精品解析：广东省河源市紫金县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期期中综合测评 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻角互补 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的根，则 的值为 （ ） A. 2021 B. 2025 C. 2029 D. 2030 6. 通常情况下，无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色，实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是盐酸（呈酸性）、白醋（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小颖同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则溶液恰好都变红色的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（ ）. A. B. 且 C. 且 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么___________． 12. 已知菱形的两条对角线长分别为10cm，12cm，则它的面积是________． 13. 如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从F口驶出的概率是___________． 14. 如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若，则画出的圆的半径为___________． 15. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 光华小区为了避免电动车进入小区，准备修建一个电动车棚，一边利用长为的墙，另外三边用长为的建筑材料围成，在垂直墙的一边留下一个宽的门，当所围成的矩形电动车棚的长、宽分别是多少时，其面积为？ 18. 如图，在荾形中，过点B作于点，过点作于点，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是______； （2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 21. 在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个， （1）从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率； （2）将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色放回，经过大量反复的实验，得到摸到蓝色小球的频率为，请你估计n的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知某平台在售的故宫文创产品书灯有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低50元，1000元购买A系列产品的数量与1500元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖500件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的售价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为96000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 23. 在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E和Q分别位于AD和DC上，且ED＝QC．证明两条直路BE＝AQ且BE⊥AQ．”为背景开展数学探究． (1)独立思考：将上题条件中的ED＝QC去掉，将结论中的BE⊥AQ变为条件，其他条件不变，那么BE＝AQ还成立吗？请写出答案并说明理由； (2)合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD内有一点P，过点P作EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，那么EF与GH相等吗？并说明理由． (3)拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题： 如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC边上，点M在AD边上．请你画出折痕，则折痕MN的长是　 　；线段DM的长是　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中综合测评 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻角互补 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、四边相等，菱形具有而矩形不具有，故本选项符合题意； B、对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故本选项不符合题意； C、对角相等，菱形具有，矩形具有，故本选项不符合题意； D、邻角互补，菱形具有而矩形也具有，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用菱形的性质及关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 根据菱形的性质可知：点A与点C关于原点对称，据此即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ，即点A与点C关于原点对称， 又点A的坐标是， 点C的坐标是， 故选：B． 4. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据： 试验总次数 落在“心形线”内部的次数 落在“心形线”内部的频率 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在附近， ∴估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为． 故选：B． 5. 若是方程的根，则 的值为 （ ） A. 2021 B. 2025 C. 2029 D. 2030 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由是方程的根，可得，进而可得，然后整体代入所求的式子当中求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ， ， ． 故选：C． 6. 通常情况下，无色酚酞溶液遇酸性溶液（或中性溶液）不变色，遇碱性溶液变为红色，实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，实验课上老师让学生用无色酚酞溶液检测其酸碱性，已知这四种溶液分别是盐酸（呈酸性）、白醋（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小颖同时任选两瓶溶液用无色酚酞溶液进行检测，则溶液恰好都变红色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表法是解题的关键． 【详解】解：用a，b，c，d分别表示盐酸、白醋、氢氧化钠溶液、氢氧化钙溶液， 根据题意，画出树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两瓶溶液均变红色的结果有种， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 故选：A． 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式求值的方法是解题的关键． 首先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 8. 全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意，找到等量关系，列出方程即可，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参加比赛的球队有支， 由题意可得，， 故选：． 9. 将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和． 【详解】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为． 故选：A． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（ ）. A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程实数根的情况求参数，先由两个不相等实数根得，结合一元二次方程的定义，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ∴ ∴ ∵ ∴ 则且 故选：C 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么___________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键． 根据成比例线段的定义得到，代入数值求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：6． 12. 已知菱形的两条对角线长分别为10cm，12cm，则它的面积是________． 【答案】60 【解析】 【分析】根据菱形的面积的关于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：菱形的面积为； 故答案为：60 【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积的关于对角线乘积的一半，是解题的关键． 13. 如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从F口驶出的概率是___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了概率，得出所给的图形的可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，汽车最终驶出的点共有、、、四个， 所以，最终从点F驶出的概率为． 故答案为：． 14. 如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若，则画出的圆的半径为___________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中线的性质和圆的性质，关键在于对两种综合的掌握． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即为圆的半径． 【详解】解：如图，连接， ∵两个滑槽互相垂直，点P是木棒的中点， ∴． ∴画出的圆半径为． 故答案为：13． 15. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米． 【答案】1 【解析】 【详解】解：设小道进出口的宽度为x米， 依题意得（30-2x）（20-x）=532， 整理，得x2-35x+34=0． 解得，x1=1，x2=34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x=1． 答：小道进出口的宽度应为1米， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据图形列出方程是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴或 解得，． 17. 光华小区为了避免电动车进入小区，准备修建一个电动车棚，一边利用长为的墙，另外三边用长为的建筑材料围成，在垂直墙的一边留下一个宽的门，当所围成的矩形电动车棚的长、宽分别是多少时，其面积为？ 【答案】长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为，则的长为，根据矩形面积进行列方程求解，并根据实际情况进行检验，即可求解． 【详解】解：设的长为，则的长为． 依题意，得， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴． 答：所围成的矩形电动车棚的长和宽分别为和时，菜地面积为． 18. 如图，在荾形中，过点B作于点，过点作于点，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．根据证明得，进而可证明． 【详解】证明：略． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4个相同的扇形，这些扇形内分别标有数字2，5，5，3，指针的位置固定．转动转盘，当转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，计为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的分割线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，转出的数字为2的概率是______； （2）转动转盘两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了概率公式． （1）直接根据概率公式计算； （2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次转出的数字之和是5的倍数的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：转动转盘一次，转出的数字为2的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中两次转出的数字之和是5的倍数的结果数为6种， 所以这两次转出的数字之和是5的倍数的概率． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，解题的关键是掌握矩形的性质和判定定理． 首先根据矩形的性质得到，然后证明出，证明出四边形是平行四边形，然后由得到平行四边形是矩形． 【详解】证明：略． 21. 在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个， （1）从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率； （2）将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色放回，经过大量反复的实验，得到摸到蓝色小球的频率为，请你估计n的值． 【答案】（1）两个小球颜色恰好不同的概率为 （2）n的值约为5 【解析】 【分析】（1）列表得出所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可； （2）根据概率公式列出方程，解方程即可. 【小问1详解】 解：列表如下： 红 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （红，蓝） （红，蓝） 由表知，共有12种等可能结果，其中两个小球颜色恰好不同的有6种结果， 所以两个小球颜色恰好不同的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴， 答：n的值约为5． 【点睛】本题主要考查了概率公式及用频率估计概率，熟练掌握概率公式及列出等可能事件的个数是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知某平台在售的故宫文创产品书灯有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低50元，1000元购买A系列产品的数量与1500元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖500件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的售价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为96000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 【答案】（1）A系列单价为100元，B系列单价为150元； （2）80元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意得，解方程即可． （2）设B系列单价为y元，则单件降价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 设A系列单价为x元，B系列单价为元， 根据题意，得， 解方程，得， 经检验，是原方程的根，此时元， 答：A系列单价为100元，B系列单价为150元； 【小问2详解】 设B系列定价为y元，则单件降价为元， 每天的销售量为件， 根据题意，得， 整理得， 解得， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴定价为80元． 答：B系列产品的实际售价应定为80元． 23. 在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E和Q分别位于AD和DC上，且ED＝QC．证明两条直路BE＝AQ且BE⊥AQ．”为背景开展数学探究． (1)独立思考：将上题条件中的ED＝QC去掉，将结论中的BE⊥AQ变为条件，其他条件不变，那么BE＝AQ还成立吗？请写出答案并说明理由； (2)合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD内有一点P，过点P作EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，那么EF与GH相等吗？并说明理由． (3)拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题： 如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC边上，点M在AD边上．请你画出折痕，则折痕MN的长是　 　；线段DM的长是　 　． 【答案】 (1)BE＝AQ，理由如下：∵BE⊥AQ， ∴∠AEB＝90°﹣∠DAQ＝∠AQD， 又∵AB＝AD，∠BAE＝∠QDA＝90°， ∴△ABE≌△DAF(AAS)， ∴BE＝AQ； (2)EF＝GH，理由如下： 如图1，作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形AGHN四边形BMEF都是平行四边形， ∴BM＝EF，AN＝GH， 由(1)知，BM＝AN， ∴EF＝GH； (3)5cm；m． 【解析】 【分析】（1）根据BE⊥AQ可求出∠AEB=∠AQD，再由AB=AD，∠BAE=∠ADQ=90°，可证明△ABE≌△DAQ，则结论得出； （2）可通过构建与已知条件相关的三角形来求解．作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N，那么BM=EF，AN=GH，（1）中我们已证得△ABM、△DAN全等，那么BM=AN，即EF=GH； （3）求出AE长，由（2）可知MN=AE，设DM=xcm，则AM=ME=（10-x）cm．将所有未知量转化到直角三角形DME中，利用勾股定理解答即可． 【详解】(1)略 (2)略 (3)如图2， ∵E为DC的中点， ∴DE＝5cm， ∴ ∵MN⊥AE，由(2)可知， ∴MN＝AE＝5cm， 设DM＝xcm，则AM＝ME＝(10﹣x)cm． 在Rt△DME中，DM2+DE2＝ME2， 即x2+52＝(10﹣x)2， 解得x＝． ∴线段DM的长为cm． 故答案为：5cm，cm． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折不变性等知识，熟练掌握正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $