精品解析：山东省淄博市高青县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年度第一学期期中复习测试题 八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，整式乘法的定义，依次判断，即可求解， 本题考查因式分解的定义，解题的关键是：熟练掌握因式分解的定义． 【详解】解：、是分解因式，符合题意， 、是整式的乘法运算，不符合题意， 、是整式的乘法运算，不符合题意， 、不是把多项式化成整式积的形式，不符合题意， 故选：． 2. 在中，分式有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：是整式， 是分式． 故选C． 3. 在一次数学测评中，六年级一班的23名男生的平均分为，22名女生的平均分为，则这个班全体同学的平均分为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求，这两个数的平均数，对加权平均数的理解不正确．平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数． 【详解】解：这个班全体同学的平均分为：． 故选：C． 4. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解，理解题意是解题关键． 5. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25 人数 2 5 8 9 6 则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ） A. 20、15 B. 20、17.5 C. 20、20 D. 15、15 【答案】B 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据. 【详解】20出现了9次,出现的次数最多,所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元; 30个数据中,第15个和第16个数分别为15、20,它们的平均数为17.5,所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元. 故选B. 【点睛】本题为统计题,考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 7. 已知a，b，c分别是的三边长，若，则是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，根据，可推出，由三角形三边的关系可得，则，即，则是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c分别是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 8. 某校举办了运动会，在赛跑中，有5位同学的成绩如表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是（ ） 同学 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 方差 时间/s A. ，4 B. ，2 C. ，4 D. ，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数和方差．掌握算术平均数和方差的定义是解题的关键． 先根据算术平均数的定义求出丙的成绩，再根据方差的定义列式计算即可． 【详解】解：丙的成绩为：， 方差为：． 故选A． 9. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】首先去分母，计算出，再根据解是非负数可得， ，进而可得，再解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵解是非负数， ∴，∴， ∴， 又∵， ∴，∴， ， ∴，且， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，关键是注意分式方程有解时，最简公分母不为零． 10. 若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多3个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥﹣1， ∴﹣1≤x＜， ∵不等式组有解且至多3个整数解， ∴﹣1＜≤2， ∴﹣3＜m≤6， 分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1）， ∴（m﹣2）x＝3， 当m≠2时，x＝， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， ∴≠1， ∴m≠5， ∵方程有整数解， ∴m﹣2＝±1，±3， 解得：m＝3，1，5，﹣1， ∵m≠5， ∴m＝3，1，﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程时应考虑到增根的情况，同时也考查了解不等式组的能力，以及确定不等式组中字母常数满足题意的判断方法． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 分解因式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据题中所给多项式的结构特征，先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案，灵活应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 定义新运算：，若，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 13. 某校艺术节的歌唱比赛最终得分由歌唱水平、舞台表现、专业知识三部分组成．小红这三项得分依次为90分、80分和90分，若把歌唱水平、舞台表现、专业知识的成绩按计算总分，则小红在这次比赛的总分为___________分． 【答案】87 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法，可以计算出小红在这次比赛的总分． 【详解】解： （分）． 故答案为：87． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 14. 若关于的方程无解，求的值______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解的情况，先将分式方程去分母，化为整式方程，再根据题意分为以下两种情况讨论，①方程有增根，即，进行求解，②分式方程化成的整式方程无解，即解的表达式无意义，即可解题． 【详解】解：关于的方程无解， 即， ， ， ， 可分为以下两种情况讨论， ①方程有增根，即，解得， 当时，，解得， ②分式方程化成的整式方程无解， 即，解得， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 15. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算和解分式方程，解题的关键是掌握分式相关运算的法则和解分式方程的一般步骤． （1）先通分算括号内的，再将除化为乘，最后分解因式约分； （2）先化为整式方程，再解出整式方程的解，最后检验即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程变形为：， 去分母得：， 解整式方程得：或， 经检验，，都是原方程的解， 原方程的解为或． 17. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）①根据长方形的周长是即可得出的值； ②由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据第一步中求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【小问1详解】 解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ． 答：的值为5． ②空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 18. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表． 甲、乙两家公司套餐得分表 1 2 3 4 5 6 7 甲公司套餐 乙公司套餐 甲、乙两家公司套餐得分统计表 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 b 乙公司套餐 a c 根据以上信息，请回答下列问题： （1） ， ， ． （2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”） （3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 【答案】（1） （2）乙 （3）甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，所以选择乙公司． 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数、方差，熟练掌握中位数和方差的意义是解题关键． （1）根据平均数，中位数和众数的定义即可得； （2）先利用方差公式求出方差，再根据方差的意义即可得； （3）从中位数和方差的意义进行分析即可得． 【小问1详解】 解：将乙公司套餐得分相加除以7可得： 乙公司套餐平均数：， 将甲公司套餐得分按从小到大进行排序后，第4个数即为中位数， 则， 在乙公司套餐得分中，出现的次数最多，为2次， 则其众数为， 故答案为：； 【小问2详解】 甲公司套餐得分方差为：， 乙公司套餐得分方差为：， ， 乙公司套餐的得分较稳定； 【小问3详解】 甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好， 选择乙公司套餐品质较好． 19. 2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求A，B两款吉祥物每个的售价． （2）为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 【答案】（1）每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元； （2）李老师最多可购买2个A款吉祥物； 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用问题，根据题意找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设李老师购买A款吉祥物个，则购买B款吉祥物个，根据总价不超过240元，列出一元一次不等式求解即可； 【小问1详解】 解：设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元． 根据题意，得， 解得．经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元． 【小问2详解】 解：设李老师购买A款吉祥物个，则购买B款吉祥物个． 根据题意，得，解得． 答：李老师最多可购买2个A款吉祥物． 20. 人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ，， ． ， ． ， ． ，， ． 请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值； （2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值； 【小问1详解】 把两边平方，得， 化简，得 将代入得，解得 【小问2详解】 把两边平方，得 化简，得，即， 则 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． 21. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3） 证明： ， ∵n为正整数， ∴正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 【解析】 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先计算，再利用完全平方公式即可． 【小问1详解】 解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； 【小问2详解】 解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 22. 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 【答案】（1）C不是D的“雅中式”，理由 （2），27 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：整理可得：从而可得：，再消去，结合因式分解可得结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【小问1详解】 解：C不是D的“雅中式”，理由如下： 不是的“雅中式”． 【小问2详解】 解：关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是： 的值为： 的值为： 【小问3详解】 解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， 整理得： 由上式恒成立： 消去可得： 、、为整数 为整数， 当时， 此时： 当时， 此时： 当时， 此时： 当时， 此时： 综上：的值为：或或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期中复习测试题 八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 2. 在中，分式有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在一次数学测评中，六年级一班的23名男生的平均分为，22名女生的平均分为，则这个班全体同学的平均分为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 5. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25 人数 2 5 8 9 6 则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ） A. 20、15 B. 20、17.5 C. 20、20 D. 15、15 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b，c分别是的三边长，若，则是（ ）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 8. 某校举办了运动会，在赛跑中，有5位同学的成绩如表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是（ ） 同学 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 方差 时间/s A. ，4 B. ，2 C. ，4 D. ，2 9. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 分解因式______． 12. 定义新运算：，若，则的值是______． 13. 某校艺术节的歌唱比赛最终得分由歌唱水平、舞台表现、专业知识三部分组成．小红这三项得分依次为90分、80分和90分，若把歌唱水平、舞台表现、专业知识的成绩按计算总分，则小红在这次比赛的总分为___________分． 14. 若关于的方程无解，求的值______． 三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．） 15. 分解因式 （1）； （2）． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 18. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表． 甲、乙两家公司套餐得分表 1 2 3 4 5 6 7 甲公司套餐 乙公司套餐 甲、乙两家公司套餐得分统计表 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 b 乙公司套餐 a c 根据以上信息，请回答下列问题： （1） ， ， ． （2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”） （3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 19. 2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求A，B两款吉祥物每个的售价． （2）为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 20. 人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知，，求的值．老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ，， ． ， ． ， ． ，， ． 请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 21. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： （1）因式分解： （2）因式分解： （3）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 22. 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $