精品解析：辽宁省辽阳市第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度上学期12月质量监测 八年级数学学科试卷 （考试时间：110分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2、2、4 B. 2、6、3 C. 8、6、3 D. 11、4、6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】根据三角形的三边关系，知 A、2+2=4，不能组成三角形； B、3+2=5＜6，不能组成三角形； C、3+6＞8，能够组成三角形； D、4+6＜11，不能组成三角形． 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键． 根据多边形的外角和为即可作答． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法做出选择即可，找出三角形全等的条件是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 即， 又∵，， ∴（）， 故该选项不符合题意； 、∵，，， ∴（）， 故该选项不符合题意； 、，，，不能判定， 故该选项符合题意； 、∵，，， ∴（）， 故该选项不符合题意； 故选：． 5. 如图，中，的垂直平分线分别与边， 交于点D，点E，若与的周长分别是和，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，三角形周长，是解题关键． 先根据线段垂直平分线的定义得，则，再根据，，得，据此可得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定公因式，再用原多项式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式． 【详解】解：A. ，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项错误； D. ，故该选项正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键． 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据提公因式法、完全平方公式和平方差公式，对选项进行分解因式，即可得出答案． 【详解】解：A、，故该因式分解错误，不符合题意； B、，故该因式分解错误，不符合题意； C、，故该因式分解错误，不符合题意； D、，故该因式分解正确，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用提公因式法和公式法分解因式． 8. 如图，在中，，将沿着直线叠，点落在点的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质得到，再利用三角形外角的性质整理可得，进而求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， 根据三角形外角性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 9. 如图，在四边形中，，点在上，连接相交于点，，若，则的长为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，连接 ，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可求得，根据求解即可． 【详解】解：连接 ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ∵， 设， ∴， 解得 ∴ 故选：C． 10. 如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，设，，根据题意，结合题意计算即可． 【详解】解：设，， 由题意，得：， ∵， ∴． 故选A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 等腰三角形的一个角为，则它另外两个角的度数为__________． 【答案】，或， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等． 分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可． 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．注意：遇到求等腰三角形的角时，常常要进行分类讨论． 【详解】若角为顶角，则另外两个底角为：； 若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：． 故答案为：，或，． 12. 若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 _____． 【答案】11或−13##-13或11 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x＋9， ∴m＋1＝±12， ∴m＝11或m＝−13． 故答案为：11或−13． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 13. 若，，则__________． 【答案】19 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形计算即可得解． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：19． 【点睛】本题考查整体代入法和完全平方公式，掌握这两点是解题关键． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，将看作一个整体，根据完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 已知：如图所示，在中，点D、E、F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，解题关键是正确理解三角形中线的性质，熟练利用中线性质推出三角形面积． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴，， ∴， 又∵点是的中点 ∴， 故答案为：． 16. 如图，等边三角形ABC中， BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为_________________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AP，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证△ACP≌△BCE，推出∠CBE=∠CAP=30°，再由垂线段最短可知当DP⊥AP时，DP值最小，利用含30°的直角三角形的性质定理可求DP的值． 【详解】解：如图，连接AP， ∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC=8， ∴BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°， ∵△CEP为等边三角形， ∴CE=CP，∠PCE=60°， ∴∠PCE=∠ACB， ∴∠BCE=∠ACP， ∴在△BCE和△ACP中， ∴△BCE≌△ACP（SAS）， ∴∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE， ∴当DP⊥AP时，DP值最小， 此时∠APD=90°，∠CAP=30°，DA=4， ∴DP=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了30°所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）（用公式计算）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得到答案； （2）先计算单项式乘以单项式，再由单项式除以单项式的运算法则计算即可得到答案； （3）分别运用平方差公式及多项式乘以多项式运算计算，去括号后，由整式加减运算法则合并同类项即可得到答案； （4）根据式子结构特征，利用完全平方和公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 【点睛】本题考查整式加减乘除运算，涉及多项式除以单项式、单项式乘以单项式、单项式除以单项式、平方差公式、多项式乘以多项式、去括号法则及完全平方和公式等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中a、b的值满足． 【答案】，40 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则化简，然后根据非负数的性质求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴，， ∴，， ∴原式． 19. A、B是两个村庄，是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．（不用写作法，但是要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，到两个村庄的距离相等，则蔬菜批发市场在线段的垂直平分线上，到两条马路的距离相等，则蔬菜批发市场在夹角的角平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点P即为所求． 20. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证即可求证； （2）根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， . 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质．掌握相关定理是解题关键． 21. 已知关于的代数式的中不含项与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，，即可得出，的值； （2）将，的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ， 不含项与项， ， 解得：； 【小问2详解】 解：． 22. 如图1是一个宽为、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图2． （1）观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：________． （2）根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； （3）如果，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键． （1）由题意大正方形的边长为，大正方形的由4个长为，宽为的长方形，中间正方形边长为组成，正方形和正方形的面积计算方法进行计算即可； （2）由（1）中结论代入计算即可； （3）根据题意可得，则由完全平方和公式恒等变形得到，代入计算即可． 【小问1详解】 解：依据题意，由图②可得： ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）中结论可得， ， ， ； 【小问3详解】 解： ． 23. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再设，根据线段的和差建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中，  ， ∴， ． 【小问2详解】 解：平分，于，于， ，， 在与中，  ， ∴， ， 由（1）已证：， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 24. 如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段 于点E． （1）当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）；小 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； 【小问2详解】 解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； 【小问3详解】 解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期12月质量监测 八年级数学学科试卷 （考试时间：110分钟 试卷满分：120分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2、2、4 B. 2、6、3 C. 8、6、3 D. 11、4、6 3. 如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角α的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，中， 的垂直平分线分别与边 ， 交于点D，点E，若与的周长分别是和，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将沿着直线叠，点落在点 的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，点在上，连接相交于点，，若，则的长为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 等腰三角形的一个角为，则它另外两个角的度数为__________． 12. 若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 _____． 13. 若，，则__________． 14. 因式分解：______． 15. 已知：如图所示，在中，点D、E、F分别为的中点，且，则阴影部分的面积为________． 16. 如图，等边三角形ABC中， BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为_________________． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）（用公式计算）． 18. 先化简，再求值：，其中a、b的值满足． 19. A、B是两个村庄，是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．（不用写作法，但是要保留作图痕迹） 20. 如图，在中， 是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 已知关于的代数式的中不含项与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 22. 如图1是一个宽为、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形，如图2． （1）观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系：________． （2）根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值； （3）如果，求的值． 23. 如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 24. 如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段 于点E． （1）当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $