法基本计算与求值 【例题1】 【解答】解： ． 【例题2】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是________ 【答案】8或﹣8 【解答】解：（x+m）（x﹣n）＝x2﹣nx+mx﹣mn＝x2+（m﹣n）x﹣mn． ∵（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数）， ∴m﹣n＝a，﹣mn＝7． ∴m＝1，n＝﹣7或m＝﹣1，n＝7或m＝7，n＝﹣1或m＝﹣7，n＝1． ∴a＝m﹣n＝8或﹣8． 【例题3】已知，则　 　． 【答案】2 【解答】解：当时， 原式 【巩固练习1】计算：　． 【解答】解： 【巩固练习2】计算 （1） （2） （3） （4） 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【巩固练习3】已知，，则　 　． 【解答】解：当，时， ， 【巩固练习4】已知，，则的值是　 　． 【解答】解： ， 又，， 原式． 故答案为：． 【题型2】整式除法 【例题1】计算的结果是 　　　　． 【答案】 【解答】解：原式． 【例题2】若A与的积为，则A为（　　） A．﹣8a2b2+6ab﹣1 B． C．8a2b2﹣6ab+1 D． 【答案】C 【解答】解：由题意得： （）÷（） ＝﹣4a3b3÷（）+3a2b2÷（）（） ＝8a2b2﹣6ab+1． 故选：C． 【巩固练习1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】（1）原式； （2）原式． 【巩固练习2】先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，． 【答案】 【解答】解：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy ＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷xy ＝﹣x2y2÷xy ＝﹣xy， 当x＝﹣10，时，原式＝﹣（﹣10） 【巩固练习3】已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____． 【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可． 【解答】解：由题意可得： 故答案为： 【巩固练习4】将一多项式，除以后，得商式为，余式为0，求的值． 【解答】解：多项式，除以后，得商式为，余式为0， ， 即， ，解得：，，， 【题型3】遮挡问题 【例题1】某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题： 被除式的第二项中被钢笔水弄污了(还能看到前面的运算符号），你能算出被污染的内容是 ． ． 【答案】 【分析】经化简发现，由于被污染的内容是被除式的第二项，根据乘除互为逆运算可知被除式=除式×商，运用单项式乘以多项式的法则求出被除式，从而得出结果． 【详解】解：用A表示被污染的项，则 A = A = A = A 又∵原式= ∴－A＝ ∴A＝＝ ∴被污染的内容是． 故答案为：． 【巩固练习1】某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题： ．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处污染的内容是什么吗？ 【答案】商的第一项：-3x2y2，被除式的第二项：9*-35x3y2． 【分析】由于被污染的内容是被除式的第二项，根据乘除互为逆运算可知被除式=除式×商，运用单项式乘以多项式的法则求出被除式，从而得出结果. 【详解】解:商的第一项=21x4y3÷（-7x2y）=-3x2y2， 被除式的第二项=-（-7x2y）×5xy=35x3y2． 【巩固练习2】今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3　 　﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写　 　． 【答案】﹣3x3y2，﹣3x3y2 【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，∴横线上应填写﹣3x3y2， 【巩固练习3】已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值． 【答案】 【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n， ∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m＝﹣5， ∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169． 【题型4】不含某项问题 【例题1】代数式的值与的取值无关，则的值为　　 A． B．3 C．7 D． 【答案】 【解答】解：， 的值与的取值无关， ，，，， 【例题2】若的积中不含项与，求，的值． 【答案】， 【解答】解：（1） ， 积中不含项与，，，， 【巩固练习1】代数式的展开式中不含，项，则　　． 【答案】42 【解答】解：原式， 根据展开式中不含，得：，解得：， 【巩固练习2】若的积中不含项与项，则　　，　　． 【答案】3， 【解答】解： ． 积中不含项与项， ，． 解得：，． 故答案为：，． 【巩固练习3】已知的展开式中不含项和项，则　 　，　　． 【答案】1；1 【解答】解： ， 展开式中不含项和项， 且， 解得， 【巩固练习4】已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 　　． 【答案】 【解答】解：原式， 乘积展开式中不含和项，，，解得，，． 故答案为． 【题型5】整体思想的应用 【例题1】当时，代数式的值为2023，则当时，代数式的值是　　． 【答案】 【解答】解：当时，代数式的值为2023， 代入得：，， 当时，代数式． 【巩固练习1】对于任何实数，我们规定的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为　 　． 【答案】1 【解答】解：由题意可知：原式， ，， 原式 【巩固练习2】已知，则　 　． 【答案】2 【解答】解：， ， 【巩固练习3】若，则　 　． 【答案】2023 【解答】解：， ， 则原式 【巩固练习4】若，，则　　． 【答案】36 【解答】解：，， ． 【题型6】错看数据问题 【例题1】小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到，则正确的计算结果是　 　． 【答案】 【解答】解：由题意得，， 故答案为： 【例题2】甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是 ． 【答案】 【分析】根据甲的描述利用多项式乘以多项式的计算法则得到，根据乙的描述可得，由此得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值代入原多项式中求解即可． 【详解】解：∵由于甲抄错了的符号，得到的结果是， ∴，∴，∴， ∵乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是， ∴，∴， ∴，∴，∴，∴原多项式为， ，故答案为：． 【巩固练习1】小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成除以，结果得到，则正确的结果是（　　） A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2 C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3 【答案】C 【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y）， ∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y） ＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2 ＝3x2﹣7xy+2y2， 则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y） ＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3 ＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3． 【巩固练习2】某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】 【解答】解：∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1， ∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a＝a2+4a﹣1， ∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）＝﹣2a3﹣8a2+2a． 【巩固练习3】在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 【答案】x2+5x+6 【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12， ∴6+a＝8，∴a＝2； ∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6， ∴b﹣a＝1，∴b＝3， ∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6． 【巩固练习4】甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3． （1）求（﹣2a+b）（a+b）的值； （2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果． 【答案】﹣14；2x2+5x﹣3 【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3， 故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3； 乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3． 故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，∴，解得：， ∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14 （2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3． 【题型7】整式乘除的实际应用 【例题1】一个长方形花园，长为a，宽为b，中间有两条互相垂直的宽为c的路，则可种花的面积为 ． 【答案】ab﹣ac﹣bc+ 【分析】利用平移的思想，把阴影部分靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，计算面积即可． 【详解】如图，将阴影向上，向左放置， 则花池的长为（a-c），宽为（b-c）， 所以其面积为：（a-c）×（b-c）= ab﹣ac﹣bc+， 故答案为：ab﹣ac﹣bc+． 【巩固练习1】如图，在一块长，宽的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边垂直），剩余部分栽种花草美化环境，设道路的管度为，则栽种花草的面积表示不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据栽种花草的面积的不同求法求解即可． 【详解】解：A、把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．剩下长方形的长是，宽是，所以栽种花草的面积是，故该选项正确； B、栽种花草的面积＝大长方形的面积-两条路的面积+两条路重合正方形的面积，即，故该选项正确； C、把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，栽种花草的面积＝大长方形的面积-两条路的面积-正方形的面积，即，故该选项正确； D、该选项栽种花草的面积表示不正确 【巩固练习2】一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为 ． 【答案】30 【分析】直接利用已知得出a+b ，ab的值，再利用提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6， ，，故，则． 【巩固练习3】如图，将一张边长为x的正方形纸板按图中虚线裁剪成三块长方形，观察图形表示阴影部分的面积，则表示错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面积公式以及面积的和差将阴影面积表示出来即可． 【详解】解：∵由图知阴影部分边长分别为（x-1），（x-2）， ∴阴影面积=（x-1）（x-2），故A不符合题意． （x-1）（x-2）=x2-2x-x+2=x2-3x+2，故B不符合题意． 阴影面积可以用大正方形面积-空白部分面积， ∴阴影面积，故C不符合题意． ∴D符合题意． 【巩固练习4】【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． (1)【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式______； (2)【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式______； (3)【拓展应用】若，，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)25 【分析】（1）从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块，即可求解； （2）从整体来看，它的面积可以表示为；从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块，即可求解； （3）根据题意可得，由（2）可得：，再把，代入，即可求解． 【详解】（1）解：从整体来看，它的面积可以表示为， 从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块， ∴该正方形的面积还可以表示为， ∴； 故答案为：； （2）解：从整体来看，它的面积可以表示为； 从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块， ∴该正方形的面积还可以表示为； ∴； 故答案为： （3）解：根据题意得：， 由（2）得：， 当，时， ，解得：， 即阴影部分的面积为25． 【题型8】新定义问题 【例题1】化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值． 【答案】-，－20 【分析】根据对进行化简后，将x、y的数值代入即可得出答案． 【详解】解： ===- 当x=2，y=1时， 原式=． 【例题2】设x，y为任意有理数，定义运算：x*y＝(x＋1)(y＋1)－1， 得到下列五个结论：①x*y＝y*x  ②x*(y＋z)＝x*y＋x*z ③(x＋1)*(x－1)＝x*x－1  ④x*0＝0 ⑤(x＋1)*(x＋1)＝x*x＋2*x＋1其中正确结论的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题中定义的运算，对各结论中新定义的运算进行计算，判断即可解答． 【详解】解：∵x*y＝（x+1）（y+1）﹣1， y*x＝（y+1）（x+1）﹣1， ∴x*y＝y*x， 故①正确； ∵x*（y+z）＝（x+1）（y+z＋1）﹣1＝xy+xz+x＋y+z＋1－1＝xy+xz+x＋y+z， x*y+x*z＝（x+1）（y+1）﹣1+（x+1）（z+1）﹣1＝xy+x+y+xz+x+z＝xy+xz+2x+y+z， ∴x*（y+z）≠x*y+x*z， 故②错误； ∵（x+1）*（x﹣1）＝（x+1+1）（x﹣1+1）﹣1＝（x+2）x﹣1＝x2+2x﹣1． x*x﹣1＝（x+1）（x+1）﹣1﹣1＝x2+2x﹣1． ∴（x+1）*（x﹣1）＝x*x﹣1， 故③正确； ∵x*0＝（x+1）（0+1）﹣1＝x+1﹣1＝x， ∴x*0≠0， 故④错误； ∵（x+1）*（x+1）＝（x+1+1）（x+1+1）﹣1＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3， x*x+2*x+1＝（x+1）（x+1）﹣1+（2+1）（x+1）﹣1+1＝（x+1）2+3（x+1）﹣1＝x2+5x+3． ∴（x+1）*（x+1）≠x*x+2*x+1 故⑤错误． 综上所述，正确的个数为2． 【巩固练习1】定义，如|| (1)若||，求x的值； (2)若的值与x无关，求m的值． 【答案】(1)1，(2)-2 【分析】（1）先根据定义新运算的规定，得到关于x的方程，求解即可； （2）先根据定于新运算的规定得到整式，计算并化简整式，根据值与x无关确定 m 的值，计算 即可． 【详解】（1）解：(x+1)2-( x -1)2=4 x2+2x+1-x2+2x-1=4 4x=4 x =1； （2）（x+ m ）（2x+1)-（2x-1）（x-1） =2x2+x+2xm+ m -（2x2-2x-x+1） =4x+2xm+m-1 =(4+2m)x+ m-1， ∵的值与x无关， ∴4+2m=0， ∴m=-2． 【巩固练习2】定义，如．已知，已知（n为常数） (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项时，当，求的值． (3)若A中的n满足时，且，求的值． 【答案】(1)1，(2)9，(3)4 【分析】（1）根据新定义列方程求解即可； （2）先根据新定义列式化简，根据A的代数式中不含x的一次项求出n的值，再求的值； （3）先根据求出n的值，再根据可得，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴． （2）解： 当A的代数式中不含x的一次项时，则 ∴ ∴ 当时， （3）解：由可得此时 由可得，可得 【巩固练习3】在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是 ；若乘以的结果为，则的值为 【答案】 2x2+5x+2 ±2 【分析】认真读懂新定义，代入新定义公式化简求值即可． 【详解】解：（1）(1，2)=(x+2)(2x+1)=2x2+x+4x+2=2x2+5x+2， 故答案为：2x2+5x+2． （2）(a，b)=(ax+b)(bx+a)，(b，a)=(bx+a)(ax+b)； ∴(a，b) (b，a)=(ax+b)2(bx+a)2=a2b2x4+(2a3b+2ab3)x3+(a4+4a2b2+b4)x2+(2a3b+2ab3)x+a2b2， ∴a2b2=9，ab=±3， 2a3b+2ab3=-60，即2ab(a2+b2)=-60， ∴ab=-3， ∴-3×2(a2+b2)=-60， a2+b2=10， (a+b)2=a2+b2+2ab=10+2×(-3)=4， ∴a+b=±2． 【巩固练习4】定义：对于任意一个有理数，我们把称作的相伴数．若，则；若，则．例如：． (1)求，的值； (2)若，，化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式计算． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ． 【题型9】规律探究 【例题1】观察下列式子： ； ； ； … (1)根据以上规律，得出________； (2)请你归纳出一般性规律：________； (3)请根据（2）总结的规律，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2）   （3） 【例题2】下面为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下面的规律，填出展开式中所缺的系数．则 ． 【答案】20 【详解】解：由图可知：的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和， ∴的各项系数依次为1、4、6、4、1； 的各项系数依次为1、5、10、10、5、1； ∴的系数分别为1、6、15、20、15、6、1． 【例题3】根据，，， …的规律，则可以得出的末位数字是 ． 【答案】5 【分析】根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 第n个等式为， ∴ ， ∵，，，，，，，……， ∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环， 又， ∴即的末位数为5， 故答案为：5． 【巩固练习1】观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据规律得到，进而得到，得到，再代入即可求解． 【详解】解：根据规律得， ∵， ∴，∴，∴． 【巩固练习2】数学兴趣小组发现： 利用你发现的规律：求： ． 【答案】 【分析】观察题目所给的式子可以得到规律，然后把代入式子中进行求解即可． 【详解】解：； ； ； ∴可以得到规律， 当时： ， ． 故答案为：． 【巩固练习3】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分別为1，2，1．若展开得，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵ 令， ∴， 即； 故答案为： 【巩固练习4】如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为 【答案】 【分析】根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘以，再把n的值代入计算即可． 【详解】解：根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘以， 所以第8行第3个数是 ． 故答案为：． 4 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$