专题3-1 全等三角形的性质与判定综合【13类题型】- 【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练（北师大版）

【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题3-1 全等三角形的性质与判定 模块一 题型·解读 【题型1】全等三角形的性质 【题型2】用SSS证明两三角形全等 【题型3】用SAS证明两三角形全等 【题型4】用ASA证明两三角形全等 【题型5】用AAS证明两三角形全等 【题型6】全等三角形的判定（HL） 【题型7】全等三角形的判定（钝角三角形SSA） 【题型8】添加条件使两三角形全等 【题型9】已知两边对应相等解题思路 【题型10】已知两角对应相等解题思路 【题型11】已知一边一角对应相等解题思路 【题型12】角的平分线的性质 【题型13】尺规作图与全等三角形判定 【课后作业】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS——三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS——两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA——两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 钝角三角形SSA 知识点02 全等三角形的性质 知识点与方法技巧梳理： 1、能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 3、把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角． A D B C E F △ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角． 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 定理应用格式： ∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF， ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F． 知识点03 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 知识点04 已知两边对应相等解题思路 基本解题思路：①找夹角对应相等（SAS）；②找第三边对应相等（SSS）. 知识点05 已知两角对应相等解题思路 基本解题思路：①找夹边对应相等（ASA）；②找非夹边的边对应相等（AAS）. 知识点06 已知一边一角对应相等解题思路 基本解题思路 （1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS). （2）有一边和改边的领角对应相等： ①找夹该角的另一边对应相等(SAS); ②找另一角对应相等(AAS或ASA). 模块三 核心题型·训练 【题型1】全等三角形的性质 【例题1】如图，，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若，，，则的长为（    ）    A．3 B．7 C．8 D．以上都不对 【例题2】若△ABC与△BAD全等，且AB和BA是对应边，BC＝3，AC＝4，则AD的长为________． 【巩固练习1】已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于 ．    【巩固练习2】如图，，，三点在同一直线上，且≌线段，，有怎样的数量关系？请说明理由． 【巩固练习3】边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 . 【题型2】用SSS证明两三角形全等 【例题1】如图，AB＝EF，AD＝EC，BC＝FD，求证：BC∥DF． B A C D F E 【巩固练习1】如图，点在一条直线上，，求证：．    【巩固练习2】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF． A D B C E F 【题型3】用SAS证明两三角形全等 【例题1】如图，AD⊥BC，BD＝CD，求证：AB＝AC． A B C D 【巩固练习1】如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：∠A＝∠D． A D B C E F 【巩固练习2】两边和其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等． 如图，在△ABC和△A′B′C′ 中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′ 分别是△ABC和△A′B′C′ 的中线，且AD＝A′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′． A B C D A′ B′ D′ C′ 【题型4】用ASA证明两三角形全等 【例题1】如图，，点，点在上，，求证：．    【例题2】如图，在和中，，点B为中点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【巩固练习1】如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE． A D E B C 【巩固练习2】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么? A B C D E F 【题型5】用AAS证明两三角形全等 【例题1】如图，，，．    (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【例题2】如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习1】如图，中，，于点D，于点E，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【巩固练习2】如图，已知点是线段上一点，，． (1)求证：；(2)求证：． 【巩固练习3】如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：；(2)若，，求的长． 【题型6】全等三角形的判定（HL） 知识点与方法技巧梳理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【例题1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD，求证：BC＝AD． D C A B 【巩固练习1】如图，点C是线段AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，CD＝CE，求证：DA＝EB． D E A B C 【巩固练习2】如图，在锐角△ABC和锐角△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，求证：△ABC≌△DEF． A B C D E F 【巩固练习3】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F在对角线BD上，AE⊥AD，CF⊥BC，DF＝BE，求证：AB＝CD． A D B C E F 【题型7】全等三角形的判定（钝角三角形SSA） 知识点与方法技巧梳理： 两边和其中一边的对角分别相等的两个钝角三角形全等（可以简写成“边边角”或“SSA”）． 特别强调：这个不能直接运用，但我们可以通过以下几种方法来证明它． 【例题1】如图，在钝角△ABC和钝角△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，求证：△ABC≌△DEF． A B C D E F 【巩固练习1】如图，在钝角△ABC和钝角△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，求证：△ABC≌△DEF． A B C D E F 【题型8】添加条件使两三角形全等 【例题1】如图，已知，，要得到，则不能添加的条件是（   ）    A． B． C． D． D．，不能得到，故D符合题意． 【例题2】如图，点A，D，B，F在一条直线上，已知AC＝FE，BC＝DE，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ） A．CD＝EB B．AD＝FB C．AC∥EF D．CB∥DE A C D B F E 【巩固练习1】如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ） A．∠M＝∠N B．AC＝BD C．AM＝CN D．AM∥CN M N A C B D 【巩固练习2】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习3】如图，，点D，E分别在，上，要使，不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【题型9】已知两边对应相等解题思路 基本解题思路 已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；②找第三边对应相等（SSS）. 【例题1】如图，，，与△ADE全等吗？为什么？    【巩固练习1】如图，，，．求证：． 【巩固练习2】如图相交于点． (1)求证；(2)求证． 【题型10】已知两角对应相等解题思路 基本解题思路：①找夹边对应相等（ASA）；②找非夹边的边对应相等（AAS）. 【例题1】如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD． 【巩固练习1】已知：．求证：． 【巩固练习2】如图，，，，求证：．    【题型11】已知一边一角对应相等解题思路 基本解题思路 （1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS). （2）有一边和改边的领角对应相等： ①找夹该角的另一边对应相等(SAS); ②找另一角对应相等(AAS或ASA). 【例题1】如图，与相交于点E，已知，，求证：．    【巩固练习1】如图，已知，，，求证：．    【巩固练习2】如图，，交于点，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型12】角的平分线的性质 1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等（可利用全等三角形的判定AAS和全等三角形的性质来证明）． 2．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（可利用全等三角形的判定HL和全等三角形的性质来证明）． 下面介绍一种作已知角的平分线的方法． 如图，已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC，射线OC即为所求． A O B A O N B C M 【例题1】如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于点O，求证：点O到三边AB，BC，CA的距离相等． A O B C E D 【巩固练习1】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证：∠OAB＝∠OAC． A D E B C O 【巩固练习2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，D是BC上一点，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：AB＝AC． A B D C E F 【巩固练习3】如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点P，连接BP，求证：BP平分∠ABC． A B C P 【题型13】尺规作图与全等三角形判定 【例题1】如图，点在的边上，利用尺规过点作的平行线，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则，，可得，进而可以得到，，以上作图过程中的依据不包括（    ） A．圆的半径相等 B．两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等 【例题2】（2023七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是延长线上的一点，点是的中点．    利用尺规作图，在的内部作，使得，并在上取一点，使，分别连接、．（要求：在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法，写出作图小结） 求证：点C、E、F三点在同一直线上． 【巩固练习1】如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法： 以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； 分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C； 画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线． 在用尺规作角平分线过程中，用到的全等三角形的判定方法是（　　） A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【巩固练习2】如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习3】（易错）如图，中，，以点A为圆心，长为半径作弧；以点B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，则的度数为 ． 【课后作业】 1． 如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（    ） A． B． C． D． 2． 在下列条件中，不能作为判断的条件是（   ） A． B． C． D． 3． 如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为 米．    4． 如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC，求证：AE＝AF． A E F D B C 5． 已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 6． 如图，已知AB＝AC，BF＝CE，求证：BE＝CF． A E F D B C 7． 如图，在中，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．若，则形状为 ． 8． 如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，EF∥BC，∠BDE＝∠CDF，求证：AE＝AF． A B D C E F 9． 已知：如图，AE＝BF，AD∥BC，AD＝BC．AB，CD交于O点．求证：OE＝OF． D A O E F B C 10． 如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝6cm，BC＝8cm，沿过点C的直线折叠△ABC，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，求△BDE的周长． A D B E C 11． 如图，，添加下列条件不能判断的是（    ）    A． B． C． D． 12． 如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过 s后，与全等． 13． 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD，若∠ABC＝76°，∠ADB＝32°，求∠ACB的度数． D A B C 14． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，若BD＝4，求△BCD的面积． A D B C 15． 如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠BAD，求证：BE平分∠ABC． A D E B C 16． 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，将△ABE沿BE对折得到△FBE，延长EF交CD于点G，连接BG． （1）求∠EBG的度数；（2）求证：△DEG的周长＝2AB． A E D F G B C 17． （2023七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，D是边上一点，E是边上一点，连接．    （1）过点A作的平行线，与的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若D是的中点，求证：． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题3-1 全等三角形的性质与判定 模块一 题型·解读 【题型1】全等三角形的性质 3 【题型2】用SSS证明两三角形全等 5 【题型3】用SAS证明两三角形全等 6 【题型4】用ASA证明两三角形全等 8 【题型5】用AAS证明两三角形全等 10 【题型6】全等三角形的判定（HL） 14 【题型7】全等三角形的判定（钝角三角形SSA） 16 【题型8】添加条件使两三角形全等 18 【题型9】已知两边对应相等解题思路 21 【题型10】已知两角对应相等解题思路 22 【题型11】已知一边一角对应相等解题思路 24 【题型12】角的平分线的性质 26 【题型13】尺规作图与全等三角形判定 29 【课后作业】 33 模块二 基础知识·梳理 知识点01 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS——三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS——两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA——两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 钝角三角形SSA 知识点02 全等三角形的性质 知识点与方法技巧梳理： 1、能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 3、把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角． A D B C E F △ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角． 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 定理应用格式： ∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF， ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F． 知识点03 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 知识点04 已知两边对应相等解题思路 基本解题思路 已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；②找第三边对应相等（SSS）. 知识点05 已知两角对应相等解题思路 基本解题思路 已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；②找非夹边的边对应相等（AAS）. 知识点06 已知一边一角对应相等解题思路 基本解题思路 （1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS). （2）有一边和改边的领角对应相等： ①找夹该角的另一边对应相等(SAS); ②找另一角对应相等(AAS或ASA). 模块三 核心题型·训练 【题型1】全等三角形的性质 【例题1】如图，，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若，，，则的长为（    ）    A．3 B．7 C．8 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D， ∴， ∵ ∴. 故选：B． 【例题2】若△ABC与△BAD全等，且AB和BA是对应边，BC＝3，AC＝4，则AD的长为________． 【易错警示】 本题的易错之处都没有进行分类讨论，虽然AB与BA是对应边，但另两边的对应关系不明确，因此要分类讨论．“全等”与“≌”意义不一样，“≌”表示对应关系已明确，而“全等”中的对应关系不明确，因此，当题目中出现“全等”时，应分类讨论，否则容易漏解． 【答案】3或4 【解析】当△ABC≌△BAD时，AD＝BC＝3；当△ABC≌△ABD时，AD＝AC＝4． 综上所述，AD的长3或4． 【巩固练习1】已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于 ．    【答案】/58度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质等知识．先根据三角形的内角和定理求出，再根据和全等，，得到两个三角形的对应角，问题得解． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∵和全等，， ∴， ∴． 【巩固练习2】如图，，，三点在同一直线上，且≌线段，，有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】根据全等三角形的性质得出，， 即可求解． 【详解】解：． 理由：≌， ，． ，，三点在同一直线上， ， ． 【巩固练习3】边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 . 【答案】3或4或5 【分析】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解. 【详解】AC的取值范围是2＜AC＜6，则AC的奇数值是3或5， ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边,AB=2,BC=4, 当DF=AC时，DF=3或5 当DF=BC时，DF=4 故答案为3或4或5 【题型2】用SSS证明两三角形全等 【例题1】如图，AB＝EF，AD＝EC，BC＝FD，求证：BC∥DF． B A C D F E 证明：∵AD＝EC， ∴AD＋DC＝EC＋CD， ∴AC＝ED． 在△ABC和△EFD中， ∴△ABC≌△EFD（SSS）， ∴∠ACB＝∠EDF， ∴BC∥DF． 【巩固练习1】如图，点在一条直线上，，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ∴． 【巩固练习2】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF． A D B C E F 证明：证明：∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC， ∴BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 【题型3】用SAS证明两三角形全等 【例题1】如图，AD⊥BC，BD＝CD，求证：AB＝AC． A B C D 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴AB＝AC． 【巩固练习1】如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：∠A＝∠D． A D B C E F 证明：∵BE＝CF，∴BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠A＝∠D． 【巩固练习2】两边和其中一边上的中线分别相等的两个三角形全等． 如图，在△ABC和△A′B′C′ 中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′ 分别是△ABC和△A′B′C′ 的中线，且AD＝A′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′． A B C D A′ B′ D′ C′ 证明：AD，A′D′ 分别是△ABC和△A′B′C′ 的中线， ∴BD＝ BC，B′D′＝ B′C′． ∵BC＝B′C′，∴BD＝B′D′． 在△ABD和△A′B′D′ 中， ∴△ABD≌△A′B′D′（SSS）， ∴∠B＝∠B′． 在△ABC和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）． 【题型4】用ASA证明两三角形全等 【例题1】如图，，点，点在上，，求证：．    【答案】见解析 【分析】首先根据平行线的性质可得，利用等式的性质可得，然后再利用判定即可． 【详解】证明：∵， ， ， ， 即， 在和中，， ∴． 【例题2】如图，在和中，，点B为中点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4，见解析 【分析】（1）根据判定即可； （2）根据和点B为中点即可求出． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ （2）解：∵，， ∴，， ∵点B为中点， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习1】如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE． A D E B C 证明：在△ACD和△ABE中， ∴△ACD≌△ABE（ASA）， ∴AD＝AE． 【巩固练习2】如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么? A B C D E F 证明：在△ABC和△EDC中， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED， ∴测得DE的长就是AB的长． 【题型5】用AAS证明两三角形全等 【例题1】如图，，，．    (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)40° 【分析】（1）根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明； （2）根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【例题2】如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙，．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判断和性质，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 利用角角边定理证明，然后结合全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：由题意可得 在与中 【巩固练习1】如图，中，，于点D，于点E，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 【巩固练习2】如图，已知点是线段上一点，，． (1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，即，从而即可证得； （2）由可得，，即可得到，从而即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ， ． 【巩固练习3】如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）证明，进而即可求解 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E ∴ 在与中， ∴（） （2）解：由（1）得， ∴，， ∴，即 又∵， ∴（） ∴， ∴， ∵，， ∴ 【题型6】全等三角形的判定（HL） 知识点与方法技巧梳理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【例题1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD，求证：BC＝AD． D C A B 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， ∴BC＝AD． 【巩固练习1】如图，点C是线段AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，CD＝CE，求证：DA＝EB． D E A B C 证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴∠A与∠B都是直角． 在Rt△ACD和Rt△BCE中， ∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL）， ∴DA＝EB． 【巩固练习2】如图，在锐角△ABC和锐角△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，求证：△ABC≌△DEF． A B C D E F 证明：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥EF于点H． A B C G D E F H 在△ABG和△DEH中， ∴△ABG≌△DEH（AAS）， ∴AG＝DH． 在Rt△ACG和Rt△DFH中， ∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠C＝∠F． 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 【巩固练习3】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F在对角线BD上，AE⊥AD，CF⊥BC，DF＝BE，求证：AB＝CD． A D B C E F A D B C E F 证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠DAE与∠BCF都是直角． ∵DF＝BE，∴DF＋EF＝BE＋EF， ∴DE＝BF． 在Rt△AED和Rt△CFB中， ∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL）， ∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB， ∴∠AEB＝∠CFD． 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AB＝CD． 【题型7】全等三角形的判定（钝角三角形SSA） 知识点与方法技巧梳理： 两边和其中一边的对角分别相等的两个钝角三角形全等（可以简写成“边边角”或“SSA”）． 特别强调：这个不能直接运用，但我们可以通过以下几种方法来证明它． 【例题1】如图，在钝角△ABC和钝角△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，求证：△ABC≌△DEF． A B C D E F 证明：过点A作BC的垂线，垂足为G，过点D作EF的垂线，垂足为H． A B C G D E F H 在△ABG和△DEH中， ∴△ABG≌△DEH（AAS）， ∴AG＝DH，BG＝EH． 在Rt△ACG和Rt△DFH中， ∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）， ∴CG＝FH， ∴BG－CG＝EH－FH， ∴BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【巩固练习1】如图，在钝角△ABC和钝角△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，求证：△ABC≌△DEF． A B C D E F 证明：过点A作BC的垂线，垂足为G，过点D作EF的垂线，垂足为H． A B C G D E F H ∵∠ACB＝∠DFE，∴∠ACG＝∠DFH． 在△ACG和△DFH中， ∴△ACG≌△DFH（AAS）， ∴AG＝DH． 在Rt△ABG和Rt△DEH中， ∴Rt△ABG≌Rt△DEH（HL）， ∴∠B＝∠E． 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 【题型8】添加条件使两三角形全等 【例题1】如图，已知，，要得到，则不能添加的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴A．添加，根据能得到，故A不符合题意； B．，根据能得到，故B不符合题意； C．∵， ∴， ∴根据能得到，故C不符合题意； D．，不能得到，故D符合题意． 【例题2】如图，点A，D，B，F在一条直线上，已知AC＝FE，BC＝DE，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ） A．CD＝EB B．AD＝FB C．AC∥EF D．CB∥DE A C D B F E 【答案】B 【解析】∵AD＝FB，∴AD＋DB＝FB＋BD，即AB＝FD． 在△ABC和△FDE中，∵AC＝FE，BC＝DE，AB＝FD， ∴△ABC≌△FDE（SSS）． 【巩固练习1】如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ） A．∠M＝∠N B．AC＝BD C．AM＝CN D．AM∥CN M N A C B D 【答案】C 【解析】A选项可以ASA，B选项可以SAS，C选项不能判定，D选项可以AAS，故选C． 【巩固练习2】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先根据得到，根据“”对①进行判断；根据“”对③进行判断；根据“”对④进行判断；根据全等三角形的判定方法对②进行判断． 【详解】 解：∵， ∴，即， 当时， 在和中， ， ∴； 当时，不能判断． 当时， 在和中， ， ∴； 当时， 在和中， ， ∴； 综上分析可知，能使的条件有3个． 【巩固练习3】如图，，点D，E分别在，上，要使，不能添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】这道题主要考查了三角形全等的判定条件，根据三角形性的判定定理逐项进行判断即可，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 【详解】解： A、当时，，，可以利用证明，本选项不符合题意； B、当时，可得，而，，可以用证明，本选项不符合题意； C、当时，不能证明，本选项符合题意； D、当时，由，，可以利用证明，本选项符合题意． 【题型9】已知两边对应相等解题思路 基本解题思路 已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；②找第三边对应相等（SSS）. 【例题1】如图，，，与△ADE全等吗？为什么？    【答案】，理由见解析． 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：． 理由：在和△ADE中， 因为，，， 所以． 【巩固练习1】如图，，，．求证：． 【答案】过程见详解 【分析】利用三条边对应相等的两个三角形全等来证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴ 【巩固练习2】如图相交于点． (1)求证； (2)求证． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论； (2)根据全等三角形的性质可知角相等，再根据全等三角形的判定可知，进而得出线段相等． 【详解】（1）解：在和中， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴ 【题型10】已知两角对应相等解题思路 基本解题思路 已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；②找非夹边的边对应相等（AAS）. 【例题1】如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】 先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD． 【详解】 证明：在△ABC和△ABD中， ∴△ABC≌△ABD（AAS）， ∴BC=BD． 【巩固练习1】已知：．求证：． 【分析】证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题． 【详解】证明：如图， ∵， ∴， 即， ∵在和中， ∴， ∴． 【巩固练习2】如图，，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】先证明，再利用“”证明，即可作答． 【详解】∵， ∴，即． 在与中，， ∴， ∴． 【题型11】已知一边一角对应相等解题思路 基本解题思路 （1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS). （2）有一边和改边的领角对应相等： ①找夹该角的另一边对应相等(SAS); ②找另一角对应相等(AAS或ASA). 【例题1】如图，与相交于点E，已知，，求证：．    【答案】见解析 【分析】先证，再证即可； 【详解】解：由题可知，， ，， ， ，， ， 即， ， ． 【巩固练习1】如图，已知，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】证明即可． 【详解】证明：∵， ∴. 在和中， ∴. 【巩固练习2】如图，，交于点，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）直接根据即可求证； （2）根据三角形的内角和求出，根据得出，最后根据三角形的外角定理，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 【题型12】角的平分线的性质 1．角的平分线上的点到角的两边的距离相等（可利用全等三角形的判定AAS和全等三角形的性质来证明）． 2．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（可利用全等三角形的判定HL和全等三角形的性质来证明）． 下面介绍一种作已知角的平分线的方法． 如图，已知：∠AOB． 求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC，射线OC即为所求． A O B A O N B C M 【例题1】如图，△ABC的角平分线BD，CE相交于点O，求证：点O到三边AB，BC，CA的距离相等． A O B C E D 证明：过点O作AB，BC，AC的垂线，垂足为F，G，H． A O B G C F E D H ∵BD是△ABC的角平分线，点O在BD上， ∴OD＝OE． 同理 OE＝OF， ∴OD＝OE＝OF， 即点O到三边AB，BC，CA的距离相等． 【巩固练习1】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证：∠OAB＝∠OAC． A D E B C O 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°． 在△OBD和△OCE中， ∴△OBD≌△OCE（AAS）， ∴OD＝OE， ∴∠OAB＝∠OAC． 【巩固练习2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，D是BC上一点，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：AB＝AC． A B D C E F 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE＝CF， ∴AB＝AC． 【巩固练习3】如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点P，连接BP，求证：BP平分∠ABC． A B C P 证明：过点P作AB，AC，BC的垂线，垂足为D，E，F． A D B C F E P ∵AP平分∠BAC的外角， ∴PD＝PE． ∵CP平分∠ACB的外角， ∴PE＝PF， ∴PD＝PF， ∴BP平分∠ABC． 【题型13】尺规作图与全等三角形判定 【例题1】如图，点在的边上，利用尺规过点作的平行线，其作图过程如下：在OB上取一点D，以O圆心、OD为半径画弧，弧交OA于点F，再以C圆心、OD为半径画弧，该弧与CB交于点E，再以E为圆心、DF为半径画弧，圆心为C的弧与圆心为E的弧交于点M，作射线CM，则，，可得，进而可以得到，，以上作图过程中的依据不包括（    ） A．圆的半径相等 B．两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等 【答案】B 【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图法进行判断即可． 【详解】根据圆的半径相等有：OF=OD=CE=CM，DF=ME， 则有△OFD≌△CME， 根据全等的性质：对应角相等有∠FOD=∠MCE， 根据同位角相等，两直线平行有：， 根据上述证明过程可知：B选项没有作为依据参与证明 【例题2】（2023七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是延长线上的一点，点是的中点．    利用尺规作图，在的内部作，使得，并在上取一点，使，分别连接、．（要求：在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法，写出作图小结） 求证：点C、E、F三点在同一直线上． 【答案】(1)画图见解析 证明见解析 【分析】（1）以B为圆心，任意长为半径画弧交的两边分别为G，H，再以A为圆心，为半径画弧交于，再以K为圆心为半径画弧，交前弧于，作射线，即图中射线，则，再以A为圆心，为半径画弧交于F，则，再连接、即可； 先证明，再证明，可得，结合，证明，从而可得结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求作的角，即为所求作的线段；    （2）证明：∵点是的中点， ∴，        ∴在和中 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴点C、E、F三点在同一直线上． 【巩固练习1】如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法： 以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； 分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C； 画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线． 在用尺规作角平分线过程中，用到的全等三角形的判定方法是（　　） A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【答案】C 【分析】连接EC，DC，根据作图的过程证明三角形全等即可；， 【详解】 【巩固练习2】如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图过程可得，，利用证明，即可得结果． 【详解】解：根据作图过程可知：，， 在和中， ， ， ， ， 则的度数为． 【巩固练习3】（易错）如图，中，，以点A为圆心，长为半径作弧；以点B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，则的度数为 ． 【答案】34°或80° 【分析】由作法得，AD=BC，BD=AC，利用SSS证△ABD≌△BAD，得出∠ABD=∠BAC=23°，再分两种情况：当点D在AB上方时，当点D在AB下方时，分别求解即可． 【详解】解：由作法可知，AD=BC，BD=AC， 又∵AB=AB， ∴△ABD≌△BAD（SSS）， ∴∠ABD=∠BAC=23°， 当点D在AB上方时， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=57°-23°=34°； 当点D在AB下方时， ∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=57°+23°=80°； ∴∠DBC的度数为34°或80°， 故答案为：34°或80°． 【课后作业】 1． 如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【详解】解：此玻璃，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定． 故选：D． 2． 在下列条件中，不能作为判断的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、满足边边角，不能判定，故本选项符合题意； B、满足边角边，能判定，故本选项不符合题意； C、满足边边边，能判定，故本选项不符合题意； D、满足角角边，能判定，故本选项不符合题意； 3． 如图，A，两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，间的距离，但无法从A点直接到达点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达A点），连接并延长到点，使．连接，并测量出它的长度为10米，则A，两点间的距离为 米．    【答案】10 【分析】利用证明，得出米即可． 【详解】解：∵P为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴米， 故答案为：10． 4． 如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC，求证：AE＝AF． A E F D B C 提示：先证△ABD≌△ACD（SAS），再证△ADE≌△ADF（AAS）． 5． 已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据证明三角形全等即可． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图可知，，，， 在和中， 6． 如图，已知AB＝AC，BF＝CE，求证：BE＝CF． A E F D B C 证明：过点B作AC的垂线，垂足为G，过点C作AB的垂线，垂足为H． A E F D B C F E 在△ABG和△ACH中， ∴△ABG≌△ACH（AAS）． ∴AG＝AH，BG＝CH． 在Rt△FBG和Rt△ECH中， ∴Rt△FBG≌Rt△ECH（HL）， ∴FG＝EH，∴AF＝AE， ∴BE＝CF． 7． 如图，在中，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．若，则形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质．由全等三角形的性质可得，，再由垂直可得，则有，从而得，即可求得，即可判定． 【详解】解：， ，， 直线， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 8． 如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，EF∥BC，∠BDE＝∠CDF，求证：AE＝AF． A B D C E F 提示：先证△BDE≌△CDF（SAS）． 9． 已知：如图，AE＝BF，AD∥BC，AD＝BC．AB，CD交于O点．求证：OE＝OF． D A O E F B C 先证△ADF≌△BCE（SAS），再证△OCE≌△ODF（AAS）． 10． 如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝6cm，BC＝8cm，沿过点C的直线折叠△ABC，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，求△BDE的周长． A D B E C 解：由题意，EC＝AC＝6cm，DE＝DA， ∴BE＝BC－EC＝BC－AC＝8－6＝2cm， ∴BD＋DE＋BE＝BD＋DA＋BE＝AB＋BE＝5＋2＝7cm， 即△BDE的周长为7cm． 11． 如图，，添加下列条件不能判断的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可判断，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ， ∴由可判定，故不符合题意； 、∵， ∴， 又∵，， ∴由可判定，故不符合题意； 、∵，， ∴ ， 又∵， ， ∴由可判定，故不符合题意； 、∵，和分别是 和的对角， ∴不能判定，故符合题意 12． 如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过 s后，与全等． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动x分钟后与全等；分两种情况：①若，则，此时，≌；②若，则，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵于点A，于B， ∴． 设运动x分钟后与全等，由题意得：，，则． 分两种情况： ①若，则，，． 可知， ∴≌； ②若，则， 解得：，可知， 此时与不全等． 综上所述：运动后与全等． 13． 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD，若∠ABC＝76°，∠ADB＝32°，求∠ACB的度数． D A B C 解：∵∠ABC＝76°，∠ABD＝38°， ∴∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝180°－38°－32°＝110°． 设∠DAE＝∠DAF＝x°，则∠BAD＝180°－x°＝110°， ∴x＝70，∴∠EAC＝2x°＝140°， ∴∠ACB＝∠EAC－∠ABC＝140°－76°＝64°． D E A F B C G 14． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，若BD＝4，求△BCD的面积． A D B C 解：过点C作BD的垂线，垂足为H，延长CH交BA的延长线于点G． A D G H B C ∵BD平分∠ABC，∴∠CBH＝∠GBH． 在△BCH和△BGH中， ∴△BCH≌△BGH（ASA）， ∴CH＝GH，∴CG＝2CH． ∵∠BAC＝∠BHC＝90°，∠ADB＝∠HDC， ∴∠ABD＝∠ACG． 在△ABD和△ACG中， ∴△ABD≌△ACG（ASA）， ∴BD＝CG，∴BD＝2CH， ∴CH＝ BD＝2， ∴S△BCD＝ BD·CH＝ ×4×2＝4． 15． 如图，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠BAD，求证：BE平分∠ABC． A D E B C 证明：过点E作AB的垂线，垂足为F． A D E F B C ∵AE平分∠BAD，∠D＝90°， ∴EF＝ED． ∵E是CD的中点，∴ED＝EC， ∴EF＝EC． ∵∠D＝90°，∴BE平分∠ABC． 16． 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，将△ABE沿BE对折得到△FBE，延长EF交CD于点G，连接BG． （1）求∠EBG的度数； （2）求证：△DEG的周长＝2AB． A E D F G B C （1）证明：由题意，∠ABE＝∠FBE，BF＝BA＝BC． 在Rt△BFG和Rt△BCG中， ∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）， ∴∠FBG＝∠CBG， ∴∠EBG＝∠FBE＋∠FBG＝ ∠ABC＝45°． （2）解：由题意，AE＝EF． ∵Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）， ∴FG＝CG， ∴△DEG的周长＝DE＋DG＋EG＝DE＋DG＋EF＋FGG＝DE＋DG＋AE＋CG＝AD＋CD＝2AB． 17． （2023七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，D是边上一点，E是边上一点，连接．    （1）过点A作的平行线，与的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若D是的中点，求证：． 【分析】（1）尺规作，延长即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：如图：AF即为所求；   ； （2）证明：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴． 3 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$