精品解析：重庆市云阳县第二初级中学教育集团2024-2025学年八年级上学期12月定时作业数学试题

云阳县初二中教育集团2024年秋季12月定时作业 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟、试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题的有四个选项．但只有一个是正确的，请选出来） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 4. 一个多边形，其内角和是外角和的3倍，那么它是（ ）边形 A. 四 B. 六 C. 八 D. 九 5. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则 为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 与中，已知 ，添加一个条件，不能使得的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 8. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. 10 D. 5 9. 如图， 是边长为4的等边三角形，是等边 的 边上的中线，F是边上的动点，E是边上动点．当取得最小值时，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角三角形中，过点A作 使得，连接交于点E，在上取一点F使得 ，连接交于点G，连接，则 ①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_________． 12. 若点与点关于y轴对称，则______． 13. 因式分解：__________． 14. 如图，在 中，∠ACB=90°，∠B=15°，点D为AB中点，DE⊥AB交BC于点E，BE=8cm，则AC=________cm． 15. 若，则代数式值为______． 16. 中，， ，则______． 17. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_____． 18. 任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是 ，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则______；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分，写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 19. 计算 （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中， 21. 如图，在四边形中，，连接 ． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交 于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作图形中，若，求证：是的中点．（补全证明过程） 证明： 平分 ， ∴ ① ∴ ② ， ∴ ③ 在 和中， ， ， ∴ ④ 是的中点． 22. 电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量.为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数． 23. 如图，已知 三个顶点的坐标分别为、、． （1）与 关于y轴成轴对称，请你在图中画出，并写出点的坐标： ； （2）求 的面积； （3）在y轴上是否存在一点P，使 的面积是 面积的一半，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 24. 某商店计划同时购进一批甲、乙两种型号的计算器，若购进甲型计算器3只和乙型计算器5只，共需资金370元，若购进甲型计算器2只和乙型计算器7只，共需资金430元． （1）求甲、乙两种型号的计算器每只进价是多少元？ （2）该商店计划购进两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器资金不少于2250元但又不超过2270元，该商店共有几种进货方案？ 25. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 26. 在平面直角坐标系中，，作点A关于y轴的对称点C，连接平分 交于D． （1）如图1，求 的度数； （2）如图2，过点C作 ，垂足为E，猜想 与的数量关系，并证明； （3）如图3，以为边在x轴上方作等边 ，点G是边 垂直平分线上一动点，连接 ，将沿翻折，点G的对应点为，过作，垂足为M当最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云阳县初二中教育集团2024年秋季12月定时作业 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟、试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题的有四个选项．但只有一个是正确的，请选出来） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念判断即可，熟练掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解决此题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照单项式与单项式的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．与不是同类项，不能合并，故不正确； D．，故不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式与单项式的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 故第三边的长度，即， ∴这个三角形的第三边长可以是4． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可． 4. 一个多边形，其内角和是外角和的3倍，那么它是（ ）边形 A. 四 B. 六 C. 八 D. 九 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和等知识点，设出多边形的边数，根据内角和与外角和的关系列出方程，解方程即可得解，熟练掌握多边形的外角和恒为，若一个多边形是n边形，其内角和是解决此题的关键． 【详解】解：设该多边形是n边形， 由题意：， 解得：， 故选：C． 5. 把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，直角三角形两个锐角互余．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得 ，， ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，在 与中，已知 ，添加一个条件，不能使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要证明，由已知条件 ，，再加一个条件，可以根据， 来判断． 【详解】解：根据三角形全等的判定定理， A， ， ，，符合，能使得成立，不符合题意； B， ，，，符合，能使得成立，不符合题意； C， ，，，符合 ，能使得成立，不符合题意； D， ，，，不能使得成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了证明三角形全等的判断定理，解题的关键是：熟练应用三角形全等的判定定理：． 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握三角形分类、等腰三角形性质、等边三角形的判定等知识． 根据三角形分类、等腰三角形性质、等边三角形的判定逐项判断． 【详解】解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故A是假命题，不符合题意； B、等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意； D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故D是假命题，不符合题意； 故选：B． 8. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴； 故选A． 9. 如图，是边长为4的等边三角形，是等边的边上的中线，F是边上的动点，E是边上动点．当取得最小值时，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题、等边三角形的性质等知识点，根据轴对称性和等边三角形的性质，作于点，交于点，此时最小，进而即可求解，解决本题的关键是准确找到点和的位置． 【详解】解： 是边长为4的等边三角形，是等边的边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点， 点C关于直线的对称点是点B， ∴， ， 当，且B、F、E三点共线时，取得最小值， 过点作于点，交于点，连接 ， 是等边三角形， ∴ 垂直平分， , ， ， 是等边的边上的中线， ， ， 故选： ． 10. 如图，在等腰直角三角形中，过点A作 使得，连接交于点E，在上取一点F使得 ，连接交于点G，连接，则 ①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质及三角形内角和定理可求出,证明四边形是平行四边形得,进而得,则,然后可求出 的度数，进而可对①进行判断；②过点作 交 的延长线于,则四边形是正方形，从而得,根据在中，得,由此可对进行判断； 根据得,由此可对 进行判断；证明 和全等得,由此可对进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：为等腰直角三角形， ,,, , , , , , , , , , , , ,, 四边形是平行四边形， , , , , ,故正确，符合题意； 过点作 交 的延长线于,如图所示， , , 四边形是矩形， 又 , 矩形是正方形， , 又 , , 在中，, , ,故不正确，不符合题意； , , , ,故 正确，符合题意； , , , 在 和中, , , , 故正确，符合题意； 综上所述：正确的是：， 故选： ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的内角和及外角性质等知识点，熟练掌握掌握全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质是解决此题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方和零指数幂，熟练掌握有理数的乘方和零指数幂的运算法则是解题的关键； 利用有理数的乘方和零指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：10． 12. 若点与点关于y轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特征，根据关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等进行解答即可，熟练掌握关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标相等；关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等是解决此题的关键． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 故答案为：． 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 14. 如图，在中，∠ACB=90°，∠B=15°，点D为AB中点，DE⊥AB交BC于点E，BE=8cm，则AC=________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据垂直平分线性质，知AE=BE=8，从而求得∠AEC＝30°，利用直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】∵点D为AB中点，DE⊥AB交BC于点E， ∴DE垂直平分AB， ∴AE=BE=8， ∴， ∵， ∴∠AEC＝30°， ∵∠ACB＝90°，AE=8， ∴AC=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，灵活运用上述知识是解题的关键． 15. 若，则代数式值为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的求值，先求出，再整体代入原式计算即可，熟练掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，正确计算结果是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：25． 16. 中，， ，则______． 【答案】 ##36度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，先设度，然后根据，三角形内角和为 ，得出关于x的方程，解方程即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， 故答案为： ． 17. 若关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据不等式组有且只有3个整数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据的解是正整数，确定a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵该不等式组有且只有3个整数解， ∴该不等式组的三个整数解为3，2，1， ∴， 解得， 由可得， ∵关于y的一元一次方程的解是正整数， ∴或10， ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：18． 【点睛】本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 18. 任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是 ，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则______；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，，则，当时，，则，计算求解即可；由题意知，，，则，，，由为整数，可知，，由题意知，当值最大时，的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 当时，， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或， 由题意知，当值最大时，的值最大， 当时，最大的值为5，此时 ，的最大值为； 当时，最大的值为9，此时 ，的最大值为； 当时，最大的值为4，此时 ，的最大值为； ∵， ∴满足条件的“十拿九稳数”的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分，写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， (1)原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果； (2)原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果； 熟练掌握整式的混合运算法则是解决此题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中， 【答案】，5 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式等知识点，先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解决此题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 21. 如图，在四边形中，，连接 ． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作图形中，若，求证：是的中点．（补全证明过程） 证明： 平分 ， ∴ ① ∴ ② ， ∴ ③ 在 和中， ， ， ∴ ④ 是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）① ；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法作出 的角平分线即可； （2）先根据等腰三角形的性质得，再根据证明即可得出结论． 【小问1详解】 解：以点A为圆心，任意长为半径作弧，与 交于点M、N，再以点M、N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交于点F，交于点E，如图： 射线即为所求； 【小问2详解】 解：平分 ， ∴ ∴ ， ∴ 在 和中， ， ， ∴ 是的中点． 故答案为：① ；②；③；④ ． 【点睛】本题主要考查了基本作图，等腰三角形性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 22. 电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量.为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数． 【答案】（1）100， （2） 补全条形统计图如下： ． （3）510名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用类所对应的学生人数除以其所占的百分比即可得本次被抽查的学生总人数；再利用乘以类所对应的学生人数所占的百分比即可得类所对应的圆心角度数； （2）先求出类所对应的学生人数，再据此补全条形统计图即可得； （3）利用该校初中学生总人数乘以类所对应的学生人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次被抽查的学生总人数为（名）， 类所对应的圆心角度数为 ， 故答案为：100， ． 【小问2详解】 解：类所对应的学生人数为（人）； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“不太了解及不了解”的人数为510名． 23. 如图，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）与关于y轴成轴对称，请你在图中画出，并写出点的坐标： ； （2）求的面积； （3）在y轴上是否存在一点P，使 的面积是面积的一半，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）图见解析， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形等知识点， （1）根据轴对称的性质作图即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，分两种情况讨论计算即可得解； 熟练掌握轴对称变换和利用网格求三角形面积的方法是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 由图； 【小问3详解】 存在，理由如下， 设， ∵P为y轴上的一点，使 的面积是面积的一半， ∴， ∴或， ∴或． 24. 某商店计划同时购进一批甲、乙两种型号的计算器，若购进甲型计算器3只和乙型计算器5只，共需资金370元，若购进甲型计算器2只和乙型计算器7只，共需资金430元． （1）求甲、乙两种型号的计算器每只进价是多少元？ （2）该商店计划购进两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器资金不少于2250元但又不超过2270元，该商店共有几种进货方案？ 【答案】（1）甲种型号的计算器每只进价是40元 只，乙种型号的计算器每只进价是50元 只 （2）3种 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）设甲种型号的计算器每只进价是元，乙种型号的计算器每只进价是元，根据“购进甲型计算器3只和乙型计算器5只，共需资金370元，购进甲型计算器2只和乙型计算器7只，共需资金430元”，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种型号计算器只，则购进乙种型号计算器只，根据购买这两种型号的计算器资金不少于2250元但又不超过2270元，列出一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种型号的计算器每只进价是元，乙种型号的计算器每只进价是元， 依题意得：， 解得：， 答：甲种型号的计算器每只进价是40元 只，乙种型号的计算器每只进价是50元 只． 【小问2详解】 解∶ 设购进甲种型号计算器只，则购进乙种型号计算器只， 依题意得：， 解得：， 又 为正整数， ，24，25， 该商店有3种进货方案． 25. 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 在△BAC和△DAE中， ∵ ， ∴； （2） ； （3） 证明：延长BF到G，使得 ， ∵ ， ∴ ， 在△AFB和△AFG中， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵ ， ∴， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得 ，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得 ，再根据直角三角形的两锐角互余求得 即可求解； （3）延长BF到G，使得 ，根据全等三角形的判定与性质证明，得到 即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， 由（1）知 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 26. 在平面直角坐标系中，，作点A关于y轴的对称点C，连接平分 交于D． （1）如图1，求 的度数； （2）如图2，过点C作 ，垂足为E，猜想 与的数量关系，并证明； （3）如图3，以为边在x轴上方作等边 ，点G是边 垂直平分线上一动点，连接 ，将沿翻折，点G的对应点为，过作，垂足为M当最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而得到，由角平分线的定义得到，再根据对称的性质得到，推出，利用三角形外角的性质即可解答； （2）如图，延长交于点，利用等腰三角形三线合一证明，再证明，即可得出结论； （3）过点G作轴，垂足为Q，连接，设 的垂直平分线与 交点为P，证明是等边三角形，，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵平分 ， ∴， ∵点A与点C关于y轴的对称， ∴ ， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：猜想，证明如下： 如图，延长交于点， ∵，平分 ， ∴,,, ∴, ∴, ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点G作轴，垂足为Q，连接，设 的垂直平分线与 交点为P， ∵ 是等边三角形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴ 平分， ∵， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分， ∵， ， ∴， 同理， ∴． 【点睛】本题考查坐标与与性，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $