专题3-2 十二个全等三角形模型一网打尽（倍长中线，手拉手，一线三等角，截长补短，婆罗摩羯多，半角模型等）- 【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练（北师大版）

【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 1 / 62 专题 3-2 十二个全等三角形常考模型 模型梳理 ...................................................................................................................................... 2 【题型 1】倍长中线模型 ............................................................................................................ 16 【题型 2】三垂直模型 ................................................................................................................ 19 【题型 3】一线三等角模型 ........................................................................................................ 22 【题型 4】平行线夹中点模型 .................................................................................................... 25 【题型 5】手拉手模型 ................................................................................................................ 26 【题型 6】截长补短模型 ............................................................................................................ 31 【题型 7】角平分线相关模型 .................................................................................................... 35 【题型 8】半角模型 .................................................................................................................... 39 【题型 9】对角互补模型 ............................................................................................................ 43 【题型 10】婆罗摩笈多模型 ...................................................................................................... 44 【题型 11】逆等线模型 .............................................................................................................. 47 【题型 12】脚蹬脚模型 .............................................................................................................. 48 课后巩固 ....................................................................................................................................... 50 模块一 题型·解读 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 2 / 62 模型梳理 模型 1 倍长中线 （一）基本模型 （二）结论推导 结论 1：△ACD≌△EBD． 证明：∵AD 是 BC 边上的中线，∴CD＝BD． ∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD． 结论 2：△BDE≌△CDF． 证明：∵点 D 是 BC 边的中点，∴BD＝CD． ∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF． （三）解题技巧 遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接 相应的顶点，构造出全等三角形． 已知：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，延 长 AD 到点 E，使 ED＝AD，连接 BE． 结论 1：△ACD≌△EBD． 已知：在△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，点 E 是 AB 边上一点，连接 ED，延长 ED 到点 F， 使 DF＝DE，连接 CF． 结论 2：△BDE≌△CDF． 已知：在△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，作 CE⊥AD 于 E，BF⊥AD 于 F， 结论 3：易证：△CDE≌△BDF（SAS） F E D A B C 模块二 基础知识·梳理 A B D C E A B D C F E 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 3 / 62 模型 2 一线三等角模型 （一）基本模型 （二）结论推导 结论 1：△CAP≌△PBD． 证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD． ∵∠1＝∠3，AP＝BD（或 AC＝BP 或 CP＝PD），∴△CAP≌△PBD． 结论 2：△APC≌△BDP． 证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3， ∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或 AC＝BP 或 CP＝PD），∴△APC≌△BDP． （三）解题技巧 在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个 等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性 质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何 综合题中考查． （四）补充：一线三垂直模型介绍 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过 45°顶点作直线的垂线，构造三垂直， 所得两个直角三角形全等.根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系. 已知：点 P 在线段 AB 上，∠1＝∠2＝∠3， AP＝BD（或 AC＝BP 或 CP＝PD）． 结论 1：△CAP≌△PBD． 已知：点 P 在 AB 的延长线上，∠1＝∠2 ＝∠3，AP＝BD（或 AC＝BP 或 CP＝PD）． 结论 2：△APC≌△BDP． A B D P C 1 2 3 1 2 3 D P C B A 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 4 / 62 模型 3 手拉手模型 （一）基本模型 已知：在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， 连接 BD，CE 相交于 O，连接 OA． 结论 1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论 2：∠BOC＝∠BAC， 结论 3：OA 平分∠BOE． （二）结论推导 结论 1：△ABD≌△ACE，BD＝CE． 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． 结论 2：∠BOC＝∠BAC． 证明：设 OB 与 AC 相交于点 F． ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC． 结论 3：OA 平分∠BOE． 证明：过点 A 分别做 BD，CE 的垂线，垂足为 G，H． ∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE， ∴ 1 2 BD AG ＝ 1 2 CE AH ． ∵BD＝CE，∴AG＝AH， ∴OA 平分∠BOE． （三）解题技巧 如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等 腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． A D E B C O A D E B C O G H A D E B C O F 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 5 / 62 模型 4 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键 词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证 2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证 BE+DC=AD 方法：①在 AD 上取一点 F，使得 AF=BE，证 DF=DC；②在 AD 上取一点 F，使 DF=DC，证 AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 模型 5 平行线夹中点模型 如图，AB//CD，点 E是 BC的中点． 【模型分析】 如图①，延长 DE交 AB于点 F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。 如图②，延长 AE 交 CD延长线于点 F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）， 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 E A B C D 图① F E A B C D 图② F E C BA D 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 6 / 62 模型 6 半角模型 （一）基本模型 等边三角形含半角 已知：△ABC 是等边三角形，D为△ABC 外一点，∠BDC＝120°， BD＝CD，点 E，F 分别在 AB，AC 上， ∠EDF＝60°． 结论 1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 正方形含半角 已知：四边形 ABCD 是正方形，点 E， F 分别在 BC，CD 上，∠EAF＝45°． 结论 2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． （二）结论推导 结论 1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 证明：延长 AC 到点 G，使 CG＝BE，连接 DG． ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°， ∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG． ∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°， ∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°． ∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF， ∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE． ∴∠DEB＝∠DEF． ∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF． A B C D E F A D B E C F A B C D E F G 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 7 / 62 结论 2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 证明：延长 CB 到点 G，使 BG＝DF，连接 AG． ∵正方形 ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF． ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°， ∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G． ∴∠AFD＝∠AFE． ∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF． （三）解题技巧 对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结 论． 模型 7 对角互补+邻边相等模型 模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。 如图， 180EOF ECF   ，CE CF 作垂线 旋转 F C O B A E F C O B A E F C O B A E A D B E C F G 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 8 / 62 模型 8 角平分线相关模型 一、模型介绍 （1）角平分线基本性质 已知：OP 平分∠MON，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB ⊥ON 于点 B． 结论：PA＝PB，OA＝OB． （2）结论推导 结论：PA＝PB，OA＝OB． 证明：∵OP 平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP． ∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB． 二、解题技巧 如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的 点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形． 1、尺规作角平分线（SSS） 第一步：在纸上画一个角，作为要被平分的角∠AOB。 第二步：以角的顶点 O 为圆心，任意长度为半径画圆弧，交角的两边 OA、OB 于 C、D 两点。 第三步：以 C 为圆心，大于 OC 且小于 OD（或反之）长度为半径画圆弧。 第四步：以 D 为圆心，与第三步相同的半径画圆弧。 第五步：两圆弧交于 E 点，连接顶点 O 和 E，OE 即为∠AOB 的平分线。 2、角平分线常见模型及辅助线作法 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 A B C D E O H G O P E D C A B M O B N A P 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 9 / 62 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) （3）角平分线+平行线得等腰三角形 （4）截取构造对称全等(截长补短) B A O P F E D CB A N M Q O P E D B A C E D B A C E D B A C N M F O P E AB∥CDAB+CD=BC F D E B A C 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 10 / 62 （5）角平分线分线段成比例(常用二级结论) = AB BD AC CD 简证： S ABD BD S ACD CD △ △ ， ∵ DE DF ∴ S ABD AB S ACD AC △ △ ∴ = AB BD AC CD （6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 结论：AD 平分∠CAD 简证 D CB A E DC B A h1 h2 h3 E DC B A F E D A B C 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 11 / 62 模型 9 婆罗摩笈模型 如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接 AD，CE，M，N分别在 AD，CE上，且MN经 过点 B 【性质 1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，② CBES ＝ ABDS ，③CE＝2BN． 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过 A 作 AP⊥MN，垂足为 P，过 D 作 DQ⊥MN 交 MN 的延长线于 Q， 易证：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM ∴AP＝DQ 易证：△APN≌△DQN ∴AN＝DN ②如图，由①知，S CBM ＝S BAP ，S EBM ＝S BDQ ，S APN ＝S DQN N M EC A B D N M EC A B D Q P N M EC A B D Q P N M EC A B D Q P N M EC A B D 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 12 / 62 ∴S ABD ＝S ABN ＋S DBN ＝S BAP ＋S APN ＋S BDQ －S DQN ＝S BAP ＋S BDQ ＝S CBM ＋S EBM ＝S CBE ,即 S CBE ＝S ABD ，得证. ③如图，由①得，PN＝QN， ∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证. 【性质 2：中点得垂直】若点 N是 AD的中点，则①MN⊥CE． 【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长 BN 至点 P，使 BN＝PN，连结 PN， 易证：△PAD≌BDA ∴BC＝PD，BE=PA ∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°， P M N EC D B A P M N EC D B A P M N EC D B A P M N EC D B A 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 13 / 62 又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB， 易证：△CBE≌△PAB， ∴∠BCM＝∠ABN， ∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90° ∴∠BMC＝90° 模型 10 逆等线段模型 一、什么是逆等线段。 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称 为逆等线段。 二、解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助 线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线 段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 【模型解读】 △ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的动点，且 AD=CE，即逆向相等，则称 AD 和 CE 为逆等线， 就是怎么别扭怎么来。 一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 观察图形，我们很容易发现，AD 和 CE 没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造 全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 14 / 62 这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述 如图，在△ABC 中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点 D、E 分别是 AB、AC 上的动点，且 AD=CE， 求 CD+BE 的最小值。 分析思路： ① AD 在△ADC 中，那么我们就以 CD 为一边构造另一个三角形与之全等，这个 也叫做一边一角造全等。 ② 即过点 C 作 CF//AB，且 CF=AC。（构造一边一角，得全等） ③ 构造出   ADC CEF SAS△ ≌△ ,证出 EF=CD ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接 BF，则 BF 即为所求 此时，B、E、F 三点共线. 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 15 / 62 模型 11 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） 模型成立条件：等腰三角形顶角互补 已知：△ABC、△ADE 为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点 F 为 CE 的中点， 则△BFD是等腰直角三角形. 【证明】法一：倍长中线 延长 DF 至点 G，使得 FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）； 所以 CG=ED=AD，∠2=∠7； 又∠1+∠2+∠3=360°， ∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和）， ∠4=∠6=90°； 所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3， 所以∠1=∠5； A B C E D A B C E D F 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 16 / 62 则△BCG≌△BAD（SAS）， 所以∠DBG=90°，BG=BD； 所以 BF= 2 1 DG=DF，BF⊥DF。 法二：构造手拉手模型 将△ABC 沿 AB 对称，将△ADE 沿 AD 对称 连接 PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出 PE=CQ 且 PE⊥CQ，而 BE 是△CPE 的中位线，CD 是△CQE 的中位线，故 BF=DF，且 BF⊥FD 【题型 1】倍长中线模型 【例题 1】如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 上一点，BE＝AC，BE 的延长线 交 AC 于点 F，求证：AF＝EF． 【例题 2】 AM 为 ABC中BC边上的中线，若 4AB  ， 6AC  ，则 AM 的取值范围是 ． α α Q F E A C B D α α Q P F E A C B D 模块三 核心题型·训练 A B C D F E 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 17 / 62 【巩固练习 1】如图，𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐸是𝐴𝐷上一点，连接𝐵𝐸并延长交𝐴𝐶于𝐹，𝐵𝐸 = 𝐴𝐶， 且𝐵𝐹 = 9，𝐶𝐹 = 6，那么𝐴𝐹的长度为 ． 【巩固练习 2】（23-24 七年级下·广东深圳·期末）如图，在 ABC 中， AB AC ，D 是 AC 的中点， 延长 AC 至点 E，使得CE AC ．若 9 2 BD  ，则 BE 的长为 ． 【巩固练习 3】（23-24 七年级下·广东深圳·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1， ABC 中， 8AB  ， 6AC  ，求BC边上的中 线 AD的取值范围． 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长 AD到点 E，使DE AD ．请根据小明的方 法思考： （1）请证明 ADC EDB≌ （2）请直接写出 AD的取值范围___________ AD _____________； 【问题解决】 请利用上述方法（倍长中线）解决问题． （3）如图 2，已知 180BAC CDE   ， AB AC ，DC DE ，P 为BE 的中点，若 A，C，D 共 线，求证： AP 平分 BAC ； 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 18 / 62 【巩固练习 4】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图 1，在 ABC 中， 6AB  ， 10AC  ，D是BC的中点，求BC边上的中线 AD的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图 1，延长 AD到点E ，使DE AD ，连接 BE ．根据________可以判定 ADC≌△ ________， 得出 AC ________． 这样就能把线段 AB ，AC ，2AD集中在 ABE 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 AD的取 值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在 ABC 中， AD是BC边上的中线，E 是 AD上一点，且BE AC ，延长BE 交 AC 于 点 F ，求证： AF EF ． 【拓展应用】 （3）如图 3， ABC 中， 90B ， 3AB  ，AD是 ABC 的中线，CE BC ， 5CE  ，且 90ADE  ， 直接写出 AE 的长． 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 19 / 62 【题型 2】三垂直模型 【例题 1】如图，C，B，D 三点在同一条直线上，∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，AC＝BD，求证：△ABC≌△BED． 【例题 2】在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线 l 为经过点 A 的任一直线，BD⊥l 于点 D，CE⊥l 于点 E，若 BD＞CE，试问： AD 与 CE 的大小关系如何？请说明理由； 线段 BD，DE，CE 之间的数量之间关系如何？你能说明理由吗？ 【例题 3】（2023 八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知： ABC中， 90ACB  ， AC CB ，D 为直 线 BC 上一动点，连接 AD，在直线 AC 右侧作 AE AD ，且 AE AD ． （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，过点 E 作 EH AC 于 H，连接 DE，求证： EH AC ； （2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，连接 BE 交 CA 的延长线于点 M． 求证：BM EM ； （3）当点 D 在射线．．CB 上时，连接 BE 交直线．．AC 于 M，若 2 5AC CM ，则 ADB AEM S S △ △ 的值为______． C B D A E A C B D l E 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 20 / 62 【巩固练习 1】（2023 七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千 的起始位置 A 处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1m 高的 B 处接住她后用 力一推，爸爸在 C 处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m， 90BOC  ．爸爸在 C 处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【巩固练习 2】如图，∠BAC＝90°，AD 是∠BAC 内部一条射线，若 AB＝AC，BE⊥AD 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AF＝BE． 【巩固练习 3】（23-24 七年级下·广东深圳·期末）如图，在 ABC中， 90ACB  ， 6BC  ，过点 B 作BD AB ，且BD AB ，延长BC至点 E，使 1 2 CE BC ，连接𝐷𝐸并延长交 AC 边于点 F，若 DE EF ， 则 AC  ． D E B F A C 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 21 / 62 【巩固练习 4】（1）【问题发现】如图 1， ABC与 CDE中， 90 ,B E ACD AC CD      ，B、 C 、 E 三点在同一直线上， 3AB  ， 4ED  ，则BE  _________. （2）【问题提出】如图 2，在Rt ABC△ 中， 90 , 4ABC BC    ，过点C 作CD AC ，且CD AC ， 求 BCD△ 的面积. （3）【问题解决】如图 3，四边形 ABCD中， 45ABC CAB ADC    ， ACD面积为 12 且CD 的长为 6，则 BCD△ 的面积是_________. （直接写结果） 【巩固练习 5】在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用 上述知识，解答下列问题： 已知：如图，在正方形 ABCD中， 4AB  ，点 G 是射线．．AB 上的一个动点，以DG为边向右作正方 形DGEF ，作EH AB 于点 H． （1）填空： AGD EGH   °； （2）若点 G 在点 B 的右边． 求证： DAG GHE≌ ； 试探索：EH BG﹣ 的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （3）连接EB，在 G 点的整个运动．．．．（点 G 与点 A 重合除外）过程中．．．，求 EBH 的度数； 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 22 / 62 【巩固练习 5】（23-24 七年级下·广东深圳·期中）【特例感知】 （1）如图 1，点 C 为直线 l 上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与 C 重合，两条直角边 AC BC、 在直线 l 的两侧，过 A 作 AD l 于点 D，过 B 作 BE l 于点 E，求证： AD CE ． 【应用拓展】 （2）当等腰直角 ACB△ 的边 AC 落在直线 l 上， 90ACB  ， AC BC D ， 为直线 l 上的一个动点 （点 D 不与 A、C 重合），连接BD，将线段BD绕点 B 逆时针旋转90的得到线段 BE ，连接 AE AE， 与射线BC交于点 F． ①如图 2，求证： AF EF ； ②当 3BC CF 时，请直接写出 :AD AC的值． 【题型 3】一线三等角模型 【例题 1】（2023 七年级下·广东深圳·期末）.如图，在等腰 ABC中，AB=AC=11，BC=8，∠A=40°， 等腰 DEF 中，DE=DF=5，∠EDF=70°，则 CDF 周长为 ． 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 23 / 62 【例题 2】如图 1，AB＝AC，∠1＝∠2≠90°，∠1＋∠BAC＝180°，点 A，E，F 在一条直线上，△ABE 与△CAF 全等吗？请说明理由． 【例题 3】（七年级下·广东深圳·期末）如图，在 ABC中， 4AB AC  ， 30B  ，点D在边BC上 运动（D不与B C、 重合），连结 AD作 30ADE  ，DE 交边 AC 于点E ． 当DC 等于多少时， ABD DCE△ △≌ ，请说明理由： 在点D的运动过程中，当 ADE是等腰三角形时，请直接写出 ADB 的度数． 【例题 4】已知，在△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝐷，𝐴，𝐸三点都在直线m上，且𝐷𝐸 = 9𝑐𝑚，∠𝐵𝐷𝐴 = ∠𝐴𝐸𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐶． （1）如图①，若𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐶，则𝐵𝐷与𝐴𝐸的数量关系为 ___________，𝐶𝐸与𝐴𝐷的数量关系为 ___________； （2）如图②，判断并说明线段𝐵𝐷，𝐶𝐸与𝐷𝐸的数量关系； （3）如图③，若只保持∠𝐵𝐷𝐴 = ∠𝐴𝐸𝐶，𝐵𝐷 = 𝐸𝐹 = 7𝑐𝑚，点 A 在线段𝐷𝐸上以2cm/s的速度由点 D 向点 E 运动，同时，点 C 在线段𝐸𝐹上以𝑥cm/s的速度由点 E 向点 F 运动，它们运动的时间为t（s）．是 否存在 x，使得△𝐴𝐵𝐷与△𝐸𝐴𝐶全等？若存在，求出相应的 t 的值；若不存在，请说明理由． B A C E F 1 2 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 24 / 62 【巩固练习 1】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD 于点 D，BE⊥CD 于点 E，若 BE＝6，DE＝4，则△ACE 的面积为_________． 【巩固练习 2】（七年级下·广东深圳·期中）（1）如图 1， 90MAN  ，射线 AE 在这个角的内部， 点 B、C 分别在 MAN 的边 AM 、AN 上，且 AB AC ，CF AE 于点 F，BD AE 于点 D，求证： ABD CAF≌ ； （2）如图 2，点 B、C 分别在 MAN 的边 AM 、 AN 上，点 E、F 都在 MAN 内部的射线 AD上， 已知 AB AC ，且 1 2 BAC   ，求证： ABE CAF≌ ； （3）如图 3，已知 ABC的面积为 15，且 AB AC ，AB BC ，点 D 在边BC上，点 E、F 在线段 AD 上， 1 2 BAC   ，若 ACF△ 与 BDE△ 的面积之和是 6，求 :CD BC 的值． 【巩固练习 3】（23-24 七年级下·四川成都·阶段练习）在边长为 2 的等边 ABC 中， AD是BC边上 的中线，E 为 AD上一动点，连接 BE ，在 BE 的下方作等边 BEF△ ． (1)当BD DE 时，连接CF ， ① ABF ______． ②求证： ABE CBF△ ≌△ (2)连接DF ， BDF 的周长是否有最小值，若有请求出此时 DBF 的度数；若没有请说明理由． A B C D E 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 25 / 62 【巩固练习 4】（23-24 七年级下·广东深圳·期末）（1）如图 1， ABC 的三条边相等，三个内角也相 等，点 D、E、F 分别在边 AB BC CA、 、 上，且BD CE AF  ．请写出图中一对全等三角形 ， 其全等的理由是 ； （2）如图 2， ABC 中，AB AC ，点 D、E、F 分别在边 AB BC AC、 、 上，且BD CE DEF B  ， ， 请判断 DEF 的形状，并说明理由； （3）如图 3， ABC 中， 8AB AC  ，点 D 在BA的延长线上，点 E 在边BC上，且 2AD CE DEF B   ， ．延长BC至点 M，使得CM CA ，过点 M 作 AC 的平行线MF ，与边EF 交于点 F．若 4MF  ，请你求出线段 BM 的长度． 【题型 4】平行线夹中点模型 【例题 1】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 是 CD 的中点，AE⊥BE，求证：AB＝AD＋BC． 【例题 2】（深圳市宝安区七年级下期末）如图， ABC中， AB AC ，点D为CA延长线上一点， DH BC 于点H ，点F 为 AB 延长线上一点，连接DF 交CB的延长线于点 E ，点 E 是DF 的中点， 若 2BH  ， 2BE BH ，则BC  ． A D B C E 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 26 / 62 【巩固练习 1】如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点 E 为 AD 的中点，若 AB＝2，BC＝6，CD＝8，则 BE 的长为_________． 【巩固练习 2】如图 1，点𝐴是直线𝑀𝑁上一点，点𝐵是直线𝑃𝑄上一点，且 MN//PQ．∠𝑁𝐴𝐵和∠𝐴𝐵𝑄的 平分线交于点𝐶． （1）求证：𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐶； (2)过点𝐶作直线交𝑀𝑁于点𝐷（不与点𝐴重合），交𝑃𝑄于点 E, ①若点𝐷在点𝐴的右侧，如图 2，求证：𝐴𝐷 + 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵； ②若点𝐷在点𝐴的左侧，则线段𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐴𝐵有何数量关系？直接写出结论，不说理由． 【题型 5】手拉手模型 【例题 1】如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，BD、CE 交于点 F，求证：∠BFC＝∠BAC． A B D C E A B C D E F G 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 27 / 62 【例题 2】（23-24 七年级下·广东深圳·期末）如图，在 ABC 中， 45BAC  ，以BC为边向外作等 腰直角三角形 BCD△ ，连接 AD，若 4AC  ，则 ACDS  ． 【例题 3】（23-24 七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知 90BAC DAE   ，AB AC ，AD AE ，老师将 ABC和 ADE按如图 1 所示的位置摆放(点 E、 A、B 在同一条直线上)，发现BD CE ．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究． 【初步探究】 （1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持 ADE不动，将 ABC按如图 2 位置摆放，发现 BD CE 仍然成立，请你帮他们完成证明； 【深入探究】 （2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰 ABC和等腰 ADE，AB AC ，AD AE ，将两个等腰三 角形按如图 3 位置摆放，请问当 BAC 和 DAE 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BD CE 仍 成立？请说明理由； 【拓展应用】 （3）创新小组保持老师提供的 ADE不动，另剪一个等腰直角△ABC 按如图 4 位置摆放， 90ABC  ， BA BC ，若DA与𝐷𝐵关于沿着过点 D 的某条直线对称， AC 与𝐷𝐸交于点 F，当点 B 在 ADE的斜 边𝐷𝐸上时，连接𝐶𝐷，请证明 CDF 为等腰三角形． 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 28 / 62 【巩固练习 1】两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，如图是由它抽象出的几何图形，B， C，E 在同一条直线上，连接DC ． （1）求证： ABE ACD≌ ；（2）指出线段DC 和线段 BE 的关系，并说明理由． 【巩固练习 2】（23-24 七年级下·四川成都·期末）如图，在 ABC 中， 90ACB  ， AC BC ，D 为BC边上一动点（点 D 不与 B，C 重合），过 B 作BE AD 于点 E，交 AC 的延长线于点 F，连接CE． (1)求证： ACD BCF≌△ △ ； (2)试探究 CEF 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 29 / 62 【巩固练习 3】【发现】如图①， AB AC ， AD AE ， DAE BAC  ，求证：BD CE ； 【拓展】如图②， ABC 和 ADE均为等边三角形，点D、B 、C 在同一直线上，连结CE，则 ACE  ______°，若 3AC  ， 5CE  ，则CD  ______． 【应用】如图③， ABC 和 ADE均为等腰直角三角形， 90BAC DAE   ，点D、 B 、C 在同 一直线上，AH 为 ABC 中BC边上的高，连结CE，则 DCE ______°，若 2AH  ， 4CE  ，则CD  ______． 【寒假衔接】2024-2025 学年七年级下学期数学重点题专练 30 / 62 【巩固练习 4】（23-24 七年级下·广东深圳·期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样 一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角 顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉 手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图 1，在 ABC 和 ADE中，AB AC ，AD AE ，  40BAC DAE AB AD     ，连接BD， CE，当点E 落在 AB 边上，且D，E ，C 三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和 ABD△ 全等的 三角形是____________， BDC 的度数为____________． (2)如图 2，已知 ABC ，分别以 AB 、AC 为直角边向 ABC 两侧作等腰直角 ABE 和等腰直角 ACD， 其中 90BAE CAD   ，连接CE、BD，线段CE和BD交于点O． ①证明：CE BD 且CE BD ； ②若DC 与BC在同一直线上，如图 3，延长DA与CE交于点F ，连接 BF 并延长，BF 的延长线与边 AE 交于点G ，且 AF AG ，若 ABE 和 ACD的面积之和为 20， ABG的面积为 6，求线段EG 的 长． 【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题3-2 十二个全等三角形常考模型 模块一 题型·解读 模型梳理 2 【题型1】倍长中线模型 16 【题型2】三垂直模型 19 【题型3】一线三等角模型 22 【题型4】平行线夹中点模型 25 【题型5】手拉手模型 26 【题型6】截长补短模型 31 【题型7】角平分线相关模型 35 【题型8】半角模型 39 【题型9】对角互补模型 43 【题型10】婆罗摩笈多模型 44 【题型11】逆等线模型 47 【题型12】脚蹬脚模型 48 课后巩固 50 模块二 基础知识·梳理 模型梳理 模型1 倍长中线 （一）基本模型 A B D C E 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE． 结论1：△ACD≌△EBD． A B D C F E 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF． 结论2：△BDE≌△CDF． 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F， 结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS） （二）结论推导 结论1：△ACD≌△EBD． 证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD． ∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD． 结论2：△BDE≌△CDF． 证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD． ∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF． （三）解题技巧 遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形． 模型2 一线三等角模型 （一）基本模型 A B D P C 1 2 3 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论1：△CAP≌△PBD． 1 2 3 D P C B A 已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论2：△APC≌△BDP． （二）结论推导 结论1：△CAP≌△PBD． 证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD． ∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD． 结论2：△APC≌△BDP． 证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3， ∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP． （三）解题技巧 在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查． （四）补充：一线三垂直模型介绍 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等.根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系. 模型3 手拉手模型 （一）基本模型 A D E B C O 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA． 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE． （二）结论推导 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．A D E B C O F 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． 结论2：∠BOC＝∠BAC． 证明：设OB与AC相交于点F． ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC． 结论3：OA平分∠BOE．A D E B C O G H 证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H． ∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE， ∴＝． ∵BD＝CE，∴AG＝AH， ∴OA平分∠BOE． （三）解题技巧 如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． 模型4 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 模型5 平行线夹中点模型 如图，AB//CD，点E是BC的中点． 【模型分析】 如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。 如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）， 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 模型6 半角模型 （一）基本模型 等边三角形含半角A B C D E F 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°． 结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 正方形含半角A D B E C F 已知：四边形ABCD是正方形，点E， F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°． 结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． （二）结论推导 结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．A B C D E F G 证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG． ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°， ∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG． ∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°， ∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°． ∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF， ∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE． ∴∠DEB＝∠DEF． ∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF． 结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．A D B E C F G 证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG． ∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF． ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°， ∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G． ∴∠AFD＝∠AFE． ∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF． （三）解题技巧 对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论． 模型7 对角互补+邻边相等模型 模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。 如图，， 作垂线 旋转 模型8 角平分线相关模型 一、模型介绍 （1）角平分线基本性质 M O B N A P 已知：OP平分∠MON，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B． 结论：PA＝PB，OA＝OB． （2）结论推导 结论：PA＝PB，OA＝OB． 证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP． ∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB． 二、解题技巧 如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形． 1、尺规作角平分线（SSS） 第一步：在纸上画一个角，作为要被平分的角∠AOB。 第二步：以角的顶点O为圆心，任意长度为半径画圆弧，交角的两边OA、OB于C、D两点。 第三步：以C为圆心，大于OC且小于OD（或反之）长度为半径画圆弧。 第四步：以D为圆心，与第三步相同的半径画圆弧。 第五步：两圆弧交于E点，连接顶点O和E，OE即为∠AOB的平分线。 2、角平分线常见模型及辅助线作法 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) （3）角平分线+平行线得等腰三角形 （4）截取构造对称全等(截长补短) （5）角平分线分线段成比例(常用二级结论) 简证： ， ∵ ∴ ∴ （6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 结论：AD平分∠CAD 简证 模型9 婆罗摩笈模型 如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B 【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN． 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过A作AP⊥MN，垂足为P，过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q， 易证：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM ∴AP＝DQ 易证：△APN≌△DQN ∴AN＝DN ②如图，由①知，S＝S ，S＝S，S＝S ∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S ＝S＋S＝S＋S＝S,即S＝S，得证. ③如图，由①得，PN＝QN， ∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证. 【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE． 【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN， 易证：△PAD≌BDA ∴BC＝PD，BE=PA ∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°， 又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB， 易证：△CBE≌△PAB， ∴∠BCM＝∠ABN， ∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90° ∴∠BMC＝90° 模型10 逆等线段模型 一、什么是逆等线段。 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。 二、解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。 一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 分析思路： ① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个 也叫做一边一角造全等。 ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等） ③ 构造出,证出EF=CD ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求 此时，B、E、F三点共线. 模型11 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） 模型成立条件：等腰三角形顶角互补 已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点， 则△BFD是等腰直角三角形. A B C E D A B C E D F 【证明】法一：倍长中线 延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）； 所以CG=ED=AD，∠2=∠7； 又∠1+∠2+∠3=360°， ∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和）， ∠4=∠6=90°； 所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3， 所以∠1=∠5； 则△BCG≌△BAD（SAS）， 所以∠DBG=90°，BG=BD； 所以BF=DG=DF，BF⊥DF。 法二：构造手拉手模型 将△ABC沿AB 对称，将△ADE 沿AD对称 连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD 模块三 核心题型·训练 【题型1】倍长中线模型 【例题1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AF＝EF． A B C D F E 【例题2】为中边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 【巩固练习1】如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．    【巩固练习2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，D 是的中点，延长至点E，使得．若 则的长为 ． 【巩固练习3】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使．请根据小明的方法思考： （1）请证明 （2）请直接写出的取值范围________________________； 【问题解决】 请利用上述方法（倍长中线）解决问题． （3）如图2，已知，，，P为的中点，若A，C，D共线，求证：平分； 【巩固练习4】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【题型2】三垂直模型 【例题1】如图，C，B，D三点在同一条直线上，∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，AC＝BD，求证：△ABC≌△BED． C B D A E 【例题2】在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，若BD＞CE，试问： AD与CE的大小关系如何？请说明理由； 线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何？你能说明理由吗？ A C B D l E 【例题3】（2023八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M． 求证：； （3）当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______． 【巩固练习1】（2023七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 【巩固练习2】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：AF＝BE． D E B F A C 【巩固练习3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则 ． 【巩固练习4】（1）【问题发现】如图1，与中，，B、、三点在同一直线上，，，则_________. （2）【问题提出】如图2，在中，，过点作，且，求的面积. （3）【问题解决】如图3，四边形中，，面积为12且的长为6，则的面积是_________. （直接写结果） 【巩固练习5】在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题： 已知：如图，在正方形中，，点G是射线上的一个动点，以为边向右作正方形，作于点H． （1）填空：　 　°； （2）若点G在点B的右边． 求证：； 试探索：的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （3）连接，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求的度数；    【巩固练习5】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【特例感知】 （1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边在直线l的两侧，过A作于点D，过B作于点E，求证：． 【应用拓展】 （2）当等腰直角的边落在直线l上，，为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转的得到线段，连接与射线交于点F． ①如图2，求证：； ②当时，请直接写出的值． 【题型3】一线三等角模型 【例题1】（2023七年级下·广东深圳·期末）.如图，在等腰中，AB=AC=11，BC=8，∠A=40°，等腰中，DE=DF=5，∠EDF=70°，则周长为 ．    【例题2】如图1，AB＝AC，∠1＝∠2≠90°，∠1＋∠BAC＝180°，点A，E，F在一条直线上，△ABE与△CAF全等吗？请说明理由． B A C E F 1 2 【例题3】（七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，点在边上运动（不与重合），连结作，交边于点．    当等于多少时，，请说明理由： 在点的运动过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【例题4】已知，在中，，三点都在直线m上，且．    （1）如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，若BE＝6，DE＝4，则△ACE的面积为_________． A B C D E 【巩固练习2】（七年级下·广东深圳·期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 【巩固练习3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在边长为2的等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． (1)当时，连接， ______． 求证： (2)连接，的周长是否有最小值，若有请求出此时的度数；若没有请说明理由． 【巩固练习4】（23-24七年级下·广东深圳·期末）（1）如图1，的三条边相等，三个内角也相等，点D、E、F分别在边上，且．请写出图中一对全等三角形　 　，其全等的理由是　 　； （2）如图2，中，，点D、E、F分别在边上，且，请判断的形状，并说明理由； （3）如图3，中，，点D在的延长线上，点E在边上，且．延长至点M，使得，过点M作的平行线，与边交于点F．若，请你求出线段的长度． 【题型4】平行线夹中点模型 【例题1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，AE⊥BE，求证：AB＝AD＋BC． A D B C E 【例题2】（深圳市宝安区七年级下期末）如图，中，，点为延长线上一点，于点，点为延长线上一点，连接交的延长线于点，点是的中点，若，，则 ．    【巩固练习1】如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________． A B D C E 【巩固练习2】如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点． （1）求证：； (2)过点作直线交于点（不与点重合），交于点E, ①若点在点的右侧，如图2，求证：； ②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．    【题型5】手拉手模型 【例题1】如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，BD、CE交于点F，求证：∠BFC＝∠BAC． A B C D E F G 【例题2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角三角形，连接，若，则 ． 【例题3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究． 【初步探究】 （1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明； 【深入探究】 （2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； 【拓展应用】 （3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形． 【巩固练习1】两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，如图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接． （1）求证：；（2）指出线段和线段的关系，并说明理由． 【巩固练习2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，D为边上一动点（点D不与B，C重合），过B作于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)试探究的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； 【巩固练习3】【发现】如图①，，，，求证：； 【拓展】如图②，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连结，则______°，若，，则______． 【应用】如图③，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连结，则______°，若，，则______． 【巩固练习4】（23-24七年级下·广东深圳·期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． (2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 【题型6】截长补短模型 【例题1】如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    （1）求的度数；(2)求证：． 【例题2】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 【巩固练习1】（七年级下·广东深圳·期末）（1）如图1，在中，D是边上一点，且，若，则______． （2）如图2，在中，D是边上一点，，点E在线段上且，求证：． （3）如图3，在中，D是延长线上一点，，点E在射线上且，请画出E点的位置，此时和满足怎样的数量关系，请说明理由    【巩固练习2】数学活动课上，学生在探索三角形全等条件时，小明提出：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等． 【验证】同学们通过讨论，利用作图的方法对这种说法进行了判断： 如图①，已知：线段，，，且.若，则在图中可以作出两个符合条件的点，记作，，由此说明小明的说法是错误的． （1）请利用直尺和圆规在图①中画出点，，并连接，（不写作法）； 【发现】（2）小红发现，是______三角形（按照三角形的分类直接填空）； 【应用】为了让学生更好的理解小红的发现，老师设置了这样一个问题： 已知：如图②，在中，，，过点作直线，点为射线上任意一点（不与点重合），连接，过点作交直线于点；求证：（提示：可作辅助线在中构造出与全等的三角形）． （3）写出证明过程： 【拓展】如图③，在中，，，，，过点作交的平分线于点． （4）请直接写出线段的长． 【巩固练习3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则_______； ②作点关于直线的对称点，证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段，，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长． 【巩固练习4】（23-24七年级下·四川成都·期末）在中，点D在线段上，，点E在线段上，平分．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，，，求线段的值； (3)如图3，过点E作的平行线交于F，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【题型7】角平分线相关模型 【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为________ A D B C 【例题2】（七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为 ．    【例题3】（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【例题4】如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N． 求证：PM＝PN； 如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝5，AC＝3，求的值； 如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，若AB＝5，AC＝3，求BC与CD的数量关系． A P B C D M N A D B C F E A B C D 图1 图2 图3 【巩固练习1】（七年级下·四川成都·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【巩固练习2】（七年级下·广东深圳·期末）如图，分别是三边上的点，平分，，若的面积为5，则的面积为 ；    【巩固练习3】（2023七年级下·四川成都·期末）如图，中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F,平分，，求的值．    【巩固练习4】（七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则 ．      【巩固练习5】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CF； （2）若AB＝8，CF＝2，求AC的长． A B C E D F G 【巩固练习6】（七年级下·广东深圳·期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．    （1）如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； （2）如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； （3）如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． ． 【题型8】半角模型 【例题1】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D为△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长为_________． A E F B C D 【例题2】已知如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．    （1）在图l中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； （2）如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【巩固练习1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周长为2，则正方形ABCD的边长为_________． A D B E C F 【巩固练习2】【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 （1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程． （1）如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【巩固练习3】阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【题型9】对角互补模型 【例题1】已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°． 【例题2】如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 【巩固练习1】如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）. 【巩固练习2】已知，平分． （1）在图1中，若，求证：； （2）在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【巩固练习3】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） 如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【题型10】婆罗摩笈多模型 【例题1】如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论是(   　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【例题2】（23-24七年级下·四川成都·期末）和均为等腰直角三角形，． (1)如图1，连接，，与交于点，请问，有怎样的数量和位置关系？为什么？ (2)如图2，连接，是中点，连接并延长交于点．与有怎样的位置关系？为什么？ 【巩固练习1】综合与实践 以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.    （1）如图①，若，证明：； （2）如图②，，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由； 【巩固练习2】（23-24七年级下·山东泰安·期末）【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 【巩固练习3】（1）【模型呈现】如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D，E．试说明： （2）【模型应用】如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有．试说明：． （3）【拓展延伸】如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I．试说明：I为的中点． 【题型11】逆等线模型 【例题1】如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时， 度．    【巩固练习1】如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且．当的值最小时，∠MAC的值为 ． 【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，当DM＋DN取到最小值时，∠DNC的度数___． A B C D N E M 【题型12】脚蹬脚模型 【例题1】（深圳·期末）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现：在等腰中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中于点F，于点G，M是的中点，连接和，则下列结论正确的是（填序号即可） ①；②；③；④整个图形是轴对称图形． （2）数学思考：在任意中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是的中点，连接和，则与具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； （3）类比探究：在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是的中点，连接和，试判断形状，并说明理由．    【巩固练习1】如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°． A B C E D 【巩固练习2】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，点F为BD的中点，连接CE，CF，EF，求证：△CEF是等腰直角三角形． A B C F E D 【巩固练习3】如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，点D在AB边上，连接EC，取EC中点F，求证： （1）AF＝DF； （2）AF⊥DF． 课后巩固 1． 如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则　　 A． B． C． D． 2． 如图，D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，若BE＝1，△AEF的周长为4，则AE的长为_________． A E F B C D 3． 如图，在中，是的平分线，，，则　　． 4． 如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ． 5． 如图，在△ABC中，BD是角平分线，若AB＝6，BC＝9，S△ABC ＝15，则S△DBC ＝_________． A B D C 6． 如图，AOOM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 (      ) A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化 7． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CE⊥AD于点E，求证：AB＋AC＝2AE． A B D C E 8． （23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使．求证：． 9． 如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为(    ) A． B． C． D． 10． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，求证：BG＝CF． A G B E D C F 11． （23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ． 12． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BE＝CD，BD＝CF． （1）求证：△EBD≌△DCF； （2）探究∠A与∠EDF之间满足的数量关系． A B C D E F 13． （23-24七年级下·四川成都·阶段练习）（1）在中，，，直线经过点，于点．于点，当直线旋转到图1的位置时，线段，，的数量关系为______： （2）在（1）的条件下，当直线旋转到图2的位置时，猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想： （3）如图3，在中，于，，于，，于，，求证：．    14． 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形 ． 【理解与应用】（2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是 ． （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 15． （23-24七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 16． （23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 17． （23-24七年级下·四川成都·期末）在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接． (1)如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为，若，，请求的长； (3)如图3，当时，连接，若，，请求的面积． 18． （23-24七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． 19． （23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在和中，，，．过点C作交于点F． 问题探究 (1)如图1，当点B，E，D在同一条线上时，证明： ①； ② (2)如图2，连接并延长至点G，使，连接，，试判断形状，并说明理由． 20． 【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 21． （七年级下·广东深圳·期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 22． （七年级下·四川·期末）如图1，等边的边长为4，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在在侧作等边，连接．    （1）求证：； （2）当点在直线上运动时， ①的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； ②能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 23． 如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，证明下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题3-2 十二个全等三角形常考模型 模块一 题型·解读 模型梳理 2 【题型1】倍长中线模型 18 【题型2】三垂直模型 26 【题型3】一线三等角模型 40 【题型4】平行线夹中点模型 49 【题型5】手拉手模型 53 【题型6】截长补短模型 63 【题型7】角平分线相关模型 74 【题型8】半角模型 85 【题型9】对角互补模型 93 【题型10】婆罗摩笈多模型 99 【题型11】逆等线模型 109 【题型12】脚蹬脚模型 112 课后巩固 117 模块二 基础知识·梳理 模型梳理 模型1 倍长中线 （一）基本模型 A B D C E 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE． 结论1：△ACD≌△EBD． A B D C F E 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF． 结论2：△BDE≌△CDF． 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F， 结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS） （二）结论推导 结论1：△ACD≌△EBD． 证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD． ∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD． 结论2：△BDE≌△CDF． 证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD． ∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF． （三）解题技巧 遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形． 模型2 一线三等角模型 （一）基本模型 A B D P C 1 2 3 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论1：△CAP≌△PBD． 1 2 3 D P C B A 已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 结论2：△APC≌△BDP． （二）结论推导 结论1：△CAP≌△PBD． 证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD． ∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD． 结论2：△APC≌△BDP． 证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3， ∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP． （三）解题技巧 在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查． （四）补充：一线三垂直模型介绍 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等.根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系. 模型3 手拉手模型 （一）基本模型 A D E B C O 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA． 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE． （二）结论推导 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．A D E B C O F 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． 结论2：∠BOC＝∠BAC． 证明：设OB与AC相交于点F． ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC． 结论3：OA平分∠BOE．A D E B C O G H 证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H． ∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE， ∴＝． ∵BD＝CE，∴AG＝AH， ∴OA平分∠BOE． （三）解题技巧 如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． 模型4 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 模型5 平行线夹中点模型 如图，AB//CD，点E是BC的中点． 【模型分析】 如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。 如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS） 口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 模型6 半角模型 （一）基本模型 等边三角形含半角A B C D E F 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°． 结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 正方形含半角A D B E C F 已知：四边形ABCD是正方形，点E， F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°． 结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． （二）结论推导 结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．A B C D E F G 证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG． ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°， ∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG． ∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°， ∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°． ∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF， ∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE． ∴∠DEB＝∠DEF． ∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF． 结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．A D B E C F G 证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG． ∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF． ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°， ∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG， ∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G． ∴∠AFD＝∠AFE． ∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF． （三）解题技巧 对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论． 模型7 对角互补+邻边相等模型 模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。 如图，， 作垂线 旋转 模型8 角平分线相关模型 一、模型介绍 （1）角平分线基本性质 M O B N A P 已知：OP平分∠MON，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B． 结论：PA＝PB，OA＝OB． （2）结论推导 结论：PA＝PB，OA＝OB． 证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP． ∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB． 二、解题技巧 如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形． 1、尺规作角平分线（SSS） 第一步：在纸上画一个角，作为要被平分的角∠AOB。 第二步：以角的顶点O为圆心，任意长度为半径画圆弧，交角的两边OA、OB于C、D两点。 第三步：以C为圆心，大于OC且小于OD（或反之）长度为半径画圆弧。 第四步：以D为圆心，与第三步相同的半径画圆弧。 第五步：两圆弧交于E点，连接顶点O和E，OE即为∠AOB的平分线。 2、角平分线常见模型及辅助线作法 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) （3）角平分线+平行线得等腰三角形 （4）截取构造对称全等(截长补短) （5）角平分线分线段成比例(常用二级结论) 简证： ， ∵ ∴ ∴ （6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 结论：AD平分∠CAD 简证 模型9 婆罗摩笈模型 如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B 【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN． 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过A作AP⊥MN，垂足为P，过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q， 易证：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM ∴AP＝DQ 易证：△APN≌△DQN ∴AN＝DN ②如图，由①知，S＝S ，S＝S，S＝S ∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S ＝S＋S＝S＋S＝S,即S＝S，得证. ③如图，由①得，PN＝QN， ∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证. 【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE． 【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN， 易证：△PAD≌BDA ∴BC＝PD，BE=PA ∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°， 又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB， 易证：△CBE≌△PAB， ∴∠BCM＝∠ABN， ∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90° ∴∠BMC＝90° 模型10 逆等线段模型 一、什么是逆等线段。 两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。 二、解题步骤: 1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形) 2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。 3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。 4.问题转化为将军饮马问题求最值。 【模型解读】 △ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。 一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。 观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。 这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述 如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。 分析思路： ① AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个 也叫做一边一角造全等。 ② 即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等） ③ 构造出,证出EF=CD ④ CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求 此时，B、E、F三点共线. 模型11 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） 模型成立条件：等腰三角形顶角互补 已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点， 则△BFD是等腰直角三角形. A B C E D A B C E D F 【证明】法一：倍长中线 延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）； 所以CG=ED=AD，∠2=∠7； 又∠1+∠2+∠3=360°， ∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和）， ∠4=∠6=90°； 所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3， 所以∠1=∠5； 则△BCG≌△BAD（SAS）， 所以∠DBG=90°，BG=BD； 所以BF=DG=DF，BF⊥DF。 法二：构造手拉手模型 将△ABC沿AB 对称，将△ADE 沿AD对称 连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD 模块三 核心题型·训练 【题型1】倍长中线模型 【例题1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AF＝EF． A B C D F E 证明：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG． A B C D F E G ∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD． ∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB， ∴AC＝BG，∠DAC＝∠G， ∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BED． ∵∠AEF＝∠BED，∴∠DAC＝∠AEF 【例题2】为中边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长到E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到E，使， ∵是边上的中线， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【巩固练习1】如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．    【答案】 【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算． 【详解】    如图：延长至使，连接 在和中： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ 【巩固练习2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，D 是的中点，延长至点E，使得．若 则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、 等腰三角形的性质、中线的定义，解题的关键是合理添加辅助线，正确寻找全等三角形解决问题；延长到F使，根据中线的性质证明，得，，再利用外角与内角关系，证明，即可得到结果． 【详解】解：延长到F使，连接， D 是的中点， ， 在和中 ， ， ，， ，， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ， 【巩固练习3】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围． 经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使．请根据小明的方法思考： （1）请证明 （2）请直接写出的取值范围________________________； 【问题解决】 请利用上述方法（倍长中线）解决问题． （3）如图2，已知，，，P为的中点，若A，C，D共线，求证：平分； 【答案】（1）见解析；（2）1，7；（3）见解析． 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，画出辅助线推理论证是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （3）延长交延长线于点，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，即可证明． 【详解】（1）为边上的中线， ， 在和中     ； （2）∵ ， ， ， 即， ， ， ； （3）如下图，延长交延长线于点   ， ， ，， 为的中点 ， ， ，， 又， ，即， 在和中 ， ∴平分． 【巩固练习4】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________． 这样就能把线段，，集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，使问题解决． 【问题解决】 （2）如图，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）根据点是的中点，延长到点，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到中的两个角相等，然后用等角对等边证明等于． （3）延长交于，证明，则，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是边上的中线(已知)， ∴， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， 即：， ． （3）解：如图3，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 【题型2】三垂直模型 【例题1】如图，C，B，D三点在同一条直线上，∠C＝∠D＝∠ABE＝90°，AC＝BD，求证：△ABC≌△BED． C B D A E 【解析】∵∠C＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°． ∵∠ABE＝90°，∴∠ABC＋∠EBD＝90°． ∴∠A＝∠EBD． 在△ABC和△BED中，∵∠A＝∠EBD，∠C＝∠D，AC＝BD， ∴△ABC≌△BED（AAS）． 【例题2】在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，若BD＞CE，试问： AD与CE的大小关系如何？请说明理由； 线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何？你能说明理由吗？ A C B D l E 【解析】（1）AD＝CE，理由如下： ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°． ∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°． ∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE． 在△ABD和△CAE中，∵∠BDA＝∠AEC，∠ABD＝∠CAE，AB＝AC， ∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE． BD＝DE＋CE，理由如下： ∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE． ∵AE＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE． 【例题3】（2023八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M． 求证：； （3）当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由，得，根据余角的性质可证，根据证明即可； （2）作交的延长线于点F，先证明，得，再证明可证结论成立； （3）分当点D在的延长线上时和当点D在线段上时两种情况求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）如图，作交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵． （3）当点D在的延长线上时，作交的延长线于点G，则， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴的值为； 当点D在线段上时，作于点G， 同理可证：，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【巩固练习1】（2023七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 【巩固练习2】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：AF＝BE． D E B F A C 【解析】∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°． ∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠EBA＝∠FAC． 在△ACF和△BAE中，∵∠AFC＝∠BEA，∠FAC＝∠EBA，AC＝BA， ∴△ACF≌△BAE(AAS)，∴AF＝BE． 【巩固练习3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，过点B作，且，延长至点E，使，连接并延长交边于点F，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，过点D作交的延长线于点G，分别利用证明出和，然后利用线段和差即可得解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过点D作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习4】（1）【问题发现】如图1，与中，，B、、三点在同一直线上，，，则_________. （2）【问题提出】如图2，在中，，过点作，且，求的面积. （3）【问题解决】如图3，四边形中，，面积为12且的长为6，则的面积是_________. （直接写结果） 【答案】（1）7；（2）8；（3）6 【分析】（1）由，得，可证明，即得，，故； （2）过作交延长线于，由，，得，即得，可证明，得，故； 过作于，过作交延长线于，由面积为12且的长为6，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【详解】解：（1）， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：7； （2）过作交延长线于，如图： ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）过作于，过作交延长线于，如图： 面积为12且的长为6， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【巩固练习5】在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题： 已知：如图，在正方形中，，点G是射线上的一个动点，以为边向右作正方形，作于点H． （1）填空：　 　°； （2）若点G在点B的右边． 求证：； 试探索：的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． （3）连接，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求的度数；    【答案】（1）90；（2）①答案见解析；②的值是定值4；（3）45°． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，由平角的定义即可得到结论； （2）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论； （3）下面分两种情况讨论：（I）当点G在点B的左侧时，如图1，根据全等三角形的性质得到，于是得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到；（II） 如图2，当点G在点B的右侧时，根据全等三角形的想知道的，于是得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到；（III）当点G与点B重合时，如图3，根据全等三角形的性质得到，，推出（即）是等腰直角三角形，于是得到即可得到结论． 【详解】解： （1）∵四边形DGEF是正方形， ∴∠DGE=90°， ∴∠AGD+∠EGH=180°-∠DGE=90°， 故答案为：90；   （2）①∵， ∴， ∴， 又， ∴∠GEH∠AGD，             ∵四边形与四边形都是正方形， ∴∠DAG90°，DGGE， ∴∠DAG∠GHE，                  在△DAG和△GHE中， ， ∴； EH﹣BG的值是定值， 理由如下：由①证得：△DAG≌△GHE， ∴AGEH， 又AGABBG，AB4， ∴EHAB+BG，EH﹣BGAB4； （3）下面分两种情况讨论： 当点G在点B的左侧时，如图1，    同（2）①可证得：， ∴GHDAAB，EHAG， ∴GB+BHAG+GB， ∴BHAGEH，又∠GHE90° ∴是等腰直角三角形， ∴∠EBH45°； 如图2，当点G在点B的右侧时，    由（2）①证得：． ∴GHDAAB，EHAG， ∴AB+BGBG+GH， ∴AGBH，又EHAG ∴EHHB，又∠GHE90° ∴是等腰直角三角形， ∴； 当点G与点B重合时， 如图3，同理可证：， ∴GHDAAB，EHAGAB， ∴（即）是等腰直角三角形， ∴    综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，都等于45°． 【巩固练习5】（23-24七年级下·广东深圳·期中）【特例感知】 （1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边在直线l的两侧，过A作于点D，过B作于点E，求证：． 【应用拓展】 （2）当等腰直角的边落在直线l上，，为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转的得到线段，连接与射线交于点F． ①如图2，求证：； ②当时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形性质，正确作出辅助线直角三角形是解答本题的关键 （1）根据垂线性质得到，进而得到，利用证明，即可得出结论； （2）①过点E作交的延长线于点N，利用证明得到，进一步证明即可得出结论；②分两种情况利用，以及即可求出结果． 【详解】（1）证明：如图， 于点D，于点E， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2）①如图，过点E作交的延长线于点N， 则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； ②如图2所示，， 由①可知， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， ； 如下图，作与点N， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 设，则，， ，， ， ， 综上所述：． 【题型3】一线三等角模型 【例题1】（2023七年级下·广东深圳·期末）.如图，在等腰中，AB=AC=11，BC=8，∠A=40°，等腰中，DE=DF=5，∠EDF=70°，则周长为 ．    【答案】13 【分析】根据条件可推出，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：13 【例题2】如图1，AB＝AC，∠1＝∠2≠90°，∠1＋∠BAC＝180°，点A，E，F在一条直线上，△ABE与△CAF全等吗？请说明理由． B A C E F 1 2 【解析】△ABE≌△CAF，理由如下： ∵点A，E，F在一条直线上，∴∠1＋∠BEF＝180°． ∵∠1＋∠BAC＝180°，∴∠BEF＝∠BAC． ∵∠BEF＝∠BAF＋∠B，∠BAC＝∠BAF＋∠FAC， ∴∠B＝∠FAC． 在△ABE和△CAF中，∵∠FAC＝∠B，∠1＝∠2，BA＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． 【例题3】（七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，点在边上运动（不与重合），连结作，交边于点．    当等于多少时，，请说明理由： 在点的运动过程中，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知，再根据全等三角形的判定即可解答； 根据等腰三角形的性质分①当时②当时两种情况再等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴（） 解：①如图，当时， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴；    ②当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或；    【例题4】已知，在中，，三点都在直线m上，且．    （1）如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； （2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系； （3）如图③，若只保持，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得； （2）由（1）同理可得，得，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， 由（1）同理可得， ∴， ∴； （3）存在，当时， ∴， ∴，此时； 当时， ∴ ∴，， 综上：或． 【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，若BE＝6，DE＝4，则△ACE的面积为_________． A B C D E 【答案】2 【解析】∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠D＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC＋∠ECB＝90°． ∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠ECB＝90° ∴∠DCA＝∠EBC． ∵AC＝BC，∴△CDA≌△BEC， ∴AD＝CE，CD＝BE＝6． ∵DE＝4，∴AD＝CE＝2， ∴S△ACE ＝CE·AD＝×2×2＝2． 【巩固练习2】（七年级下·广东深圳·期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先根据同角的余角相等得出，再根据AAS证明即可； （2）先根据已知条件证明，，再根据AAS证明即可； （3）根据得出，再根据与的面积之和是6，的面积是15，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：对图标注如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：对图中的角进行标注， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之和是6，的面积是15， ∴，， ∵与等高，， ∴底边之比3：5， ∴． 【巩固练习3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在边长为2的等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． (1)当时，连接， ______． 求证： (2)连接，的周长是否有最小值，若有请求出此时的度数；若没有请说明理由． 【答案】(1)①，②证明过程 (2) 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，求得，再利用求解即可； ②根据等边三角形的性质可得，，，再利用等量代换可得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）连接，由②同理可证，可得，作点D关于的对称点G，连接、，则，当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，的周长最小，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵、是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； ∵是边上的中线， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、，则， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，的周长最小， 由轴对称的性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【巩固练习4】（23-24七年级下·广东深圳·期末）（1）如图1，的三条边相等，三个内角也相等，点D、E、F分别在边上，且．请写出图中一对全等三角形　 　，其全等的理由是　 　； （2）如图2，中，，点D、E、F分别在边上，且，请判断的形状，并说明理由； （3）如图3，中，，点D在的延长线上，点E在边上，且．延长至点M，使得，过点M作的平行线，与边交于点F．若，请你求出线段的长度． 【答案】（1）（答案不唯一），；（2）等腰三角形，理由见解析；（3）14 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，找条件证明全等三角形是解题的关键． （1）由题意得：及，即可证明； （2）证明，则，即可证明结论； （3）证明，则，则． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一），； （2）为等腰三角形， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）可知：时，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴. 【题型4】平行线夹中点模型 【例题1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，AE⊥BE，求证：AB＝AD＋BC． A D B C E 证明：延长AE交BC的延长线于点F． A D B C F E ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF． ∵点E是CD的中点，∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，AE＝EF． ∵AE⊥BE，∴AB＝BF＝BC＋CF＝AD＋BC． 【例题2】（深圳市宝安区七年级下期末）如图，中，，点为延长线上一点，于点，点为延长线上一点，连接交的延长线于点，点是的中点，若，，则 ．    【答案】12 【分析】过D作，交延长线于N，证明，得到，由此求出，再根据，，证得，得到，利用等腰三角形的三线合一求出，即可求出． 【详解】过D作，交延长线于N， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 故答案为：12．    【巩固练习1】如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________． A B D C E 【答案】3 【解析】延长BE交CD于点F． A B F D C E ∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE． ∵点E为AD的中点，∴AE＝DE， ∴△ABE≌△DFE，∴BE＝EF，DF＝AB＝2． ∵CD＝8，∴CD＝6． ∵BC＝6，∠BCD＝60°，∴△BCF是等边三角形， ∴BF＝BC＝6，∴BE＝3． 【巩固练习2】如图1，点是直线上一点，点是直线上一点，且MN//PQ．和的平分线交于点． （1）求证：； (2)过点作直线交于点（不与点重合），交于点E, ①若点在点的右侧，如图2，求证：； ②若点在点的左侧，则线段、、有何数量关系？直接写出结论，不说理由．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC⊥AC; ①延长AC交PQ点F，先证明AC=FC,再证明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB; 方法与①相同． 【详解】解：（1）∵MN∥PQ ∴∠NAB+∠ABQ=180° ∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ ∴ ∴∠BAC+∠ABC==90° 在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180° ∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90° ∴BC⊥AC; （2）①延长AC交PQ于点F ∵BC⊥AC ∴∠ACB=∠FCB=90° ∵BC平分∠ABF ∴∠ABC=∠FBC ∴BC=BC ∴△ABC≌△FBC ∴AC=CF，AB=BF ∵MN∥BQ ∴∠DAC=∠EFC ∵∠ACD=∠FCE ∴△ACD≌△FCE ∴AD=EF ∴AB=BF=BE+EF=BE+AD 即：AB=AD+BE           ②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE 如图3，延长AC交PQ点F, ∵MN//PQ ． ∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC ∵AC平分∠NAB ∴∠BAF=∠FAN ∴∠BAF=∠AFB ∴AB=FB ∵BC⊥AC ∴C是AF的中点 ∴AC=FC 在△ACD与△FCE中 ∴ ∴AD=EF ∵AB=FB=BE-EF ∴AD+AB=BE 【题型5】手拉手模型 【例题1】如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，BD、CE交于点F，求证：∠BFC＝∠BAC． A B C D E F G 【解析】AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，BD、CE交于点F，求证：∠BFC＝∠BAC． 设AC、BD交于G 证△ABD≌△ACE（SAS） 可得∠ABD＝∠ACE，又∠AGB＝∠DGC ∴∠ABD＋∠AGB＝∠ACE＋∠DGC ∴180°－(∠ABD＋∠AGB )＝180°－(∠ACE＋∠DGC ) ∴∠BFC＝∠BAC 【例题2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角三角形，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点B作交延长线于E，连接，证明得到，则，再利用面积公式可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是以B为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【例题3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】 在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知，，，老师将和按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究． 【初步探究】 （1）志远小组在老师基础上进行探究，他们保持不动，将按如图2位置摆放，发现仍然成立，请你帮他们完成证明； 【深入探究】 （2）勤学小组剪了两个大小不同的等腰和等腰，，，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当和的大小满足怎样的关系时，背景中的结论仍成立？请说明理由； 【拓展应用】 （3）创新小组保持老师提供的不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放，，，若与关于沿着过点D的某条直线对称，与交于点F，当点在的斜边上时，连接，请证明为等腰三角形． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析（3）见解析 【分析】本题考查全等三角形的综合问题，掌握证明全等是解题的关键． （1）由得，再用证明，继而得证； （2）根据第（1）问的证明过程可知，只需保证即可，从而得解； （3）证明，得到，再分别求出，继而得到它们相等，从而得到为等腰三角形． 【详解】解：（1） 证明： ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴； （2）当时，仍成立． 理由： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）如图，在等腰直角三角形和中，，，， ∵与关于沿着过点D的某条直线对称， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【巩固练习1】两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，如图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接． （1）求证：； （2）指出线段和线段的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用证明即可； （2）先由等腰直角三角形的性质得到，再由全等三角形的性质得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习2】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，D为边上一动点（点D不与B，C重合），过B作于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)试探究的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，，由得到，再证明，又由，即可证明； （2）过点C作交于点G，证明，则，得到是等腰直角三角形，则，再利用外角的性质和等量代换即可得到； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵过B作于点E，交的延长线于点F， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴； （2）过点C作交于点G， ∴， ∴， ∵，即，， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 【巩固练习3】【发现】如图①，，，，求证：； 【拓展】如图②，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连结，则______°，若，，则______． 【应用】如图③，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连结，则______°，若，，则______． 【答案】（发现）见详解；（拓展）120，8；（应用）90，8； 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形全等的判定定理是解题的关键． （发现）证明，根据全等三角形的性质得到； （拓展）根据等边三角形的性质得到，仿照（发现）的证明方法解答； （应用）根据等腰直角三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（发现）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ； （拓展）解：∵和均为等边三角形， ， ， 由（发现）可知：， ， ， 故答案为：120，8； （应用）解：∵和均为等腰直角三角形，， ， ， 由（发现）可知：， ， ， ， 在等腰直角中，， 则， ， 故答案为：90，8． 【巩固练习4】（23-24七年级下·广东深圳·期中）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，在和中，，，，连接，，当点落在边上，且，，三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度数为____________． (2)如图2，已知，分别以、为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，连接、，线段和交于点． ①证明：且； ②若与在同一直线上，如图3，延长与交于点，连接并延长，的延长线与边交于点，且，若和的面积之和为20，的面积为6，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②4 【分析】（1）利用证明，得出，结合三角形外角的性质即可得出，即可求解； （2）①利用证明，得出，，然后利用三角形外角的性质即可得出； ②利用①中，得出，则可求，利用等角对等边得出，可得出，由的面积可求，由和的面积之和为20，可求，利用完全平方公式变形求出，，求出、，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1中， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：①和均为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ； ②和的面积之和为20，和均为等腰直角三角形， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为6，， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ． 【题型6】截长补短模型 【例题1】如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    （1）求的度数；(2)求证：． 【答案】(1) 见解析 【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论； （2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【例题2】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，且的顶点E在边上移动，在移动过程中，边，分别与，交于点M，N， (1)当且M与A重合时，求证： (2)当E为中点时，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质， （1）根据等腰直角三角形的性质可得，利用三角形外角的性质与等量代换可得，在根据全等三角形的判定即可证明； （2）连接，在上截取，根据等腰直角三角形的性质可得，，证得，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：连接，在上截取， ∵，，E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【巩固练习1】（七年级下·广东深圳·期末）（1）如图1，在中，D是边上一点，且，若，则______． （2）如图2，在中，D是边上一点，，点E在线段上且，求证：． （3）如图3，在中，D是延长线上一点，，点E在射线上且，请画出E点的位置，此时和满足怎样的数量关系，请说明理由    【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，等量代换得，从而； （2）在上取点F，使得，连结，根据证明即可； （3）在射线上取点F，使得，连结，根据证明即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）证明：在上取点F，使得，连结 ∵， ∴， ∵， ∴   又∵ ∴ ∴    （3）解：点E的位置如图所示． ，理由如下： 在射线上取点F，使得，连结 ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴    【巩固练习2】数学活动课上，学生在探索三角形全等条件时，小明提出：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等． 【验证】同学们通过讨论，利用作图的方法对这种说法进行了判断： 如图①，已知：线段，，，且.若，则在图中可以作出两个符合条件的点，记作，，由此说明小明的说法是错误的． （1）请利用直尺和圆规在图①中画出点，，并连接，（不写作法）； 【发现】（2）小红发现，是______三角形（按照三角形的分类直接填空）； 【应用】为了让学生更好的理解小红的发现，老师设置了这样一个问题： 已知：如图②，在中，，，过点作直线，点为射线上任意一点（不与点重合），连接，过点作交直线于点；求证：（提示：可作辅助线在中构造出与全等的三角形）． （3）写出证明过程： 【拓展】如图③，在中，，，，，过点作交的平分线于点． （4）请直接写出线段的长． 【答案】（1）见详解（2）等腰（3）见详解（4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意进行作图即可； （2）结合等腰三角形的判定进行作答即可． （3）先过点D作，交于一点即为点，结合平行线的性质得，证明，即可作答． （4）在上截取，记交于点F，运用三角形内角和性质得，再证明是等边三角形，然后证明，进行边的运算，即可作答． 【详解】解：（1）如图：以点A为圆心，以的长度为半径画弧交过点B的直线于两个点，即为 ，连接， （2）依题意，∵ ∴小红发现，是等腰三角形 （3）如图：过点D作，交于一点即为点 ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 过点作直线 ∴ ∴在中， ∴， ∵， ∴ ∴ （4）如图所示：在上截取，记交于点F ∵，过点作交的平分线于点． ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【巩固练习3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结． (1)如图1，射线，都在内部． ①若，，则_______； ②作点关于直线的对称点，证明． (2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其它条件不变，探究线段，，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出的度数，再求出、的度数，即可得解；②连接，证明，即可得出； （2）在延长线上取点，使，连接，证明，得出，推出，结合即可得出答案； （3）在延长线上取点，使得，连接，证明，得出，推出，由三角形面积求出，结合，，得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图，连接， ∵作点关于直线的对称点，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，在延长线上取点，使，连接， ∵，， ∴，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，在延长线上取点，使得，连接， ∵，， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【巩固练习4】（23-24七年级下·四川成都·期末）在中，点D在线段上，，点E在线段上，平分．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，，，求线段的值； (3)如图3，过点E作的平行线交于F，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据三角形的外角的性质可解答; （2）如图2，在上取点G，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，,, 设，根据等角对等边和全等三角形的性质可得. （3）根据证明,由全等三角形的性质得出，再由线段的和差关系以及等量代换可得出答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴. （2）解：如图2，在上取点G，使，连接，    ∵平分， ∴， 又∵， ∴, ∴,, ∵, ∴, 设， ∵平分, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴. （3）解：，理由如下: ∵, ∴, ∵, ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴, ∵, ∴. 【题型7】角平分线相关模型 【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为________ A D B C 【答案】B 【解析】过点D作DE⊥BC于点E． A D B C E ∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DA＝3， ∴△BCD的面积为×5×3＝7.5． 【例题2】（七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为 ．    【答案】4 【分析】延长与的延长线相交于点，利用证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长与的延长线相交于点，    ，， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 【例题3】（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或 【例题4】如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N． 求证：PM＝PN； 如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝5，AC＝3，求的值； 如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，若AB＝5，AC＝3，求BC与CD的数量关系． A P B C D M N A D B C F E A B C D 图1 图2 图3 【解析】（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠PAM＝∠PAN． ∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴∠AMP＝∠ANP＝90°． ∵AP＝AP，∴△APM≌△APN，∴PM＝PN． （2）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF． ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°． ∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE＝DF， ∴＝＝＝＝． 过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H． A B C D G H ∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠DAG＝∠DAH． ∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴∠G＝∠H＝90°． ∵AD＝AD，∴△ADG≌△ADH，∴DG＝DH， ∴＝＝＝，∴＝＝． 【巩固练习1】（七年级下·四川成都·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作于点F，根据角平分线的尺规作图方法可知：平分，再根据角平分线的性质，可得，再根据，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点F，      由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． 【巩固练习2】（七年级下·广东深圳·期末）如图，分别是三边上的点，平分，，若的面积为5，则的面积为 ；    【答案】5 【分析】过点分别作， ，垂足分别为，然后根据角平分线的性质可得，再根据三角形面积公式，即可得出. 【详解】解：过点分别作， ，垂足分别为，如下图：    ∵平分， ∴， ∵， 又∵， ∴. 【巩固练习3】（2023七年级下·四川成都·期末）如图，中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F,平分，，求的值．    【答案】3 【分析】如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到； 【详解】解：如图，分别延长，交于点．    ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ∴． ∴； ∵， ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ∴． ∴ 【巩固练习4】（七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则 ．      【答案】6 【分析】方法一：在上截取，使得，证明，可得，，再证明，得，进而可求出的长； 方法二：延长、交于点G，证明得，，再证明得，进而可求出的长． 【详解】方法一：在上截取，使得      ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∵E是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 方法二：延长、交于点G      ∵平分且 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 【巩固练习5】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CF； （2）若AB＝8，CF＝2，求AC的长． A B C E D F G 证明：（1）在AB上截取AH＝AC，连接BD，HD，CD． A B C E D F G H ∵AH＝AC，∠DAH＝∠DAC，AD＝AD， ∴△ADH≌△ADC，∴HD＝CD，∠AHD＝∠ACD，∴∠DHE＝∠DCF． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF． ∵∠DEH＝∠DFC＝90°，∴△DEH≌△DFC，∴HE＝CF． ∵DG垂直平分BC，∴BD＝CD，∴HD＝BD． ∵DE⊥AB，∴BE＝HE，∴BE＝CF． （2）∵BE＝CF＝2，∴HE＝2，BH＝4， ∴AC＝AH＝AB－BH＝AB＝8－4＝4． 【巩固练习6】（七年级下·广东深圳·期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．    如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； 如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； 如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 【答案】(1)；理由见详解 (2)证明见详解 证明见详解 【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，，，两式相加即可得出结论； 根据证即可得出结论； 在上取一点，使，连接交于点，证，即，同理证，然后同理（1）得，变形不等式即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， 即； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ； （3）证明：在上取一点，使，连接交于点，    是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ，， ， 即， ， ． 【题型8】半角模型 【例题1】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D为△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长为_________． A E F B C D 考点分析：等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 思路点拨：由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝2AB＝2． 【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝2AB＝2． 【例题2】已知如图1，四边形是正方形，分别在边、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．    在图l中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程； 如图2，当绕点旋转到图2位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为5． 【分析】（1）利用旋转的性质和正方形的性质，证明即可求证； 在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°，即∠GAB+∠BAE=45°， ∴∠GAE=∠EAF， ∴在△GAE和△FAE中， ∴， ∴， ∴， ∴； 解：在上取一点，使， ，   ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠ADG=∠ABE=90°， 又∵DG=BE， ∴， ∴，， ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°， ∴∠GAD+∠BAF=45°， ∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF， ∴， ∴， 即 【巩固练习1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周长为2，则正方形ABCD的边长为_________． A D B E C F 【答案】 1 【解析】由半角模型可知EF＝BE＋DF，则△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的边长为1． 思路点拨：由半角模型可知EF＝BE＋DF，则△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的边长为1． 【巩固练习2】【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 试判断之间的数量关系，并写出证明过程． 如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)．证明见解析 ．证明见解析 【分析】（1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论； （2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论． 【详解】（1）解：．证明如下： 由旋转，可知： ∴点共线 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：．证明如下：    在上取．连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 【巩固练习3】阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里 【题型9】对角互补模型 【例题1】已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°． 【答案】见详解． 【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可． 【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N， ∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°， ∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°， 在Rt△MCD和Rt△NCE中， ， ∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL）， ∴∠MCD=∠NCE， ∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°． 【例题2】如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 【解答】如图，结论：EF＝EB+FC， 理由如下：延长AB到M，使BM＝CF， ∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°， ∴∠MBD＝∠C， 在△BDM和△CDF中， ， ∴△BDM≌△CDF（SAS）， ∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF， ∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF， 在△DEM和△DEF中， ， ∴△DEM≌△DEF（SAS）， ∴EF＝EM， ∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF 【巩固练习1】如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）. 【解答】如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG， 可得△CBG≌△CDF， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， 若BE+DF＝EF， 则EG＝EF， ∴△ECF≌△ECG（SSS）， ∴∠ECG＝∠ECF， ∴∠BCD＝2∠ECF＝2α 【巩固练习2】已知，平分． （1）在图1中，若，求证：； （2）在图2中，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【解答】解：（1）在中，，中， ，， ． （2）（1）中的结论成立， 理由如下：如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ， ，， ， 在和中， ， 为等边三角形， ， ， ． 【巩固练习3】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） 如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，． 【分析】()延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论； ()延长至，使，连接 ，仿照()的证明方法解答； 在上截取，连接，仿照()的证明方法解答． 【详解】解：（）， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）（）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （）（）中的结论不成立，， 理由如下：如图，在上截取，连接，    同（）中证法可得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型10】婆罗摩笈多模型 【例题1】如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论是(   　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案． 【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC， 即∠CAE＝∠BAG， ∴△ABG≌△AEC（SAS）， ∴BG＝CE，故①正确； 设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1， ∵△ABG≌△AEC， ∴∠ACE＝∠AGB， ∵∠AKG＝∠NKC， ∴∠CNG＝∠CAG＝90°， ∴BG⊥CE，故②正确； 过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2， ∵AH⊥BC， ∴∠ABH+∠BAH＝90°， ∵∠BAE＝90°， ∴∠EAP+∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确； ∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE， ∴△ABH≌△EAP（AAS）， ∴EP＝AH， 同理可得GQ＝AH， ∴EP＝GQ， ∵在△EPM和△GQM中， ， ∴△EPM≌△GQM（AAS）， ∴EM＝GM， ∴AM是△AEG的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 【例题2】（23-24七年级下·四川成都·期末）和均为等腰直角三角形，． (1)如图1，连接，，与交于点，请问，有怎样的数量和位置关系？为什么？ (2)如图2，连接，是中点，连接并延长交于点．与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)且，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）设与交于点，根据等腰直角三角形性质得，，，由此可依据“”判定和全等，则，，再由，得，则由此得，据此可得，的数量和位置关系； （2）过点作，交延长线于点，先证明和全等得，再证明，进而可依据“”判定和全等，则，然后根据得，则，进而得，据此可得与的位置关系． 【详解】（1）解：且， 理由如下： 设与交于点，如图1所示： 和为等腰直角三角形，且， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即； （2）解：， 理由如下： 过点作，交延长线于点，如图2所示： ，，， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 和为等腰直角三角形，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【巩固练习1】综合与实践 以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.    （1）如图①，若，证明：； （2）如图②，，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由； 【详解】（1）∵，， ∴ ∵以的两边、为边，向外作正方形和正方形， ∴，， ∴， ∴； （2）过点E作交的延长线于P，过点G作 于Q，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 同理可得， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 即（1）中的结论成立 【巩固练习2】（23-24七年级下·山东泰安·期末）【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是利用倍长中线模型构造全等三角形证明线段关系． （1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， 根据一线三垂直模型证明，可得，，进而证明，即可得到，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接，可得，可得，，再证明，进而证明，从而可得，由，可得，即可证明结论； （3）由可得，，再结合，可得，由此得出结论． 【详解】（1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：； ∴， 又∵，， ∴， ∴，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）由（2）得：， ∴， ， ∵， ∴，， ∴，． 【巩固练习3】（1）【模型呈现】如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l、直线l，垂足分别为点D，E．试说明： （2）【模型应用】如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有．试说明：． （3）【拓展延伸】如图3，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I．试说明：I为的中点． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由可得，推出，结合，，即可证明； （2）设，由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】（1）如图1， 证明：直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）如图， 证明如下： 设， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 证明：过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 【题型11】逆等线模型 【例题1】如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时， 度．    【答案】 【分析】如图中，作，使得，连接，，证明，推出，由，可知，，共线时，的值最小，求出此时即可解决问题． 【详解】解：如图中，作，使得，连接，．     是等边三角形，，， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 如图中，当，，共线时，   ， ， ， ， ， 当的值最小时， 【巩固练习1】如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且．当的值最小时，∠MAC的值为 ． 【答案】22.5° 【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解． 【详解】如图，过点作，且，连接，如图1所示， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值， 此时如图2所示， 在等腰直角三角形中，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， 【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，当DM＋DN取到最小值时，∠DNC的度数___． A B C D N E M 【答案】 提示：连接AN A B C D N E M A′ 由题意，AD＝AE，∠DAM＝∠AEN＝30°，AM＝EN ∴△ADM≌△EAN，∴DM＝AN 延长AB至点A'，使A'B＝AB，连接A'N、A'D 则AN＝A'N，∴DM＋DN＝AN＋DN＝A'N＋DN≥A'D 当A'、N、D三点共线时DM＋DN的值最小 此时A'N＝DN，∴AN＝ A'D＝DN ∴点N在线段AD的垂直平分线上，故 【题型12】脚蹬脚模型 【例题1】（七年级下·广东深圳·期末）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现：在等腰中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中于点F，于点G，M是的中点，连接和，则下列结论正确的是（填序号即可） ①；②；③；④整个图形是轴对称图形． （2）数学思考：在任意中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是的中点，连接和，则与具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； （3）类比探究：在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是的中点，连接和，试判断形状，并说明理由．    【答案】操作发现：①②③④；数学思考：，，见解析；类比探究：等腰直角三角形，见解析 【分析】操作发现：运用等腰直角三角形的性质，等腰三角形性质即可求解； 数学思考：如图2－1，延长至N，使，连接，，，可证，得，，进一步求证，于是（），得，，，是等腰直角三角形，得，； 类比研究：延长至N，使，连接，，则，，，求证，得，可证得，于是为等腰直角三角形． 【详解】解：操作发现： ∵是等腰直角三角形， ∴, 同理， ∵ ∴，     ∴， ∵ ∴ ∴ ∵,， ∴, 又∵ ∴ ∴； 如图，整个图形是以直线为对称轴的轴对称图形； 故①②③④正确． 数学思考：，，理由如下： 如图2－1，延长至N，使，连接，，，    ∵，， ∴， ∴，， ∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∵ ， ， ∴， ∴（）， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，； 类比研究：为等腰直角三角形，理由如下： 如图3－1，延长至N，使，连接，，    则，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形 【巩固练习1】如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°． A B C E D 【解析】证明：过点B作BF⊥AE交EA的延长线于点F． A B C E D F 则∠F＝∠AEC＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAE＝90°， ∴∠ABF＝∠CAE． ∵AB＝AC，∴△ABF≌△CAE， ∴AF＝CE，BF＝AE， ∵DE＝CE，∴AF＝DE，∴DF＝AE， ∴BF＝DF，∴∠BDF＝45°． ∵∠DEC＝90°，DE＝CE，∴∠CDE＝45°， ∴∠BDC＝90°． 【巩固练习2】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，点F为BD的中点，连接CE，CF，EF，求证：△CEF是等腰直角三角形． A B C F E D 【解析】证明：延长EF到点G，使FG＝EF，连接BG，CG，CE，设直线BC与DE相交于点H． A B C F E D G H 则△BFG≌△DFE，∴BG＝DE＝AE，∠GBF＝∠EDF， ∴∠GBC＝∠GBF＋∠FBC＝∠EDF＋∠FBC＝180°－∠H＝∠EAC． ∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCG， ∴CE＝CG，∠ACE＝∠BCG， ∴∠ECG＝∠ACB＝90°， ∴△CEG是等腰直角三角形． ∵EF＝FG，∴CF＝EF且CF⊥EF， ∴△CEF是等腰直角三角形． 【巩固练习3】如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，点D在AB边上，连接EC，取EC中点F，求证： （1）AF＝DF； （2）AF⊥DF． 证明：（1）连接BF，延长DF交AC于点G， ∵∠EBD＝∠ABC＝45°， ∴∠EBC＝90°， 在RT△EBC中，F为斜边中点， ∴BF＝EF， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠DFE＝∠DFB， ∵∠EFB＝∠FBC+∠FCB， ∴∠DFE+∠DFB＝∠FBC+∠FCB， ∴2∠DFB＝2∠FBC， 则∠DFB＝∠FBC， ∴DG∥BC， ∵△BAC为等腰直角三角形，且DG∥BC，AB＝AC， ∴AD＝AG，BD＝CG， ∵BD＝DE， ∴DE＝CG， ∵∠BDE＝∠CAB＝90°， ∴DE∥AC， ∴∠DEF＝∠GCF， 在△DEF和△GCF中， ∴△DEF≌△GCF（SAS）， ∴DF＝FG， ∵△DAG为等腰直角三角形， ∴AF⊥DG； （2）∵F为DG中点， ∴在RT△DAG中，AF＝DF． 课后巩固 1． 如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：延长，作，，， 设， 平分， ，， 平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故选：． 2． 如图，D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，若BE＝1，△AEF的周长为4，则AE的长为_________． A E F B C D 【答案】1 【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝2AB＝4，∴AB＝2．∵BE＝1，∴AE＝1． 3． 如图，在中，是的平分线，，，则　　． 【解答】解：作于，于， 是的平分线， ． 故答案为：． 4． 如图，在中，，，是的平分线，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，延长交点于，可证，得到，，进而得到，由三角形全等推导出，并判断出当时，最大，是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交点于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴ 5． 如图，在△ABC中，BD是角平分线，若AB＝6，BC＝9，S△ABC ＝15，则S△DBC ＝_________． A B D C 【答案】9 【解析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． E A B D C F ∵BD是角平分线，∴DE＝DF． 设DE＝DF＝x，∵S△ABC ＝S△ABD ＋ S△DBC ＝15， ∴AB·DE＋BC·DF＝15， ∴×6x＋×9x＝15，解得x＝2， ∴S△DBC ＝BC·DF＝×9×2＝9． 6． 如图，AOOM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 (      ) A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化 【答案】B 【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题． 【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N， ∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°， ∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°， ∴∠BAO=∠NBE， ∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形， ∴AB=BE，BF=BO； 在△ABO与△BEN中， ∴△ABO≌△BEN（AAS）， ∴BO=NE，BN=AO； ∵BO=BF， ∴BF=NE， 在△BPF与△NPE中， ∴△BPF≌△NPE（AAS）， ∴BP=NP=BN；而BN=AO， ∴BP=AO=×8=4， 7． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CE⊥AD于点E，求证：AB＋AC＝2AE． A B D C E 思路点拨：倍长AE到点F，连接CF，可得AC＝CF，则AF＝2AE，∠F＝∠DAC＝∠BAD．由AD＝AB，可得∠B＝∠ADB＝∠CDF，则∠DCF＝∠B＝∠CDF，则DF＝CF＝AC，故AB＋AC＝AD＋DF＝DF＝AF＝2AE． 证明：延长AE到点F，使EF＝AE，连接CF． A B D C E F ∵CE⊥AE，∴CE是AF的垂直平分线，∴AC＝CF，∴∠F＝∠DAC． ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠F＝∠BAD． ∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB＝∠CDF，∴∠DCF＝∠B＝∠CDF， ∴DF＝CF＝AC，∴AB＋AC＝AD＋DF＝DF＝AF＝2AE． 8． （23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，理解题意，作出辅助线是解题关键． 延长至H，使得，连接，根据全等三角形的判定得出，再由其性质确定，根据等量代换及等角对等边即可证明． 【详解】证明：如图，延长至H，使得，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴． 9． 如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，由直角三角形两锐角互余，可得，由，由直角三角形两锐角互余，可得，根据同角的余角相等，可得，然后根据判断，根据全等三角形的对应边相等即可得到，由是的中点，得到，即可求解． 【详解】解：，可得， 在和中， ∵E是的中点， ，故C正确． 10． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，求证：BG＝CF． A G B E D C F 证明：延长GE到点H，使EH＝EG，连接CH． A G B E D C F H ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE． ∵∠BEG＝∠CEH，∴△BEG≌△CEH， ∴BG＝CH，∠G＝∠H． ∵EF∥AD，∴∠G＝∠BAD，∠CFE＝∠DAC． ∵AD平分∠BAC，∠BAD＝∠DAC， ∴∠H＝∠CFE，∴CF＝CH，∴BG＝CF． 11． （23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取，连结，先证明，进一步推得，再证明，求出的长，即可利用三角形面积公式求的答案． 【详解】解：如图，在上截取，连结， ，是高， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：16． 12． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BE＝CD，BD＝CF． （1）求证：△EBD≌△DCF； （2）探究∠A与∠EDF之间满足的数量关系． A B C D E F 【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． 在△EBD和△DCF中，∵BE＝CD，∠B＝∠C，BD＝CF， ∴△EBD≌△DCF（SAS）． （2）∵△EBD≌△DCF，∴∠BED＝∠CDF． ∵∠B＋∠BED＋∠BDE＝180°，∠EDF＋∠CDF＋∠BDE＝180°， ∴∠B＝∠EDF． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠B＝180°． ∴∠A＋2∠EDF＝180°． 13． （23-24七年级下·四川成都·阶段练习）（1）在中，，，直线经过点，于点．于点，当直线旋转到图1的位置时，线段，，的数量关系为______： （2）在（1）的条件下，当直线旋转到图2的位置时，猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想： （3）如图3，在中，于，，于，，于，，求证：．    【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出，证明，得出，，即可得出结论； （2）证明，得出，，即可得出结论； （3）连接、，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，得出，，推出为等腰直角三角形，得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）线段，，的数量关系∶． 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）证明：如图，连接、，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 14． 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形 ． 【理解与应用】（2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是 ． （3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，根据中线得到，结合，即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质及三边关系，延长至点Q，使，连接，证明结合三边关系求解即可得到答案； （3）本题考查三角形全等的判定与性质，延长到M，使，连接，先证，再证即可得到答案； 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）：如图2，延长至点Q，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴x的取值范围是； （3）证明：如图3，延长到M，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 15． （23-24七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求  的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”    【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，  教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接，      ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 16． （23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴ 即， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴， （2）如图，过A作交延长线于G， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴． 17． （23-24七年级下·四川成都·期末）在中，，，点E、分别是，上的动点（不与，C重合），点是的中点，连接． (1)如图1，当时，请问与全等吗？如果全等请证明，如果不是请说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为，若，，请求的长； (3)如图3，当时，连接，若，，请求的面积． 【答案】(1)全等；见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，作适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键. （1）先证明： 从而可得结论； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； （3）过作，交于，证明，设，则，，再求解，从而可得答案. 【详解】（1）证明：全等，理由如下： ∵在中，， 点是的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过作，交于，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴， 即， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ∴． 18． （23-24七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（1）证，得，，利用线段的和差即可得解； （2）证明，得，，从而即可得解； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证； ②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 19． （23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在和中，，，．过点C作交于点F． 问题探究 (1)如图1，当点B，E，D在同一条线上时，证明： ①； ② (2)如图2，连接并延长至点G，使，连接，，试判断形状，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理． （1）①根据题意证明出，可证成立； ②由得到，进而求解即可； （2）延长交的延长线于点N，首先由得到，，然后证明出，得到，，进而根据等腰直角三角形的判定求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）为等腰直角三角形 理由如下：延长交的延长线于点N 由（1）知：， ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 20． 【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①90度；②2；（3）6 【分析】（1）先证明，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）①同（1）证明即可；②过点A作，垂足为M，先证明，再根据等腰直角三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）连接，同（1）得，，可得，再证明，，由平行线间距离处处相等得出，再根据，得出，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵，， ∴； （2）①∵， ∴， 即， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作，垂足为M，    ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）连接，    同（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴同底等高，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 21． （七年级下·广东深圳·期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先根据同角的余角相等得出，再根据AAS证明即可； （2）先根据已知条件证明，，再根据AAS证明即可； （3）根据得出，再根据与的面积之和是6，的面积是15，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：对图标注如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：对图中的角进行标注， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之和是6，的面积是15， ∴，， ∵与等高，， ∴底边之比3：5， ∴． 22． （七年级下·四川·期末）如图1，等边的边长为4，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在在侧作等边，连接．    （1）求证：； （2）当点在直线上运动时， ①的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； ②能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①的周长存在最小值，此时的长为2；②或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，即可得证； （2）①，得到，进而得到的周长，根据垂线段最短，得到时，最短，利用三线合一进行求解即可；②分点在的延长线上和在的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴，    ∴ ∵等边， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知， ∴， ∴的周长， 由垂线段最短可知，当时，最短， 故的周长最小， 当时，在等边中，由三线合一可得：点为的中点， ∴此时的长为， ∴的周长存在最小值，此时的长为2； ②分以下情况讨论： 当点在的延长线上时， 由（1）知，， ∴只能， ∴ 由题意知， ∴， ∴ 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在的延长线上时， ∵， ∴只能， ∴ 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，    综上所述：或． 23． 如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，证明下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． 【详解】①图1中S△ABC＝S△ADE； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，∠G=∠DAF， ∴S△GEF=S△ADF， ∴S△EAD=S△GEA， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，GF=AF= ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴∠EAG=∠ABC，AC=AG， ∵AM是边BC上的中线， ∴BM=CM=， 在△EAF和△ABM中， ， ∴△EAF≌△ABM（SAS）， ∴EF=AM， ∵点F为DE中点， ∴DE=2EF=2AM， 如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． 证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O， ∵∠BAE=90°，∠DAC=90°， ∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90° ∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD， ∵EP⊥MN， ∴∠EPA=90° 在△EAP和△ABM中， ， ∴△EAP≌△ABM（AAS）， ∴EP=AM， ∵DO⊥MN， ∴∠AOD=90°， 在△CAM和△ADO中， ， ∴△CAM≌△ADO（AAS） ∴AM=DO， ∴EP=DO=AM， 在△EPN和△DON中， ∴△EPN≌△DON（AAS）， ∴EN=DN， ∴MA的延长线平分ED于点N． 1 / 151 学科网（北京）股份有限公司 $$