精品解析：浙江省金华市东阳市2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024学年第一学期九年级12月独立作业 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 二次函数顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为（ ） A. B. C. D. 4. 的半径为2，点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 5. 若有四张完全一样的卡片正面分别写有、2、4、0，现背面向上，随机抽取一张卡片数字记为a，则能使二次函数的图象开口朝上的概率为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知的半径为，点P是圆内一点，且，则过点P的弦长不可能是（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A、B、C、D为上的4个点，连结，若，则用含的式子表示为（ ） A. B. C. D. 9. 根据表格，判断方程的解在下面哪个范围之间（ ） x的值 2 2.1 2.2 2.3 2.4 的值 3 331 3.64 3.99 4.36 的值 3.5 3.48 3.45 3.43 3.42 A. 2~2.1之间 B. 2.1~2.2之间 C. 2.2~2.3之间 D. 2.3~2.4之间 10. 如图，是边长为1的正三角形，分别在与延长线上取点D、E，使得，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 线段2和8的比例中项是__________． 12. 一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是__________． 13. 已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为______________． 14. 如图是将五本同规格的书放入一层书架后的主视图，已知四本书摆放整齐，一本书侧倒，书的厚度为，高度为，现测得的长为，若将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为的书______________本． 15. 如图，过点作半径为1的圆，过点作的切线，Q为切点，则的长为______________． 16. 如图，在中，，是的外接圆，将沿着弦折叠交于点P，则_______． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 某商场推出购物摸球返现活动，在不透明的箱子中装有3个形状大小完全一样的小球，小球上分别印着“10元”“20元”“30元”的字样．规定顾客一次性消费满200元就可以参与摸球返现活动，摸中多少返现多少． （1）小聪有1次摸球机会，求他摸中“30元”小球的概率； （2）小明有2次摸球机会，请用列表法或画树状图的方法求出他2次摸球得到的返现金额之和超过30元的概率． 18. 如图，D、E分别是上的两点，连结，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕某一旋转中心逆时针旋转角度得到； （1）直接写出旋转中心的坐标：______________； （2）求旋转过程中，点运动的路径的长． 20. 如图，是爆竹燃放过程中离地面高度关于时间的函数图象，当时，爆竹达到最大高度，当时，爆竹发生爆炸， （1）求爆竹燃放过程中离地面高度关于时间函数解析式； （2）爆竹爆炸时，离地安全高度不能低于，现测得，这款爆竹安全吗？请计算说明． 21. 图1是小心地滑提示牌的实物图，图2和图3分别是这款提示牌放置在水平地面上和斜坡上的主视图，已知．，提示牌完全展开时顶角． （1）如图2所示，提示牌完全展开放置在水平地面上，求提示牌的高度； （2）如图3所示，提示牌完全展开放置在斜坡上，点P是的重心，过点P作水平地面的垂线交于点Q，当，则提示牌放置不稳定．若斜坡坡角时，请计算判断提示牌完全展开放置在该斜坡上是否稳定． （，，，，，） 22. 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： （1）根据活动一测得的数据计算路灯的高度； （2）根据活动二测得的数据计算同学的影长； （3）请证明活动三猜想结论：． 23. 已知二次函数其中， （1）求二次函数图象与x轴交点坐标； （2）当时，y随x的增大而增大，求整数a的值； （3）若二次函数的图象与线段有交点，请直接写出a的范围． 24. 如图1所示，在中，，作的平分线交于点D，作的外接圆，圆心为O， （1）求证：是切线； （2）如图2，记． ①当时，求的半径长； ②在下方优弧上取点P，使得，请用含a、b代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级12月独立作业 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质．根据，可设，，代入约去k即可得． 【详解】解：∵， ∴可设，， ∴，故B正确． 故选：B． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式：，其中顶点坐标为，进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为． 故选：B． 3. 如图是一个放置在水平试验台上的锥形瓶，它从上面看到的形状图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：从上面看到的形状图为： 故选：D． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据题意得到从上面看到的形状图是解题的关键． 4. 的半径为2，点O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3， ，即， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离， 故选：C 5. 若有四张完全一样的卡片正面分别写有、2、4、0，现背面向上，随机抽取一张卡片数字记为a，则能使二次函数的图象开口朝上的概率为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，二次函数的性质．由二次函数图象开口朝上，进而可以求出a的取值范围，然后由概率公式进行计算可以得解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口朝上， ∴， ∴，4时，二次函数的图象开口朝上， ∴满足题意的概率为：． 故选：C． 6. 已知的半径为，点P是圆内一点，且，则过点P的弦长不可能是（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 过点作弦，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，判断即可． 【详解】解：过点作弦，连接， 由勾股定理得，， 则， 过点的最短的弦长为16， 的半径为10， 的直径为20，即过点的最长的弦长为20， 点的弦长， ∴过点P的弦长不可能是14． 故选：A． 7. 如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可． 【详解】解：连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故选：C． 8. 如图，点A、B、C、D为上的4个点，连结，若，则用含的式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．连接，利用三角形的内角和可知，得到，再利用圆周角定理可知． 【详解】解：连接，则， ， ， 又， ， 由圆周角定理可知：， 故选：A． 9. 根据表格，判断方程的解在下面哪个范围之间（ ） x的值 2 2.1 2.2 2.3 2.4 的值 3 331 3.64 3.99 4.36 的值 3.5 3.48 3.45 3.43 3.42 A. 2~2.1之间 B. 2.1~2.2之间 C. 2.2~2.3之间 D. 2.3~2.4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算方程的解，掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．由表格可知，当时，，当时，，进而即可得出答案． 【详解】解：由表格可知，当时，， 当时，， 当时，存在一个x的值，使， 故答案为：B． 10. 如图，是边长为1的正三角形，分别在与延长线上取点D、E，使得，则下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．由，得到，可判断选项A和C；由，得到，推出，可判断选项B，据此即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边长为1的正三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴选项A和C不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项B不符合题意； 不能证明， 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 线段2和8的比例中项是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，关键是掌握比例的有关性质，比例中项的平方等于两个数的乘积，据此即可求解，但注意线段的长度恒为正． 【详解】解：设线段2和8的比例中项是x，则 ， 或（舍）， 故答案为：4． 12. 一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是__________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键．由图可得红色区域所对的圆心角为，然后根据概率公式可求解． 【详解】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为， ∴； 故答案为． 13. 已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为轴，图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为轴，开口向上， 可知，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图是将五本同规格的书放入一层书架后的主视图，已知四本书摆放整齐，一本书侧倒，书的厚度为，高度为，现测得的长为，若将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为的书______________本． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，由勾股定理可求得的值，再证明，得到，可求出的值，进而可求出的值，进一步即可求出答案． 详解】解：由题意可知，，，， 在中，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为的书4本， 故答案：4． 15. 如图，过点作半径为1的圆，过点作的切线，Q为切点，则的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理， 先连接，根据点的坐标可知，再根据勾股定理求出，然后根据切线的性质得，接下来根据勾股定理可得答案． 【详解】如图所示， 连接， ∵点， ∴． 根据勾股定理，得． ∵是的切线，， ∴． 根据勾股定理，得． 故答案为：． 16. 如图，在中，，是的外接圆，将沿着弦折叠交于点P，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质及应用，圆内接四边形的性质，涉及翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理等知识，解题的关键是证明．连接，过点C作交与E，由折叠及圆周角定理可知得到，从而得到，由勾股定理逆定理及等积法得，继而求得． 【详解】连接，过点C作交与E，设点P由点折叠得到， 由折叠可知：关于直线对称， ∵点A，，C，B在圆上， ∴， 又， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 即， ， ， ， ， 又， ∴， ． 故答案为： 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 某商场推出购物摸球返现活动，在不透明的箱子中装有3个形状大小完全一样的小球，小球上分别印着“10元”“20元”“30元”的字样．规定顾客一次性消费满200元就可以参与摸球返现活动，摸中多少返现多少． （1）小聪有1次摸球机会，求他摸中“30元”小球的概率； （2）小明有2次摸球机会，请用列表法或画树状图的方法求出他2次摸球得到的返现金额之和超过30元的概率． 【答案】（1）他摸中“30元”小球的概率为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件． （1）利用概率公式求解即可求得答案； （2）列举出所有情况，用让他2次摸球得到的返现金额之和超过30元的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【小问1详解】 解：他摸中“30元”小球的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 两次摸奖结果共有9种情况，其中两次奖品价格之和超过30元的有6种情况，故所求概率为． 18. 如图，D、E分别是上的两点，连结，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）由，，得出，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，得出，进而得到的长，最终即可求出的长． 【小问1详解】 证明：，， ， 又， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，将绕某一旋转中心逆时针旋转角度得到； （1）直接写出旋转中心的坐标：______________； （2）求旋转过程中，点运动的路径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转，弧长的计算，解题的关键是根据旋转的性质，找到旋转中心，再根据弧长公式，进行计算，即可． （1）连接，，，作，，的垂直平分线，三线交于点，则点就是旋转中心； （2）连接，，可得旋转角为，根据弧长公式，即可． 小问1详解】 解：连接，，，作，，的垂直平分线，三线交于点，则点就是旋转中心， ∴点的坐标为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：连接，，可得旋转角为， ∴， ∵点，， ∴， ∴的长为：． 20. 如图，是爆竹燃放过程中离地面高度关于时间的函数图象，当时，爆竹达到最大高度，当时，爆竹发生爆炸， （1）求爆竹燃放过程中离地面高度关于时间的函数解析式； （2）爆竹爆炸时，离地安全高度不能低于，现测得，这款爆竹安全吗？请计算说明． 【答案】（1） （2）安全，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）结合题图设函数表达式，函数图象过点，进而即可求出函数的表达式； （2）将代入函数表达式，可求出，因此可知这款爆竹安全． 【小问1详解】 解：根据题意，设函数表达式为， 将，代入得， 解得， ； 【小问2详解】 解：安全，理由如下： 当时，， ， 这款爆竹安全． 21. 图1是小心地滑提示牌的实物图，图2和图3分别是这款提示牌放置在水平地面上和斜坡上的主视图，已知．，提示牌完全展开时顶角． （1）如图2所示，提示牌完全展开放置在水平地面上，求提示牌高度； （2）如图3所示，提示牌完全展开放置在斜坡上，点P是的重心，过点P作水平地面的垂线交于点Q，当，则提示牌放置不稳定．若斜坡坡角时，请计算判断提示牌完全展开放置在该斜坡上是否稳定． （，，，，，） 【答案】（1）提示牌的高度为； （2）提示牌完全展开放置在该斜坡上是稳定的． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，重心的性质． （1）作于点，利用等腰三角形的判定和性质得到，再利用余弦函数的定义求解即可； （2）作于点，作于点，由重心的性质得到点P在上，且，求得，利用三角函数的定义计算即可求解． 【小问1详解】 解：作于点， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 答：提示牌的高度为； 【小问2详解】 解：作于点，作于点， ∵点P是的重心， ∴点P在上，且， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴提示牌完全展开放置在该斜坡上是稳定的． 22. 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： （1）根据活动一测得的数据计算路灯的高度； （2）根据活动二测得的数据计算同学的影长； （3）请证明活动三猜想的结论：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）首先证明，再根据即可求出的长； （2）同（1）证明，再设，根据列方程求解即可； （3）分别证明和，再根据相似比证明即可． 【小问1详解】 标杆垂直于地面， ， ，且， ， ， ， ， ，解得． 【小问2详解】 由（1）可得，， ，，且， ， 设，则， ，， 则由得， 即，解得， ． 【小问3详解】 同（1）可得，和， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ． 23. 已知二次函数其中， （1）求二次函数图象与x轴交点坐标； （2）当时，y随x的增大而增大，求整数a的值； （3）若二次函数的图象与线段有交点，请直接写出a的范围． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解题意，熟练运用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）得：，解得，即可得到图象与与x轴交点坐标； （2）由时，y随x的增大而增大可知且，并结合为整数即可得解； （3）根据题意，二次函数在，，（在线段的两个端点及顶点处）的函数值与4比较，分和并结合函数图象，得到a的范围； 【小问1详解】 令得： 解得： 故二次函数图象与x轴交点坐标为， 【小问2详解】 ， 故对称轴为， 时，y随x的增大而增大， 故开口向上，即， ， 解得： 则， 又∵为整数， 或 【小问3详解】 当时，， 当时，， 当时，， ∵二次函数的图象与线段有交点， 当时，开口向上，当时，，解得：， 当时，开口向下，当时，，解得：， 综上：或 24. 如图1所示，在中，，作的平分线交于点D，作的外接圆，圆心为O， （1）求证：是切线； （2）如图2，记． ①当时，求的半径长； ②在下方优弧上取点P，使得，请用含a、b的代数式表示． 【答案】（1）见解析 （2）①的半径长为2；②． 【解析】 【分析】（1）连接和，交于点，证明，由垂径定理的推论得到，再证明，即可证明是切线； （2）①证明，求得，即，求得，，再证明，求得，设的半径为，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； ②证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：连接和，交于点， ∵，是的平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：①由（1），又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得， ∴的半径长为2； ②如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $