精品解析：辽宁省营口市大石桥市第二初级中学2024-2025学年九年级上学期期末模拟数学试卷

九年级数学期末（一） （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列关系式中，y是x的反比例函数的为（　　） A. B. C. D. 3. 二次函数y=2x2－8x+1的最小值是(　　 ) A. 7 B. －7 C. 9 D. －9 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 通常加热到100°C时，水沸腾 B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6 C. 经过有交通信号灯路口，遇到红灯 D. 射击运动员射击次，命中靶心 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 7. 如图，中，弦，相交于点，，，则（ ） A. 40° B. 45° C. 15° D. 85° 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ） A. 为等腰三角形 B. 与相互垂直平分 C. 点A、B都在以为直径的圆上 D. 为的边上的中线 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一根为，则m的值是______． 12. 飞机着陆后滑行的距离(单位：)关于滑行的时间(单位：)的函数解析式是，飞机着陆后滑行__________米才能停下来． 13. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长_____________. 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2，点的横坐标为，当时，的取值范围是_____________． 15. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1．的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点逆时针旋转90度得到，画出； （2）在（1）的运动过程中，请计算出． 18. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率． 19. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢.某商店销售一批吉祥物，每个吉祥物进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30％.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售.设每天销售量为个，销售单价为元.当每个吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ 20. 小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接 （1）求值； （2）计算图形阴影部分面积之和． 21. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求圆的半径． 22. 某课外科技小组研制了一种航模飞机通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 【探究发现】 通过表格可发现与满足一次函数关系，即.而与之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述． 【解决问题】 （1）直接写出关于函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） （2）如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下面的问题． ①若发射平台相对于安全线高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； ②在安全线上设置回收区域，点右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 23. 【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学期末（一） （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 下列关系式中，y是x的反比例函数的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的定义是：形如（k是常数，的函数，叫反比例函数，根据以上知识点逐个判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； B．是反比例函数，故本选项符合题意； C．是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意； D．不是反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 二次函数y=2x2－8x+1的最小值是(　　 ) A. 7 B. －7 C. 9 D. －9 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案． 【详解】 ∴当x=2时，y有最小值-7 故选B 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据，进行判断作答即可． 【详解】解：∵ ∴方程没有实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 通常加热到100°C时，水沸腾 B. 掷一次骰子，向上一面点数是6 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 射击运动员射击次，命中靶心 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、通常加热到100°C时，水沸腾，是必然事件，符合题意； B、掷一次骰子，向上一面点数是6，是随机事件，不符合题意； 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．解题的关键是掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键． 7. 如图，中，弦，相交于点，，，则（ ） A. 40° B. 45° C. 15° D. 85° 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同弧所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角相等可求出，再利用三角形外角的性质可得答案．解题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等． 【详解】解： ∵， ∴． 又∵， ∴， 故选：D． 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设门高AB为x尺，则门宽BC为（x-6.8）尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：设门高AB为x尺，则门宽BC为（x-6.8）尺，根据勾股定理得： ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 9. 如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ） A. 为等腰三角形 B. 与相互垂直平分 C. 点A、B都在以为直径的圆上 D. 为的边上的中线 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案． 【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB， ∵B，C为切点， ∴∠OBP=∠OAP=90°， ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OPB≌Rt△OPA， ∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC， ∴为等腰三角形，故A正确； ∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边， ∴PM=OM=BM=AM ∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确； ∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC， ∴△OBC≌△OAC， ∴∠OCB=∠OCA=90°， ∴PC⊥AB， ∵△BPA为等腰三角形， ∴为的边上的中线，故D正确； 无法证明与相互垂直平分， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断．②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断．③将点分别代入、求得m、n、a、b的值，然后得到，再将其化成顶点式即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③将点代入得：，解得：， 将点代入得：，解得：， ∴函数为：， ∴时，函数有最大值；即③正确． ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一根为，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：满足一元二次方程的未知数的值叫一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得． 故答案为：． 12. 飞机着陆后滑行的距离(单位：)关于滑行的时间(单位：)的函数解析式是，飞机着陆后滑行__________米才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意得出飞机滑行的距离即为s的最大值，将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行米才能停下来， 故答案为：． 13. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形等知识点，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键．如图：连接，过点B作于D，根据正六边形的性质可得,根据等腰三角形的性质可得的长，最后根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：连接，过点B作于D， ， 由正六边形可得：, ∴， 由，则， ∵在中，， ∴, ∴ ∴， ∴． 故答案为． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2，点的横坐标为，当时，的取值范围是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查由函数图像解不等式，根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，一次函数图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为2，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为， 当点在的延长线上时，如图所示，则 当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形， 综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程的解法． （1）用因式分解法即可求解； （2）用公式法即可求解． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解：，，， ， 17. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1．的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点逆时针旋转90度得到，画出； （2）在（1）的运动过程中，请计算出． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，扇形的弧长公式，掌握旋转的性质和扇形的弧长公式是解题的关键． （1）先确定三点旋转后的对应点，再连接即可； （2）先根据勾股定理计算半径的长，再用弧长公式求解． 【小问1详解】 解：如图所示，就是所求作的图形． 【小问2详解】 解：如图可知：， ∴的长为： ． 18. 班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率． 【答案】 【解析】 【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种， 则某同学获一等奖的概率为：， 答：某同学获一等奖的概率为． 【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键． 19. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢.某商店销售一批吉祥物，每个吉祥物进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30％.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售.设每天销售量为个，销售单价为元.当每个吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ 【答案】当销售单价为50元时，商店每天获利2400元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设销售单价为元，根据“总利润每个吉祥物利润销售量”列出关于x的方程，解之可得． 【详解】解：当销售单价为元时，商店每天获利2400元， 由题意得 整理得 解得 ∵获利不高于30% ∴ ∴不合题意舍去 ∴ 答：当销售单价为50元时，商店每天获利2400元． 20. 小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接 （1）求值； （2）计算图形阴影部分面积之和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．涉及菱形的性质，扇形的面积． （1）直接将点代入解析式求值即可； （2）利用分割法得到，求解即可． 正确的求出函数解析式，掌握相关图形的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数图象上， ； 【小问2详解】 连接交于点． ∵四边形是菱形 ∴与相互垂直平分,， ∴，， ∴是等边三角形 ， 又 ． 21. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求圆的半径． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆周角定理推出根据角平分线的定义得出，根据圆的内接四边形定理得出，进而得出，即可求解； （2）通过证明得出垂直平分线段，进而得出是等边三角形，再证明，则，设圆心为O，则点O是中点，连接，通过证明是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， 平分， 平分， ， ，即 ， ； 【小问2详解】 解：，， ∴， ，， 垂直平分线段， 又， 是等边三角形， ， ∴， ， ∵， ， 又∵， ， ， ∴是直径，设圆心为O，则点O是中点，连接， ， ∴是等边三角形， 又∵垂直线段， ，即圆的半径为6． 22. 某课外科技小组研制了一种航模飞机通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 【探究发现】 通过表格可发现与满足一次函数关系，即.而与之间的数量关系也可以用我们已经学习过的函数来描述． 【解决问题】 （1）直接写出关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） （2）如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下面的问题． ①若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； ②在安全线上设置回收区域，点的右侧为回收区域（包括端点），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度． 【答案】（1） （2）①飞机落到安全线时飞行的水平距离；②发射平台相对于安全线的最低高度为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据待定系数法求解即可； （2）①令二次函数，求出时间代入函数式即可求解； ②设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解． 【小问1详解】 与是二次函数关系， 设， 由题意得：，解得： ， ； 【小问2详解】 ①依题意, 得， 解得：(舍)， ， 当时，， 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为； ②设发射平台相对于安全线的高度为， ∴飞机相对于安全线的飞行高度， ， ， 在中， 当时， ， 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于． 23. 【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）将绕B点逆时针旋转得到，连接，则为等边三角形，.再由 得到，用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，从而得到； （2）将绕点逆时针旋转得到，得到，证明得到； （3）证明是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为等腰直角三角形，，再计算得，用勾股定理得到，从而利用全等三角形的性质得到. 【详解】解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则 ，， ∴为等边三角形. ∴， 又∵ ∴ ∴ 是直角三角形，， （2）由正方形的性质得：，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ，， ∴， ， ∵，，， （3）∵，， ∴是等腰直角三角形，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接. 则，，， 为等腰直角三角形. ， 又 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理等知识，利用旋转作出正确作出辅助线是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$