【进阶优等生系列】【2024-2025学年沪教版（五四制）七年级数学上册寒假培优自学课】复习专题04-乘法的乘法与乘法公式综合

2024-2025寒假培优自学课 寒假自学课《专题04 整式的乘法与乘法公式综合》-培优课 目录 1、 【提高篇】共26题； 2、 【进阶篇】共14题； 【提高篇】 1．计算： ．（结果用幂的形式表示） 2．已知，则 . 3．计算： 4．已知，，则 ． 5．计算 ． 6．已知（都是正整数），用含的式子表示． 7．计算： ． 8．计算： ． 9．计算：． 10．计算： 11．计算： 12.计算： ． 13． 14．计算： 15．多项式的积中项的系数是 ． 16．，求的值． 17．已知，那么 ． 18．用乘法公式计算： 19．已知，满足，则 ． 20．先化简，再求值：，其中． 21．已知的展开式中不含和项． (1)求m与n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 22．已知，求（1）的值；（2）的值． 23．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 24．已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 25．如图，长方形ABCD的周长是12厘米，以、AB、BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF，如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为18平方厘米，那么长方形ABCD的面积是（    ） A．6平方厘米 B．8平方厘米 C．9平方厘米 D．10平方厘米 26．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分面积为 ． 【进阶篇】 1．如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 2．若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 5．已知多项式与的乘积不含和两项．求代数式的值． 6．若的展开式中不含和项，求、得值． 7．若是一个关于的完全平方式，那么k值是（    ） A． B． C． D． 8．现规定一种运算，则 ． 9．已知，，那么的值为 ． 10．（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    11．用幂的运算性质计算：． 12．从这两个公式中，我们可以看到，完全平方公式的展开式由三项构成，分别是、和．现有一个多项式为，请你再添加一个单项式使其成为一个多项式的完全平方你可以添加哪几个单项式？请直接写出答案． 13．已知，． (1)求的值；(2)求的值． 14．已知关于的多项式减去的差是一个单项式，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025寒假培优自学课 寒假自学课《专题04 整式的乘法与乘法公式综合》-培优课 目录 1、 【提高篇】共26题； 2、 【进阶篇】共14题； 【提高篇】 1．计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】运用同底数幂运算法则即可求解，本题主要考查同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．已知，则 . 【答案】 【分析】根据题意得到，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则得到，代入即可求出结果. 本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】首先计算积的乘方和幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了积的乘方幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了幂的乘方，根据幂的乘方的逆运算即可求解，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．计算 ． 【答案】1 【分析】首先逆用幂的乘方运算将式子转化成然后逆用积的乘方运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了幂的乘方运算和积的乘方运算的逆用，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算和积的乘方运算的逆用法则． 6．已知（都是正整数），用含的式子表示． 【答案】 【分析】运用逆用幂的乘方、积的乘方进行解答即可． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查了逆用幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】/ 【分析】先根据积的乘方运算法则进行计算，然后再按照单项式乘单项式运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则，准确计算． 9．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以单项式及积的乘方可进行求解． 【详解】解：原式 ． 10．计算： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可求解． 【详解】解： 11．计算： 【答案】 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法和加法运算即可得到结果． 【详解】解：原式 【点睛】此题考查了整式的加法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解题的关键． 13． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先去括号，再合并同类项即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 14．计算： 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式，进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 15．多项式的积中项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法法则的应用，根据多项式乘以多项式法则可知，相乘后积中的项为，然后再合并同类项即可，解题的关键是确定出的项． 【详解】根据多项式乘以多项式的法则可知，多项式的积中是项的是： ， ， ， 故答案为：． 16．，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查多项式乘多项式，先对等式左边进行变形得，再与右边对照，相应的系数对应相等，即可求出值． 【详解】解： ∵， ∴，解得： 17．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握是解题的关键．把条件式化为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解：解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：17． 18.用乘法公式计算： 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 19．已知，满足，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．先将转化为，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【详解】解： ， ， ， 又， ， 故答案为：0． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算与化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ； 把代入中，得，原式． 21．已知的展开式中不含和项． (1)求m与n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练运用整式的乘法运算法则和完全平方公式的变形求解代数式的值是解题的关键． （1）根据整式的运算法则进行化简，使得项和项的系数为0即可求出答案； （2）先利用完全平方公式的变型得到，然后代入即可求出答案． 【详解】（1）解： 由于展开式中不含项和项， ∴且， ∴解得：， （2）由（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．已知，求（1）的值；（2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形公式的应用，求解代数式的值； （1）把化为，再整体代入计算即可； （2）先根据求解，再整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）∵， ∴ ， ∴． 23．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了完全平方公式，根据完全平方公式的特点即可求解，解题的关键是熟练掌握公式的应用． 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 24．已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出A，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ②若是多项式的平方， 则； 故答案为：、和． 25．如图，长方形ABCD的周长是12厘米，以、AB、BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF，如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为18平方厘米，那么长方形ABCD的面积是（    ） A．6平方厘米 B．8平方厘米 C．9平方厘米 D．10平方厘米 【答案】C 【分析】由完全平方公式，求出的值，即可解决问题． 【详解】解：∵正方形和的面积之和为， ， ∵长方形的周长是， ， ， ， ， ∴长方形的面积是（平方厘米） ． 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，关键是应用此公式求出与的积． 26．如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】用大正方形的面积减去两个空白三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：依题意， 把，代入， 得， 故答案为：8 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，难度适中，需要熟练掌握完全平方公式及其变式． 【进阶篇】 1．如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出、的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键． 2．若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏解．根据，、为整数，可得、有组值，分别计算即可得出的值，从而作出判断． 【详解】解：， ， 即， 、为整数，， ，或，或，或，或，或，， 或或或或或， 即的值为，，，不可能为， 故选：B． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用．根据积的乘方的逆用法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．阅读并填空： 我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 【答案】，，，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键．利用多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，求解多项式的乘方即可． 【详解】解 ：由题意知，． ． ． 利用“贾宪三角”可知：． ∵第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， …… ∴可推导一般性规律为：第n个数是． 故答案为：，，，，． 5．已知多项式与的乘积不含和两项．求代数式的值． 【答案】2 【分析】先计算，根据乘积不含和两项，求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ； ∵乘积不含和两项， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查多项式乘积不含某项的问题．熟练掌握多项式乘多项式法则，是解题的关键． 6．若的展开式中不含和项，求、得值． 【答案】， 【分析】求多项式乘多项式的展开式为，根据题意可得，，计算求解即可． 【详解】解： ， ∵展开式中不含和项， ∴，， 解得，，． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 7．若是一个关于的完全平方式，那么k值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键． 8．现规定一种运算，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式“，”，熟记乘法公式是解题关键．根据规定的运算，将所求式子进行转化，再利用乘法公式进行计算即可得． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 9．已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】首先用完全平方公式展开合并得到原式，再进行配方得到原式，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，，原式． 故答案为：304． 【点睛】本题考查了完全平方公式和整体代入，解题关键是掌握． 10．（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    【答案】（1）；；证明见解析；（2）；；，证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）仿照（2）中方法计算结果，利用多项式乘多项式法则验证即可． 【详解】（1）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； （2）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：等式右边 左边 ； （3）由（2）可得 11．用幂的运算性质计算：． 【答案】2 【分析】根据同底数幂的乘法逆运算，将原式化为，再根据平方差公式，计算括号里面的，即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；以及平方差公式． 12．从这两个公式中，我们可以看到，完全平方公式的展开式由三项构成，分别是、和．现有一个多项式为，请你再添加一个单项式使其成为一个多项式的完全平方你可以添加哪几个单项式？请直接写出答案． 【答案】我可以添加4个单项式，它们是4，，和 【分析】根据完全平方的特点进行解答即可． 【详解】解： 所以，我可以添加4个单项式，它们是4，，和 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 13.已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）对展开、移项就可得到的代数式，再将代入即可得到答案； （2）利用完全平方公式对进行展开，再合并同类项可得，再将、代入即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解： ， ，， 原式， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟练运用完全平方公式对式子展开是解题的关键． 14．已知关于的多项式减去的差是一个单项式，求的值． 【答案】当时，；当时，；当时， 【分析】先根据题意求得这个单项式为，根据单项式的定义得出或，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ 是一个单项式， ∴或 ∴或， 则当时，， 当时，， 当时， 【点睛】本题考查了平方差公式，单项式的定义，代数式求值，分类讨论是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$