精品解析：2024-2025学年上海市浦东新区建平中学西校七年级上学期第三次月考数学试卷

2024-2025学年上海市浦东新区建平中学西校七年级（上）第三次月考数学试卷 一、选择题 1. 下列代数式，，，，，中，单项式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式的定义：“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义是解题关键．根据单项式的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：，，不是乘积的形式，不是单项式， ，，符合单项式的定义，是单项式， ∴单项式有个． 故选：C． 2. 对于分式，当x、y都扩大到原来的3倍时，分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 扩大到原来的9倍 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的性质．将x，y都扩大为原来的3倍，再进行化简约分，即可得出结果．掌握分式的性质，是解题的关键． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的3倍， 则：． ∴分式的值扩大为原来的3倍． 故选B． 3. 分式，，，中，最简分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式和有无互为相反数的因式，分别对各项进行判断即可． 【详解】解：分子分母有公因式， ；；这三个最简分式． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简分式的定义，最简分式就是分子和分母没有可以约分的公因式，运用了平方差公式，熟练掌握并灵活运是解题的关键． 4. 已知，下列计算中错误的是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式及多项式乘以多项式计算，牢记法则和公式是解题关键，根据法则和公式依次计算即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项符合题意； D、， ∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用．熟练掌握多项式乘多项式的应用是解题的关键．由题意知，大长方形的面积为，根据大长方形的面积为A、B、C类卡片面积的和求解作答即可． 【详解】解：， 因为C类卡片的面积为， 所以需要C类卡片10张， 故选：C． 6. 已知，则（　　） A. B. C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．根据题意可得，再由完全平方公式，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选B． 二、填空题 7. 若与3是同类项，则mn的值为_____． 【答案】256 【解析】 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求出m和n的值，然后代数求解即可． 【详解】解：∵与3是同类项， ∴， ∴． 故答案为：256． 8. 若，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘法得到，然后得到求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 9. 分式的值为负数，求x的取值范围 _________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 10. 已知，求x的值为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时， 解得：； 当时， 解得：； 当且为偶数时， 解得：； ∴的值为或或． 故答案为：或或． 11. 将分式表示成只含有正整数指数幂的形式___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除，负整数指数幂，先根据负整数指数幂的运算法则化为正整数指数幂，再根据分式的乘除运算法则进行化简即可．解题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则：一个数（零除外）的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 将分式表示成不含分母的形式____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂的运算，根据负指数幂的意义进行变形即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13 已知，则_______． 【答案】． 【解析】 【分析】计算，从而得到，然后先求原式的倒数，从而求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查倒数，完全平方公式的运用及分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构以及分式的化简计算是解题关键． 14. 如果关于x的多项式是完全平方式，那么_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案． 【详解】解：∵ ∴ 解得或． 故答案为：或． 15. 已知关于x的多项式与的积不含二次项和三次项，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，多项式的项、次数的定义以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．先运用多项式乘多项式的运算法则进行运算并整理，再令二次项和三次项的系数分别为0即可求解． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式与的积不含二次项和三次项， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：3． 16. 如果，那么___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． 令，则原方程可化为，然后展开利用因式分解法求解即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 整理得，， 或 解得或m， ∴或（无意义，舍去）， 故答案为：． 17. 已知，求_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，关键是条件的灵活运用． 由，代入所求分式进行化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：5． 18. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．如分式就是“和谐分式”．若为正整数，且为“和谐分式”，则的值为__________． 【答案】6或10 【解析】 【分析】根据可分解因式设x2+ax+9=(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，根据a为正整数可得pq为1×9或3×3，即可得出p+q的值，可得答案． 【详解】∵可以分解因式， ∴设x2+ax+9=(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq， ∵为正整数， ∴pq=1×9或pq=3×3， ∴a=p+q=10或a=p+q=6， 综上，的值是6或10， 故答案为：6或10 【点睛】本题考查约分、因式分解的意义，解答本题的关键是明确题意，会对题目中的式子分解因式． 三、简答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内积的乘方，然后计算单项式和单项式的乘除运算，然后计算括号外多项式除以单项式即可求解． 【详解】解： ＝ ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，先将三个分式的分母利用十字交叉法化为两个因式的乘积，最后在将三个分式进行通分，化简后得出答案． 【详解】解： ． 21. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．先计算负整数指数幂，然后根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 22. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】先把各项分子分母因式分解，再约分计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出分子分母的公因式． 23 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，先把当成一个整体进行分解，再逐个括号进行分解即可． 【详解】 ． 四、解答题 24. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号里通分合并，同时将除法写成乘法，然后再约分，将代入计算即可，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 25. 已知，，求与的值． 【答案】25，57 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．根据完全平方公式的变形整体求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 若等式成立，求A，B，C的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】此题考查了异分母分式的加法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 将通分化简，然后比较对应得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得：，，． 27. 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： （1）将假分式 为一个整数与一个真分式的和 （2）利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值 【答案】（1） （2）或6或12 【解析】 【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【小问1详解】 解：由题可得，； 【小问2详解】 解：， ∵分式的值为正整数，且x为整数， ∴，，， ∴或6或12． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 28. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即 ∴∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴ 根据材料回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）若，，，，且，求值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可； （2）仿照材料二，设，则，，，代入所求式子即可； （3）解法一：设，化简得：①，②，③，，相加变形可得x、y、z的代入中，可得k的值，从而得结论； 解法二：取倒数得：，拆项得，从而得，，代入已知可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）设，则，，， ∴ （3）解法一：设， ∴①，②，③， ①+②+③得：， ④， ④-①得：， ④-②得：， ④-③得：， ∴，，代入中，得：， ，则， ∴，，， ∴ 解法二：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 将其代入中得：，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了给材料阅读，然后仿做并探索较为复杂的化简计算题型，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上海市浦东新区建平中学西校七年级（上）第三次月考数学试卷 一、选择题 1. 下列代数式，，，，，中，单项式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 对于分式，当x、y都扩大到原来的3倍时，分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来3倍 C. 扩大到原来的9倍 D. 不能确定 3. 分式，，，中，最简分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知，下列计算中错误的是（　　） A B. C. D. 5. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 已知，则（　　） A. B. C. 7 D. 11 二、填空题 7. 若与3是同类项，则mn的值为_____． 8. 若，则_____． 9. 分式的值为负数，求x的取值范围 _________． 10. 已知，求x的值为___________． 11. 将分式表示成只含有正整数指数幂的形式___________． 12. 将分式表示成不含分母的形式____________． 13. 已知，则_______． 14. 如果关于x多项式是完全平方式，那么_____________． 15. 已知关于x的多项式与的积不含二次项和三次项，则_____． 16. 如果，那么___________． 17. 已知，求_____． 18. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．如分式就是“和谐分式”．若为正整数，且为“和谐分式”，则的值为__________． 三、简答题 19 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：． 22. 计算：； 23. 分解因式：． 四、解答题 24. 先化简，再求值：，其中． 25. 已知，，求与的值． 26. 若等式成立，求A，B，C的值． 27. 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： （1）将假分式 为一个整数与一个真分式的和 （2）利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值 28. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即 ∴∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求值． 解：令则，，，∴ 根据材料回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）若，，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$