精品解析：广西贵港市覃塘区2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

2024年秋季期期中教学质量监测试卷九年级数学 （本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间120分钟，赋分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑） 1. 若反比例函数的图像经过点，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是( ) A. 2 B. C. D. －3 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 4. 一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应周长之比是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知方程 的解是，则方程，它的解是（ ） A B. C. D. 10. 如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图，在中，，，，若内接正方形边长是，则的数量关系为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ________． 14. 在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是________米. 15. 已知是方程一个实数根，则该方程的另一个实数根是______． 16. 如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O)，灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面3m，灯泡距离纸片1m，则阴影与纸片的面积比为________． 17. 读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为_________ 18. 如图，在正方形中，延长至点E，以边向下画正方形，连接交于点H，，连接，若的面积为30，则的长为 _________________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）向左平移3个单位，向上平移1个单位，请在网格中画出平移后的； （2）在网格中，以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）写出、两点的坐标． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 22. 某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米． （1）请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． （2）“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 23. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 24. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 26. 如图1，折叠矩形纸片，具体操作：①点E为边上一点（不与点A，D重合），把沿所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②将沿所在的直线折叠，折痕所在的直线交于点G，D点的对称点为H点． （1）求证：． （2）如图2，若，若点C恰在直线上， ①求线段的长； ②如图3，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期期中教学质量监测试卷九年级数学 （本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，考试时间120分钟，赋分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑） 1. 若反比例函数的图像经过点，则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，直接利用待定系数法求解即可． 【详解】解：把点代入中得：，解得， 故选：A． 2. 一元二次方程的一次项系数是( ) A. 2 B. C. D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成比例线段．根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，所以四条线段成比例，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——配方法过程步骤为：1．把原方程化为一般形式．先移常数项，再将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而得出配方的结果． 【详解】解： ， 故选：A． 5. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形对应边的比叫相似比，周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：两个相似三角形对应边之比是， 两个相似三角形的相似比为， 它们的周长比为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，关键是熟练掌握相似三角形对应边的比叫相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 7. 已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则，． 【详解】解：∵， ∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 8. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意， 故选：A． 9. 已知方程 的解是，则方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 由题意知，的解为或，计算求解即可． 【详解】解：∵方程 的解是， ∴的解为或， 解得，或， 故选：C． 10. 如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质，掌握相似三角形判定与性质是解题关键． 由题意可知目标偏离的距离为或，且，根据，得出，得出，即，求出，继而求出即可． 【详解】解：依题意得：由题意可知目标偏离的距离为或，且 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴ 故选：A． 11. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，利用点A的坐标求出函数解析式，求出点B的坐标，利用三角形面积公式和梯形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，则， ∵， ∴， ∵反比例函数在第一象限内的图象经过点 ∴，解得， ∴， 把代入得， ∴点B的坐标是， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，求出是解题的关键． 12. 如图，在中，，，，若内接正方形的边长是，则的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，先根据正方形的性质得到，从而证明 ，根据相似三角形的性质可列出比例式，再通过证明四边形是矩形表示出的长度，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，正方形的边长是， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：. 14. 在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是________米. 【答案】 【解析】 【分析】图上距离和比例尺已知,依据"实际距离-图上距离比例尺"即可求出A、 B 两地的实际距离． 【详解】解:∵比例尺为1：10000，A，两地的距离是3cm， 设A，B两地的实际距离为cm， ∴ ∴， ∵， ∴A，B两地的实际距离为300米． 故答案为:300． 【点睛】本题主要考查图上距离、际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算． 15. 已知是方程的一个实数根，则该方程的另一个实数根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次根与系数的关系，由， 且是方程的一个实数根，即可求出另外一个实数根． 【详解】解：∵，且是方程的一个实数根， ∴该方程的另一个实数根是， 故答案为： 16. 如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O)，灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面3m，灯泡距离纸片1m，则阴影与纸片的面积比为________． 【答案】##9 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，然后利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 17. 读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，十位数字为，周瑜逝世的年龄为，且个位数字的平方刚好是周瑜逝世的年龄，即，由此列式即可求解． 【详解】解：个位数字为，则十位数字为， ∴， 故答案为： ． 18. 如图，在正方形中，延长至点E，以边向下画正方形，连接交于点H，，连接，若的面积为30，则的长为 _________________． 【答案】2 【解析】 【分析】设正方形和正方形的边长分别为a、b，得到，根据，得到，根据，得到，得到，求得，根据的面积为30，得到，解得，得到，即得． 【详解】解：设正方形、正方形的边长分别为a、b， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为30， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的面积公式，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 解得：， ； 【小问2详解】 解： ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）向左平移3个单位，向上平移1个单位，请在网格中画出平移后的； （2）在网格中，以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）写出、两点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，画位似图形，数形结合是解题的关键． （1）将的各个顶点向左平移3个单位，向上平移1个单位得到对应顶点，再把对应顶点顺次连接即可； （2）根据位似的性质即可作图； （3）从坐标系中直接读取坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：即为所求： 【小问3详解】 解：由上图坐标系可得：，． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 22. 某校社会实践小组为了测量大雁塔高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米． （1）请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． （2）“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1） （2），可多次测量，取测量数据的平均值 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用； （1）根据相似三角形的对应边成比例的建立方程，解出长，然后计算即可． （2）根据有理数的减法计算，然后提出减小误差的方法即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 解得， 答：大雁塔高度 为 米. 【小问2详解】 误差为(米). 减小误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值(合理即可). 23. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． 24. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（舍）． 答：年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ， 整理得：， 解得：，． ∵售价不超过20元， ∴． 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【小问1详解】 解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； 又，即， 所以， 故点纵坐标为4或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． 【小问3详解】 结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 26. 如图1，折叠矩形纸片，具体操作：①点E为边上一点（不与点A，D重合），把沿所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②将沿所在的直线折叠，折痕所在的直线交于点G，D点的对称点为H点． （1）求证：． （2）如图2，若，若点C恰在直线上， ①求线段的长； ②如图3，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可； （2）①由折叠可知，，，由矩形的性质得出，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理求出，由相似三角形的性质求出，再利用勾股定理即可得出答案． ②如图2中，连接，由翻折的性质可知垂直平分线段，利用面积法可得． 小问1详解】 解：如图1中由折叠可知，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ 【小问2详解】 解：①如图2中，由折叠可知，，， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在直线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴， ∴． ②连接交于O．由折叠可知垂直平分线段， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，矩形与折叠问题，等角对等角，勾股定理的等知识，利用面积法求解解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $