[中学联盟]河北省邢台市第二中学人教A版高中数学必修五导学案《3.4 基本不等式》（2份，无答案）

3．4．1基本不等式 【教学目标】 1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程； 【教学难点】 基本不等式等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 基本不等式的几何背景： 探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色 的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 2 合作探究 （1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ （教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。 系） 结论：（板书）一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。 提问5：你能给出它的证明吗？ (学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: 所以 注意强调 当且仅当时, (2)特别地,如果,也可写成 ,引导学生利用不等式的性质推导 (板书,请学生上台板演): 要证: ① 即证 ② 要证②,只要证 ③ 要证③,只要证 ( - ) ④ 显然, ④是成立的,当且仅当时, ④的等号成立 (3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 探究：课本中的“探究” 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 即学即练:[来源:学科网ZXXK] 1若且，则下列四个数中最大的是 　　　　　（ ） Ａ．　　　　　 Ｂ．　　　　　Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a 2 a,b是正数，则三个数的大小顺序是　（　 　）[来源:学科网ZXXK] Ａ．　　 Ｂ．　　 Ｃ．　　 Ｄ． 答案 B C 例题分析： (1)＝2即≥2. (2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0 ∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3 即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 变式训练： Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少[来源:学科网] 解析：因为Ｘ＞0， Ｘ+ ≥2=2 当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2 点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。 当堂检测： 1.下列叙述中正确的是（ ）. （A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 （B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 （C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值 （D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值 2.下面给出的解答中，正确的是（ ）.[来源:学.科.网] （A）y＝x＋)＝2，∴y有最小值2 ≥2 （B）y＝|sinx|＋)＝4，∴y有最小值4 ≥2 （C）y＝x（－2x＋3）≤）\s\up8(2)＝1 ）\s\up8(2)，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值）\s\up8(2)＝ （D）y＝3－))＝－3，y有最大值－3 ·)≤3－2－ 3.已知x＞0，则x＋＋3的最小值为（ ）. （A）4 （B）7 （C）8 （D）11 4.设函数f（x）＝2x＋－1（x＜0），则f（x）（ ）. （A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数 附件1：律师事务所反盗版维权声明 附件2：