精品解析：辽宁省营口市大石桥市第二初级中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

大石桥市第二初级中学质量测试九年级数学试卷 （满分120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日-8月11日在法国巴黎举行，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程的一个根是．则方程的根的情况是（ ） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 3. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 半圆是最长的弧； B. 平分弦的直径平分弦所对的弧； C. 相等的弦所对的圆心角相等； D. 相等的弧所对的圆心角相等 4. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A. 这个函数的图象开口向下 B. 这个函数的图象与x轴无交点 C. 这个函数的最小值小于-6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 5. 将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（　　） A. B. 2 C. D. 2 8. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，以为直径的与轴交于点，连接交轴交于点，，反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，D 是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，则当时，__________． 12. 有一个只放满形状大小都一样的白色小球的不透明盒子，小刚想知道盒内有多少白球，于是小刚向这个盒中放了8个黑球（黑球的形状大小与白球一样），摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球______． 13. 小雅经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为_______． 14. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长__________cm． \ 15. 如图，中，，将绕点C逆时针旋转α（）得，若交于点F，当_______时，为等腰三角形． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2； （3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）． 18. 2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回且全部有效．统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．请根据图中提供信息，解答下列问题： 七年级学生最关心的问题问卷调查表 亲爱的同学：你好！ 这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！ （1）此次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度； （3）该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息； （4）已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率． 19. 实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求部分双曲线的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 20. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 21. 为增强民众生活幸福感，县政府大力推进老旧小区改造工程．电厂小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/）与种植面积x（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/． （1）当时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时． ①求出x的取值范围； ②如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． 23. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”． （1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号） （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数的图像绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大石桥市第二初级中学质量测试九年级数学试卷 （满分120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日-8月11日在法国巴黎举行，下列四个本届运动会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握：轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此分析即可得解． 【详解】解：A．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．此图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 已知关于的方程的一个根是．则方程的根的情况是（ ） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】把代入得出c的值，从而得出方程，继而根据判别式得出方程根的情况． 【详解】解：把x=-1代入方程得1-4+c=0， 解得：c=3， 则方程为； △=16-16=0， ∴有两个相等的实数根， 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 3. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 半圆是最长的弧； B. 平分弦的直径平分弦所对的弧； C. 相等的弦所对的圆心角相等； D. 相等的弧所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、半圆不是最长的弧，原命题是假命题，不符合题意； B、平分非直径的弦的直径平分弦所对的弧，原命题是假命题，不符合题意； C、同圆或等圆中相等的弦所对的圆心角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、相等的弧所对的圆心角相等，原命题是真命题，符合题意； 故选D． 4. 下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： … -2 0 1 3 … … 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是 A. 这个函数的图象开口向下 B. 这个函数的图象与x轴无交点 C. 这个函数的最小值小于-6 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 依题意得：，解得：， ∴二次函数的解析式为=， ∵， ∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意； ∵， ∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意； ∵，∴当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意； ∵这个函数的图象的顶点坐标为(，)， ∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键． 5. 将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关整式点是解题的关键． 根据题意得到，，求出，过点作，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，将三角板绕原点顺时针旋转， ，， ， ， 过点作， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 已知如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，作于点M，连接，在中，根据直角三角形的性质求得、的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，进而求得的长． 【详解】解：作于点M，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，点E为BC的中点，AE与CD交于点F，若DF的长为，则AE的长为（　　） A. B. 2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 连接DE，首先推知ED为△ABC的中位线，然后由中位线的性质得到△DEF∽△CAF，从而求得CD的长度；继而推知AC=BC=2；最后由勾股定理求得AE的长度． 【详解】解：连接DE，如图所示： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， ∵CD⊥AB， ∴AD=BD，即点D为AB的中点． ∵E为BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DE=AC， ∴△DEF∽△CAF， ∴DF：CF=DE：AC=1：2， ∴DF=CD=， ∴CD=． ∴AB=2． ∵AC=BC， ∴AC2+BC2=2AC2=AB2=8． ∴AC=BC=2． ∴CE=1． 在直角△ACE中，由勾股定理知： AE=． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 8. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，求出，再根据，求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9. 如图，平面直角坐标系中，以为直径的与轴交于点，连接交轴交于点，，反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点B作轴于点E，根据直径所对的圆周角是直角求出，，在中求出，是等边三角形，进而求出，，，在中求出，，求出点E的坐标即可求出k值 ，问题得解． 【详解】解：连接，过点B作轴于点E， ∵， ∴， ∵在中，是直径， ， ， 又 ， 是等边三角形， ， ∴在中，， ， ， ，，轴， 在中，， ，， 点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与圆的综合，圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定，勾股定理．在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半等知识，作辅助线是解决本题的关键． 10. 如图，在中，，D 是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最值问题．根据，推出，得到点在以为直径的圆上，取的中点，连接，，根据，求出最小值即可．解题的关键是确定点的运动轨迹． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接，，则： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为2． 故选A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，则当时，__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时和当时的函数值相同， ∵抛物线经过点， ∴抛物线经过点， ∴当时，， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，熟知抛物线关于对称轴对称的两点的函数值相同是解题的关键． 12. 有一个只放满形状大小都一样的白色小球的不透明盒子，小刚想知道盒内有多少白球，于是小刚向这个盒中放了8个黑球（黑球的形状大小与白球一样），摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中80次摸到黑球，估计盒中大约有白球______． 【答案】32 【解析】 【分析】根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系其中，“黑白球总数=黑球个数+白球个数”，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”． 【详解】设盒子里有白球x个， 根据题意得：， 解方程得x=32， 经检验x=32是原方程的根， 即盒中大约有白球32个． 故答案为：32． 【点睛】本题考查盒中白球个数问题，掌握频率、频数与总数的关系，会用频率列方程解决问题是关键． 13. 小雅经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案． 【详解】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得： ， 故答案为：． 14. 如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长__________cm． \ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意得，列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，中，，将绕点C逆时针旋转α（）得，若交于点F，当_______时，为等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解．本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角，得到 ，， ， ， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得， ③时，， 解得， 综上所述，旋转角度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）移项，提取公因式即可解方程； （2）利用直接开平方法即可解方程． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得：， 【小问2详解】 解： ∴ ∴或 解得：， 17. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2； （3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）． 【答案】（1）作图见试题解析，A1（2，﹣4）；（2）作图见试题解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）找到点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后描点即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A2、C2，则可得到△A2BC2； （3）C点旋转到C2点所经过的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）； （2）如图，△A2BC2为所作； （3）BC==，所以C点旋转到C2点所经过的路径长=． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换,轴对称变换,勾股定理及弧长公式，解题的关键是能够准确找出对应点. 18. 2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回且全部有效．统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．请根据图中提供信息，解答下列问题： 七年级学生最关心的问题问卷调查表 亲爱的同学：你好！ 这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！ （1）此次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度； （3）该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息； （4）已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率． 【答案】（1）300 （2），补全条形统计图如图所示；     （3）解：答案不唯一．例如：七年级学生最关心“课余生活”的人数最多；七年级学生最关心 “学习成绩”的人数占；七年级学生最关心“热点时事”的人数最少． （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、用列表或画树状图的方法求概率等知识点，正确理解题意，从统计图中获取需要数据是解题的关键． （1）用最关心问题D的人数除以其所占百分比即可解答； （2）用调查总人数分别减去最关心A、C、D、E的人数，然后补全条形统计图，再用其所占的比例乘以即可； （3）根据两个统计图所给数据，进行分析即可； （4）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再利用概率公式解即可． 【小问1详解】 解：（人）； 故答案为：300． 【小问2详解】 解：最关心问题D的人数为：（人） 学生最关心“课余生活”的圆心角度数为， 故答案为：126． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 戊 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） （戊，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） （戊，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） （戊，丙） 丁 （甲，丁） （乙、丁） （丙、丁） （戊，丁） 戊 （甲，戊） （乙，戊） （丙，戊） （丁，戊） 由列表可知，从这五人中随机先后选取两人总共有20种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中恰好选中甲，乙两人的结果有2种． 所以恰好选中甲，乙两人的概率． 19. 实验数据显示，一般成人喝100毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求部分双曲线的函数表达式； （2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20点在家喝完100毫升该品牌白酒，第二天早上6点能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】（1） （2） 能，理由：由得当时，， 从时到第二天早上点时间间距为10小时， ， 第二天早上能驾车去上班． 【解析】 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【小问1详解】 解：依题意， 直线过，则设直线的解析式 把代入 解得 ∴， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 【小问2详解】 略 20. 如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，进而得出，得出即可得出结论； （2）先说明，再推出，即可得出结论； （3）先求出，再推出，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是的直径，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的补角相等，平行线的性质等知识点．判断出、掌握圆的基本性质是解题的关键． 21. 为增强民众生活幸福感，县政府大力推进老旧小区改造工程．电厂小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/）与种植面积x（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/． （1）当时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时． ①求出x的取值范围； ②如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 【答案】（1） （2）①；②甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用最少，最少是5800元 【解析】 【分析】（1）分两种情况，用待定系数法求出与的函数关系式； （2）①设甲种花卉种植面积为，根据甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍列出不等式组，解之即可；②根据总费用甲种花卉种植费用乙种花卉种植费用，分两种情况列出函数关系式，求出最小值，再比较即可得答案． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，设， 把，代入得： ， 解得：， ， ； 【小问2详解】 ①设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为， 甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍， ， 解得， ②当时，， ， 当时，最小，最小为（元）， 当时，， ，对称轴为直线，且， 时，取最小值，最小为（元）， ， 当时，取最小值，最小为5800元， 此时， 答：甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用（元）最少，最少5800元． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． 【答案】 问题1： （1）证明：∵等腰中，由翻折得到 ∴，， ∵， ∴； （2）； 问题2： 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据折叠以及三角形内角和定理，可得，根据邻补角互补可得，即可得证； （2）连接，交于点，则是的中位线，勾股定理求得，根据即可求解； 问题2：连接，过点作于点，过点作于点，根据已知条件可得，则四边形是矩形，勾股定理求得，根据三线合一得出，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图所示，连接，交于点， ∵折叠， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， 则， 在中，，,， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”． （1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号） （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数的图像绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求的坐标． 【答案】（1）③ （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“平衡点”的定义进行逐一计算判断即可； （2）可求，，①当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；②当为等腰三角形的顶点时，，此时在以圆心，长为半径的圆周上，由进行求解即可；③当为等腰三角形的顶点时，，此时在的垂直平分线上，由进行求解即可． （3）设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：， 然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式；由，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①， ， 故此函数不存在“平衡点”； ②当时，， ， ， ， 故此函数不存在“平衡点”； ③当时，， ， ， 整理得：， ， 此方程有两个不相等的实数根， 此函数存在“平衡点”； ④当时，， ， ， 整理得：， 此方程无实数根， 此函数不存在“平衡点”； 故答案：③． 【小问2详解】 解：当时，， ， ， 解得：，（舍去） ， ， ， 同理可求：， ①如图，当为等腰三角形的顶点时，， 此时在以圆心，长为半径的圆周上， ， 解得：，， 当时，， 与重合，舍去 ； ②如图，当为等腰三角形的顶点时，， 此时在以圆心，长为半径的圆周上， ， 解得：，； ③如图，当为等腰三角形的顶点时，， 此时在的垂直平分线上， ， 解得：； 综上所述：的值为、、、． 【小问3详解】 解：设（），先将抛物线向上平移个单位得，再将绕原点旋转得：，即：， 然后将向下平移个单位得为绕旋转后函数解析式； ， 整理得：， 旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了新定义“平衡点”，等腰三角形的判定，函数图象的旋转，理解定义，掌握等腰三角形的判定方法和函数图象旋转中解析式的变化规律是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $