数学（广东卷02）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

2025年高考第一次模拟考试 高三数学（广东卷）02·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C B A A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2024 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）由及正弦定理得， 2分 整理得， 3分 又由余弦定理的推论得，， 5分 因为，所以． 7分 （2）由，，得， 9分 即，可得， 11分 由余弦定理可得， ，即． 13分 16．【详解】（1）根据圆锥性质可得平面，平面， 可得， 2分 又为的中点，利用圆的性质可得， 因为平面， 可得平面， 4分 又平面，所以平面平面. 5分 （2）取的中点为，连接， 又为底面圆的直径，且为的中点， 可知，且为等边三角形， 因此可得两两垂直， 6分 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可知； 所以 因此， 8分 设平面的一个法向量为， 则，令，可得; 即； 10分 设平面的一个法向量为， 则，解得，令，可得; 即； 12分 易知， 14分 所以二面角的正弦值为. 15分 17．【详解】（1）解：因为， 2分 所以，即， 3分 则，解得． 5分 （2）解：设， 由，得，所以，所以 7分 设，即 由于在椭圆上，则，，① 由，得，即 9分 由在椭圆上，则, 即， 即，② 将①代入②得：，③ 11分 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 线段的中点为，设 可知 ， 13分 所以，其中，解得， 所以，方程为 又，④ 将④代入③得：， 经检验满足， 14分 所以椭圆的方程为. 15分 18．【详解】（1）函数定义域为，． 1分 当时，在上是增函数； 2分 当时，由，解得， 由，解得． 所以函数在上是增函数，在上是减函数． 4分 综上所述，当时，在上是增函数； 当时，在上是增函数，在上是减函数． 5分 （2）由题意当时，，整理得． 6分 令函数． 则． 令，则． 当时，恒成立，所以在单调递增． 8分 又， 所以，使得，即． 10分 故时，时，． 因此在单调递减，在单调递增， 12分 所以． 13分 令函数．则， 所以在单调递增，因此． 15分 又， ． 因此整数的最大值为1． 17分 19．【详解】（1）由题意，得， 2分 ， 4分 所以2阶数列为． 5分 （2）因为，又，所以， 6分 所以， 累加得，即， 8分 所以． 9分 （3）因为，及，得， 10分 又，所以，两边同除，得， 当时， ， 11分 所以，时也满足， 所以， 13分 令，则， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 15分 而，所以，即时，取得最小值为． 17分 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 数学（广东卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合.则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 3．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 4．展开式中项的系数为（    ） A．80 B． C．40 D． 5．如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．，都有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足且，则可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．是的一条对称轴 C．的值域为 D．在上单调递减 11．如图，直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，在直四棱柱的表面上运动，则（    ） A．若在棱上运动，则的最小值为 B．若在棱上运动，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹为平行四边形 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则 . 13．已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ； 14．从1，2，…，2024中任取两数，（可以相同），则个位为8的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求；(2)若，，，求． 16．（15分）如图，已知圆锥的底面圆周上有三点，为底面圆的直径，且为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 17．（15分）已知椭圆：的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程． 18．（17分）已知函数．（其中e是自然对数的底，）． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求整数的最大值． 19．（17分）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学（广东卷）02·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合.则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】或， ，所以.故选：C. 2．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 即，即，则， 设等比数列的公比为， 由，得， 即，则，即，所以.故选：C. 3．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为向量在向量上的投影向量是， 所以，化简得， 因为，所以， 解得.故选C. 4．展开式中项的系数为（    ） A．80 B． C．40 D． 【答案】B 【详解】的二项展开式的通项为， 令，得， 所以的展开式中的系数为.故选B. 5．如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把正三棱锥沿剪开，并展开， 形成三个全等的等腰三角形，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，即， 又，根据勾股定理，， 所以是等腰直角三角形， ， 所以侧棱的夹角为.故选：A. 6．若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，即或， 当时，，则， 当时，，则， 所以“”是“”的充分条件. 若时，满足，而， 所以“”是“”的不必要条件. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得， 直线方程为，即， 联立，可得，解得或， 又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为， 由，所以， 在点处的切线斜率为， 又在点处的切线平行于的一条渐近线， 双曲线的一条渐近线的斜率为， 双曲线的渐近线方程为．故选：D． 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．，都有 【答案】C 【详解】设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以，， 所以，即， 所以函数的解析式为，故不正确； 当时，令，解得，当时，令，解得， 所以函数有三个零点，故不正确； 当时，令，解得，当时，令，解得， 所以的解集为，故C正确； 当时，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 又当从左侧趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 所以当时，函数的值域为， 当时，， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 又当从右侧趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 所以当时，函数的值域为， 当时，， 所以，都有，所以D不正确.故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足且，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，若，则， ， ，故A正确； 对于B，若，则， ，故B错误； 对于C，若，则， ，故C错误； 对于D，，则， ，且，故D正确. 故选：AD. 10．已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．是的一条对称轴 C．的值域为 D．在上单调递减 【答案】BC 【详解】，图像如图所示： 由图像可得，函数的最小正周期为，故选项A错误，不符合题意； 是的一条对称轴，故选项B正确，符合题意； 的值域为，故选项C正确，符合题意； 在上先增后减，选项D错误，不符合题意； 故选：BC. 11．如图，直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，在直四棱柱的表面上运动，则（    ） A．若在棱上运动，则的最小值为 B．若在棱上运动，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹为平行四边形 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【详解】由题意可得，.将平面和平面， 沿直线展开，如图2，在中，，，所以， 则的最小值为，故A错； 平面平面平面， 即到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 又为定值， 所以为定值，故B正确； 如图3，连接， 由正四棱柱的性质可得四边形为正方形，故， 而为中点，故，故， 而平面，平面，故， 又，平面，故平面， 故平面，而平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故. 在梯形中，，而， 故，故，而，故同理可证， 而平面， 则平面点的轨迹为平行四边形，故C正确； ，如图4，以为球心，为半径作球， 则点的轨迹即为该球与直四棱柱各面截球所得的弧， 在线段上取一点，使得上取一点，使得， 则，平面截球得，长度为，平面截球得， 长度平面平面截球得，长度为， 同理可得，平面截球得，长度为，平面与球相切与点， 则点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则 . 【答案】 【详解】由平方得：， 由平方得：， 两式相加得：， 所以，所以，故答案为：. 13．已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ； 【答案】2024 【详解】因为，所以函数关于对称， 又的图像关于对称， 所以两函数的交点也关于对称，对于每一组对称和，都有，． 从而．故答案为：2024． 14．从1，2，…，2024中任取两数，（可以相同），则个位为8的概率为 【答案】 【详解】从1，2，⋯，2024中任取两数a，b(可以相同)，共有种取法， 因为的个位数字随着从1开始，依次是，周期变化， 的个位数字随着从1开始，则依次是，周期变化， 故它们的周期均为， 所以，中，共有种数型， 且每种数型的个数是均等的，都是个， 和的尾数中只有三种情形中个位数字是， 即时，的个位数字是，， 所以满足的个位数字是的取法有种取法， 所以所求概率为. 即个位为的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，，，求． 【详解】（1）由及正弦定理得， 2分 整理得， 3分 又由余弦定理的推论得，， 5分 因为，所以． 7分 （2）由，，得， 9分 即，可得， 11分 由余弦定理可得， ，即． 13分 16．（15分）如图，已知圆锥的底面圆周上有三点，为底面圆的直径，且为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【详解】（1）根据圆锥性质可得平面，平面， 可得， 2分 又为的中点，利用圆的性质可得， 因为平面， 可得平面， 4分 又平面，所以平面平面. 5分 （2）取的中点为，连接， 又为底面圆的直径，且为的中点， 可知，且为等边三角形， 因此可得两两垂直， 6分 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可知； 所以 因此， 8分 设平面的一个法向量为， 则，令，可得; 即； 10分 设平面的一个法向量为， 则，解得，令，可得; 即； 12分 易知， 14分 所以二面角的正弦值为. 15分 17．（15分）已知椭圆：的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程． 【详解】（1）解：因为， 2分 所以，即， 3分 则，解得． 5分 （2）解：设， 由，得，所以，所以 7分 设，即 由于在椭圆上，则，，① 由，得，即 9分 由在椭圆上，则，即， 即，② 将①代入②得：，③ 11分 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 线段的中点为，设，可知， ， 13分 所以，其中，解得， 所以，方程为 又，④ 将④代入③得：， 经检验满足， 14分 所以椭圆的方程为. 15分 18．（17分）已知函数．（其中e是自然对数的底，）． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求整数的最大值． 【详解】（1）函数定义域为，． 1分 当时，在上是增函数； 2分 当时，由，解得，由，解得． 所以函数在上是增函数，在上是减函数． 4分 综上所述，当时，在上是增函数； 当时，在上是增函数，在上是减函数． 5分 （2）由题意当时，，整理得． 6分 令函数． 则． 令，则． 当时，恒成立，所以在单调递增． 8分 又， 所以，使得，即． 10分 故时，时，． 因此在单调递减，在单调递增， 12分 所以． 13分 令函数．则， 所以在单调递增，因此． 15分 又，． 因此整数的最大值为1． 17分 19．（17分）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 【详解】（1）由题意，得， 2分 ， 4分 所以2阶数列为． 5分 （2）因为，又，所以， 6分 所以， 累加得，即， 8分 所以． 9分 （3）因为，及，得， 10分 又，所以，两边同除，得， 当时， ， 11分 所以，时也满足， 所以， 13分 令，则， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增 15分 而，所以，即时，取得最小值为． 17分 9 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第一次模拟考试 数学（广东卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合.则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 3．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 4．展开式中项的系数为（    ） A．80 B． C．40 D． 5．如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．当时， C．的解集是 D．，都有 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足且，则可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．是的一条对称轴 C．的值域为 D．在上单调递减 11．如图，直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，在直四棱柱的表面上运动，则（    ） A．若在棱上运动，则的最小值为 B．若在棱上运动，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹为平行四边形 D．若，则点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则 . 13．已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ； 14．从1，2，…，2024中任取两数，（可以相同），则个位为8的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求；(2)若，，，求． 16．（15分）如图，已知圆锥的底面圆周上有三点，为底面圆的直径，且为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 17．（15分）已知椭圆：的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，试求椭圆的方程． 18．（17分）已知函数．（其中e是自然对数的底，）． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若恒成立，求整数的最大值． 19．（17分）已知给定数列，从第二项起后项与前项作差，得到新数列，定义这个新数列为数列的阶差数列，记为，继续上述操作，得到新数列，称为的阶差数列，记为，一般地，对任意，称数列为数列的阶差数列． (1)写出数列的阶差数列； (2)若数列的首项阶差数列，求的通项公式； (3)若数列的首项，且，求数列的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第一次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$