精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学十二月份月考试题 一、单选题（共8题，每题5分） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出条件和结论中的两个不等式，通过解集的包含关系判断结果． 【详解】不等式解得，不等式解得， ，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得集合A，利用对数函数的单调性及真数的概念可得集合B，根据交集的概念可得结果. 【详解】由题意得，， ， ∴. 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过换元法及常数分离进行求解. 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以． 故选：B 4. 函数在上是单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数在上单调递减，需每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式组，求出答案. 【详解】因为在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断函数奇偶性，再由趋向于，结合幂指数函数增长变化研究图象变化趋势，应用排除法即可得答案. 【详解】由解析式知，函数定义域为R，且，即为奇函数，排除B、D； 当趋向于时，、都趋向于，而的变化率快于，所以趋向于0，排除C. 故选：A 6. 已知，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对应指对数函数的性质判断大小关系. 【详解】由指对数函数性质知：. 故选：C 7. 已知奇函数满足，且在上单调递增，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设有在上单调递增，，且上，上，并将不等式化为，即可求解集. 【详解】由奇函数满足，且在上单调递增， 所以在上单调递增，， 且上，上 所以，等价于， 综上，不等式解集为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据奇函数性质得到上，上，不等式化为求解. 8. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的性质可得，再由指数函数的性质确定图象所过的定点. 【详解】由题设知，可得，则， 当时，，故恒过定点. 故选：A 二、多选题（共3题，每题6分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是3，从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于C，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断,对于D，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断； 【详解】对于A，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，A正确； 对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故B错误； 对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故C错误． 对于D，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故D正确； 故选：AD． 10. 函数过定点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得，利用集合与元素的关系可得，即可得A；借助“1”的活用可得B；借助基本不等式及指数运算法则计算可得C；借助对数运算结合基本不等式计算可得D. 【详解】对A：由，故， 由， 故有，即，故A错误； 对B：由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当时，等号成立， 即最大值为，故D错误. 故选：BC. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，赋值计算判断AB；利用奇函数的性质求解判断CD. 【详解】在上的奇函数满足，当时，， 对于A，由，得，A正确； 对于B，，，函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，得，则， 因此函数的图象关于点中心对称，C正确； 对于D，，当时，，设，则， 于是，因此， 所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 若，则用来表示是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用换底公式以及对数的运算性质求解. 【详解】若，所以. 故答案为：. 13. 定义在上的函数满足，且当时，，则的单调增区间为 ____________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性及偶函数的性质求解. 【详解】当时，， ∴当时，单调递减；当时，单调递增， ∵函数满足定义域关于原点对称，且，∴是偶函数，图象关于轴对称. ∴当时，单调递增；当时，单调递减， 则的单调增区间为，. 故答案为：，. 14. 已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，则不等式的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令有，可得在上单调递增，利用奇偶性定义可得为奇函数，根据已知有，再由并讨论范围求解集. 【详解】不妨令，则，即， 所以，令，则其在上单调递增， 又是定义域为的偶函数，则， 所以为奇函数，故其在上单调递增， 又，，不等式化为， 当，则，即， 当，则，即， 综上，不等式解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题设得到在上单调递增，且为奇函数是关键. 四、解答题 15. 设全集是，集合． （1）若，求； （2）问题：已知__________，求实数的取值范围． 从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． ①② ③ 【答案】（1）； （2）所选条件见解析，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，应用集合交、补运算求集合； （2）根据所选条件，结合交并集结果列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，则； 【小问2详解】 若选①：，则， 时，； 时，，无解； 综上：； 若选②：，则，则； 若选③：， 时，有； 时，，可得； 综上：. 16. 已知函数是奇函数，且． （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）当时，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 在上单调递增，证明如下： 由（1）得，. 证明：，且， 则， ∵，∴，， ∴ ∴即 ∴在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）由，可得的值. （2）由（1）得，利用单调性的定义可证明在单调递增. （3）根据函数为奇函数把不等式等价变形，利用函数的单调性可解不等式. 【小问1详解】 ∵函数是奇函数，，∴， ∴，解得，经检验得，为奇函数， ∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， 由为奇函数得，， ∴. 由（2）得，在上单调递增， ∴在上单调递增， ∵，∴，， ∴，解得或， ∴不等式的解集为． 17. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）求满足的的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）奇函数性质得恒成立，即可求参数； （2）由题设及对数运算性质有，即可求范围. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，可得，则或， 当，则，不合题设，故. 【小问2详解】 ，则定义域为， 由题设 所以，可得， 故的范围为． 18. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）估算这40名学生测试成绩的中位数； （3）现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．求应从和学生中分别抽取的学生人数； 【答案】（1），平均数为74.5分； （2）75分； （3）中有5人，中有2人. 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求参数，再由频率直方图求平均数； （2）根据中位数定义求40名学生测试成绩的中位数； （3）根据分层抽样的等比例性质求抽取和的学生人数. 【小问1详解】 由图，可得， 由图知分. 【小问2详解】 设中位数为且在内，则，可得； 【小问3详解】 由频率分布直分布知与两组频率分别为0.25、0.1，比例为， 故用分层抽样抽取7人中，中有5人，中有2人． 19. 已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数. （1）若，求函数的最值； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围； （3）若对于，，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）最小值为，最大值为3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意可得函数的单调性，进而求解最值； （2）转化问题为不等式对于恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可； （3）转化问题为，由（1）可得函数，时的最大值，进而结合二次函数的开口方向和对称轴讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，函数在上单调递减，在区间上单调递增， 且，，， 所以函数的最小值为，最大值为3. 【小问2详解】 由题意，关于x的不等式的解集为， 即不等式对于恒成立， 当时，不等式为，即不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意，对于，，使得成立， 则. 对于函数，，由（1）知，. 对于函数，， 若，，则，而，不符合题意. 若，当，即，所以当时，恒成立， 所以， 则，即，不符合题意； 若，当，即时，， 则，即，所以； 当，即时，， 则，即，所以此种情况不合题意； 当时，， 所以； 综上所述，实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学十二月份月考试题 一、单选题（共8题，每题5分） 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上是单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其中为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数满足，且在上单调递增，则的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 10. 函数过定点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 当时， 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 若，则用来表示是_________. 13. 定义在上的函数满足，且当时，，则的单调增区间为 ____________. 14. 已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，则不等式的解为__________． 四、解答题 15. 设全集是，集合． （1）若，求； （2）问题：已知__________，求实数的取值范围． 从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． ①② ③ 16. 已知函数是奇函数，且． （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）当时，解关于的不等式． 17. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）求满足的的取值范围． 18. 某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）估算这40名学生测试成绩的中位数； （3）现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团．求应从和学生中分别抽取的学生人数； 19. 已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数. （1）若，求函数的最值； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围； （3）若对于，，使得成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $