安徽省临泉第二中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

高三数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|y=ln(2x-1)},集合B={-2,-1,0,1,2,3},则A∩B= A.{1,2,3} B.{-2,-1,0} C.{-2,-1} D.{1,2} 2.已知复数z满足z+=4,且(z-)·i=2,则z= A.-2-i B.-2+i C.2+i D.2-i 3.已知a>0,且a≠1,则“lo<成立”的充分不必要条件可以是 A.a∈(,1) B.a∈(,) C.a∈(0,)∪(1,+∞) D.a∈(,1) 4.为了鼓励学生锻炼身体,强健体魄,增强抵抗病毒能力,某校决定加强体育活动并对学生的体育成绩进行定期统计,下表是该校高三年级200名学生某次体育测试成绩的样本频率分布表: 分组 [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95] 频率 0.12 0.13 0.4 0.24 0.11 则该次高三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间 A.[75.5,80) B.[80,82.5) C.[82.5,85) D.[85,85.5) 5.函数y=的部分图象大致为 6.已知双曲线C:-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C的右支上,满足|AF1|=|F1F2|,且tan∠AF1F2=,则b= A. B.2 C. D.2 7.在三棱锥D-ABC中,AB=BC=CD=DA=4,AC=4,M,N分别是棱BC,CD的中点,则当三棱锥D-ABC的体积最大时,二面角A-MN-B的余弦值为 A. B. C. D. 8.设a=,b=ln 2+(e为自然对数的底数),c=ln 3-,则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.若α为锐角,且sin2α+sin(-2α)=-,则 A.sin2α= B.sin 2α= C.cos 2α=± D.tan α= 10.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(-∞,0]上单调递增,g(x)在(-∞,0]单调递减,则 A.f(f(1))>f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) 11.已知f'(x)是f(x)的导函数,f(x)=asin x+bcos x(ab≠0),则下列结论正确的是 A.将f'(x)图象上所有的点向左平移个单位长度可得y=-f(x)的图象 B.f(x)与f'(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)+f'(x)与f(x)-f'(x)的值域相同 D.当a=b时,f(x)+f'(x)与f(x)-f'(x)在区间(0,)上的单调性相同 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=4,DC=3,∠ABC=90°,则(-)·=　　　　.  13.某人骑共享单车上班,第一条路线较短但拥挤,路途用时X1(单位:min)服从正态分布N(6,1);第二条路线较长但不拥挤,路途用时X2(单位:min)服从正态分布N(7,0.16).若有一天他出发时离上班时间还有8min,则P(X2<8)-P(X1<8)=　　　　.(精确到0.0001)(参考数据:P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-2.5σ<X≤μ+2.5σ)≈0.9876)  14.过抛物线Γ:y2=2x的焦点F的直线交抛物线Γ于A,B两点,点B关于x轴对称的点为C.若以AB为直径的圆与直线BC交于点D,则当=3时,直线AB的斜率为　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知+=-1,b=2,c=4. (1)求△ABC的面积; (2)若D是线段BC的中点,求AD的长. 16.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,G分别是棱AB,PD的中点,PC=PD=CD=2,AC=AD=AP=2. (1)证明:EG∥平面PBC. (2)求PD与平面PBC所成角的大小. 17.(15分) 已知在数列{an}中,a1=,且满足an+1=. (1)求证:数列{-}是等比数列. (2)设数列{bn}满足bn=,求最小实数m,使得b1+b2+…+b2k<m对一切正整数k均成立. 18.(17分) 为了加强地下水管理,防治地下水超采和污染,保障地下水质量和可持续利用,推进生态文明建设,由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行.某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传,该宣传小分队记录了前10周普及的人数,得到下表: 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每周普及的人数y 82 94 121 140 196 205 190 256 298 318 并计算得=yi=190,(xi-)2=82.5,(yi-)2=60806,(xi-)(yi-)=2193. (1)从这10周的数据中任选4个周的数据,以X表示4周中每周普及宣传人数不少于240的周数,求X的分布列和数学期望; (2)由于统计工作人员的疏忽,第10周的数据统计有误,如果去掉第10周的数据,试用剩下的数据求出每周普及的人数y关于周数x的经验回归方程(精确到0.01). 附:经验回归方程y=x+中==,=-. 19.(17分) 已知函数f(x)=ln(2x)+(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),当x1∈[,]时,求f(x1)-f(x2)的最大值. 参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B C D A C B ABD CD AC 12.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=4,DC=3,∠ABC=90°,则(-)·=　　　　.  【解题分析】(-)·=·+·=||2+||||=42+4×3=28. 【答案】28 13.某人骑共享单车上班,第一条路线较短但拥挤,路途用时X1(单位:min)服从正态分布N(6,1);第二条路线较长但不拥挤,路途用时X2(单位:min)服从正态分布N(7,0.16).若有一天他出发时离上班时间还有8min,则P(X2<8)-P(X1<8)=　　　　.(精确到0.0001)(参考数据:P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-2.5σ<X≤μ+2.5σ)≈0.9876)  【解题分析】因为X1~N(6,1),所以P(X1<8)=0.5+≈0.9773. 因为X2~N(7,0.16),所以P(X2<8)=0.5+≈0.9938. 故P(X2<8)-P(X1<8)=0.9938-0.9773=0.0165. 【答案】0.0165 14.过抛物线Γ:y2=2x的焦点F的直线交抛物线Γ于A,B两点,点B关于x轴对称的点为C.若以AB为直径的圆与直线BC交于点D,则当=3时,直线AB的斜率为　　　　.  【解题分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(x2,-y2),D(x2,y1).由=3得y2=-2y1, 又F(,0),设直线AB的方程为y=k(x-),代入y2=2x,消去x,得ky2-2y-k=0,则y1+y2=,y1y2=-1,由,解得或,分别代入y1+y2=中,得k=2或k=-2. 【答案】2或-2 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知+=-1,b=2,c=4. (1)求△ABC的面积; (2)若D是线段BC的中点,求AD的长. 【解题分析】(1)因为+=-1,所以b2+c2+bc=a2, 即b2+c2-a2=-bc. 在△ABC中,由余弦定理得cos A===-, 因为A∈(0,π),所以A=,又b=2,c=4, 所以△ABC的面积S△ABC=bcsin A=×2×4×sin=2. 6分 (2)因为D是线段BC的中点, 所以=(+),即=(+2·+), 则||2=(||2+2||||cos A+||2)=(b2+c2+2bccos)=(22+42-2×2×4×)=3,所以|AD|=,故AD的长为. 13分 16.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,G分别是棱AB,PD的中点,PC=PD=CD=2,AC=AD=AP=2. (1)证明:EG∥平面PBC. (2)求PD与平面PBC所成角的大小. 【解题分析】(1)如图,作PA的中点F,连接EF,FG.因为E,F,G分别是棱AB,AP,PD的中点, 所以EF∥BP,GF∥AD,又EF⊄平面PBC,BP⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC, 又底面ABCD为平行四边形, 所以AD∥BC,则GF∥BC, 又GF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC, 所以GF∥平面PBC, 因为GF∩EF=F,GF,EF⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面PBC. 又EG⊂平面EFG,所以EG∥平面PBC. 7分 (2)因为PA=2,AD=2,PD=2,所以PA2+AD2=PD2,所以PA⊥AD. 因为PA=2,AC=2,PC=2,所以PA2+AC2=PC2,所以PA⊥AC. 因为AC∩AD=A,AC,AD⊂平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD. 因为AC=2,AD=2,CD=2,所以AC2+AD2=CD2,所以AC⊥AD, 因为AC∩AP=A,AC,AP⊂平面PAC, 所以AD⊥平面PAC,所以BC⊥平面PAC,因为PC⊂平面PAC, 所以BC⊥PC. 设点D到平面PBC的距离为h,又VP-BCD=VD-PBC, 所以××2×2×2=××2×2h,所以h=. 设PD与平面PBC所成的角为α,所以sin α==,因为α∈(0,],所以α=, 所以PD与平面PBC所成的角为. 15分 17.(15分) 已知在数列{an}中,a1=,且满足an+1=. (1)求证:数列{-}是等比数列. (2)设数列{bn}满足bn=,求最小实数m,使得b1+b2+…+b2k<m对一切正整数k均成立. 【解题分析】(1)由an+1=得==+, 1分 所以===. 3分 又-=-=≠0, 4分 所以{-}是以为首项,为公比的等比数列. 5分 (2)由(1)知,当n为奇数时,bn=-=, 7分 当n为偶数时,bn=+-2=2(-). 9分 所以b1+b2+…+b2k=(b1+b3+…+b2k-1)+(b2+b4+…+b2k) =++…++2[(1-)+(-)+…+(-)] 11分 =+2×(1-)=--, 13分 由于--单调递增,当n→+∞时,--→, 所以m 的最小值为. 15分 18.(17分) 为了加强地下水管理,防治地下水超采和污染,保障地下水质量和可持续利用,推进生态文明建设,由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行.某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传,该宣传小分队记录了前10周普及的人数,得到下表: 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 每周普及的人数y 82 94 121 140 196 205 190 256 298 318 并计算得=yi=190,(xi-)2=82.5,(yi-)2=60806,(xi-)(yi-)=2193. (1)从这10周的数据中任选4个周的数据,以X表示4周中每周普及宣传人数不少于240的周数,求X的分布列和数学期望; (2)由于统计工作人员的疏忽,第10周的数据统计有误,如果去掉第10周的数据,试用剩下的数据求出每周普及的人数y关于周数x的经验回归方程(精确到0.01). 附:经验回归方程y=x+中==,=-. 【解题分析】(1)X的可能取值为0,1,2,3, 1分 P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==. 3分 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 5分 (2)去掉第10周的数据后可得新数据如下: 时间x/周 1 2 3 4 5 6 7 8 9 每周普及的人数y 82 94 121 140 196 205 190 256 298 则=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5, =(190×10-318)=, 7分 (xi-)(yi-)=2193-10×318+10×5.5×190-9×5×=1553, 9分 (xi-)2=82.5-102+10×5.52-9×52=60, 11分 所以==≈25.88, 13分 所以=-=-25.88×5≈46.38, 15分 故剩下的数据所求出的经验回归方程为y=25.88x+46.38. 17分 19.(17分) 已知函数f(x)=ln(2x)+(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),当x1∈[,]时,求f(x1)-f(x2)的最大值. 【解题分析】由f(x)=ln(2x)+求导得f'(x)=,x∈(0,+∞). 1分 当a≤2时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 2分 当2<a≤4时,方程4x2+(4-2a)x+1=0的Δ=4(a2-4a)≤0, 所以f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 3分 当a>4时,Δ=4a(a-4)>0, 由4x2+(4-2a)x+1=0解得x1=,x2=, 4分 当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f'(x)>0, 当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0, 所以f(x)在(x1,x2)上单调递减,在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增. 7分 综上,当a≤4时,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当a>4时,f(x)在(,)上单调递减, 在(0,)和(,+∞)上单调递增. 9分 (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2), 则a>4,由方程4x2+(4-2a)x+1=0知x1+x2=,x1x2=. 11分 f(x1)-f(x2)=ln(2x1)+-ln(2x2)- =ln+- =ln(4)+-2x1. 13分 令g(x)=ln(4x2)+-2x(x>0), 则g'(x)=--2==<0, 15分 所以g(x)在[,]上单调递减,所以g(x)≤g()=-6ln 2. 所以f(x1)-f(x2)的最大值是-6ln 2. 17分 ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$