7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数系的扩充和复数的概念 一、学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程； 2.理解复数的概念、表示法及相关概念； 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件. 【情境探究】 1.回顾一元二次方程的解,明确实数的概念与分类: (1)方程x2-2x-3=0的正整数解是__,有理数解是_____,实数解是_____. (2)方程x2-2x-1=0的无理数解是 ,实数解是 . 必备知识生成 3 3,-1 3,-1 3 2.(1)方程x2=-1在实数集中是否有解? 提示:因为实数的平方都是非负数,所以方程x2=-1在实数集中无解. (2)为了解决此类方程无实数解的问题,我们引入新数i,定义i·i=i2=-1,将实数 集加以扩充,得到一个新的数集,那么此方程在这个数集中就有一个解为__. i 4 3.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零? 提示:当且仅当a=b=0时表示零. (2)实数集R与复数集C有什么关系? 提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集, 即R C. 用图形语言描述: 5 点拨精讲 对于一元二次方程 没有实数根． 引入一个新数： 满足 引入一个新数 ， 叫做虚数单位，并规定 （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． ( 1 ) 复数 定义：我们把形如a+bi (a、b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C= {a+bi | a、b ∈R }叫做复数集 表示法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a、b ∈R).以后不作特殊说明时复数 z=a+bi 都有a、b ∈R,其中的a与b 分别叫做复数的实部与虚部. 复数的代数形式 实部 通常用字母 z 表示，即 虚部 其中 称为虚数单位。 复数的分类： 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) (b＝0)， (b≠0) 纯虚数 ， 非纯虚数____________ 实数 虚数 a＝0，b≠0 a≠0,b≠0 1.下列哪些是纯虚数？它们的实部和虚部分别是多少？ 看看你掌握了吗？ 例1 实数m取什么值时，复数 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 解：（1）当 ，即 时，复数z 是实数． （2）当 ，即 时，复数z 是虚数． （3）当 ，且 ，即 时，复 数 z 是纯虚数． 练习：当实数m为何值时，复数z＝ ＋(m2－2m)i为： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 相等复数 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即如果 ，那么 0 0 = = Û = + b a bi a 两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小 例题讲解 解：根据复数相等的定义，得方程组 所以 例2 已知 ，其中 ，求 . y x 与 探究点二　复数相等及其应用 【典例3】1.已知复数z1=a+2i,z2=2(1+bi),若z1=z2,则实数a,b的值分别为 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.a=1,b=1 B.a=1,b=2 C.a=2,b=1 D.a=2,b=2 2.已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,求实数m的值及方程的实 数根. 15 【思维导引】1.根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值. 2.设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,b∈R)的形式解决. 16 【解析】1.选C.因为复数z1=a+2i,z2=2+2bi,且z1=z2,则实数a=2,2b=2,即a=2, b=1. 2.设a是原方程的实数根,则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0, 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以a2+a+3m=0且2a+1=0, 所以 且 所以 所以 ,方程的实数根为 17 【类题通法】 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方 程组求参数的解. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了 条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则两个虚数不能比较大小. 18 【定向训练】 已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,则实数m的值为_____.  【解析】因为M∪P=P,所以M⊆P. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得 解之得m=1. 或由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得 解之得m=2. 综上可知m=1或m=2. 答案:1或2 19 【补偿训练】 求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y∈R. 【解析】由复数相等的充要条件可知 解得 20 过关练习 判断正误： 1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　) 2．复数z＝bi是纯虚数．(　　) 3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　) × × √ 2. 在2＋，i，0，8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是(　　) ①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i. A．1 B．2 C．3 D．0 A C 3．i是虚数单位，i＋i2＋i3等于(　　) A．－1 B．1 C．－i D．i 4．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 A C 数系的扩充和复数的概念 核心知识 方法总结 核心素养 易错提醒 1.数系的扩充. 2. 复数有关的概念 (1)判断复数是实数、虚数或者纯虚数：①保证复数的实部、虚部均有意义．②根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解． (2)复数相等求参数的步骤：分别确定两个复数的实部与虚部， 利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解． (1)两个复数不全是实数，就不能比较大小． (2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题. (3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要 注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部． 1.数学抽象：复数及相关概念. 2.逻辑推理：复数的分类. 3.数学运算：复数相等求参数. 1、复数的代数形式. 2、复数的实部、虚部. 3、虚数、纯虚数. 4、复数相等. 24 $$