3.7 二元一次方程组的应用（第2课时）课件 2024-2025学年湘教版数学七年级上册

—— 第三章 一次方程(组)—— 第2课时 3.7 二元一次方程组的应用 湘教版（新课标） 1. 会根据问题情境及条件列出二元一次方程组，正确解方程组并检验其解是否合理. 2.体验运用二元一次方程组求多项式中的待定系数，感受方程思想的广泛应用 3. 进一步积累运用方程模型解决实际问题的经验，培养良好的数学思维习惯以及分析问题、解决问题的能力. 4. 通过解决实际问题进一步体会方程建模的过程和作用，培养应用数学的意识. 学习目标 回顾 列二元一次方程组解应用题的解题步骤： 解题步骤 审题：弄清题意和题目中的________ 数量关系 设元：用____表示题目中的未知数 字母 列方程组：根据__个等量关系列出方程组 2 解方程组：______________ 代入法、加减法 检验作答 创设情境 小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走 40 m，平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，则他从家里到学校需 15 min，从学校到家需 10 min. 试问：小华家离学校多远？ 40m/min 60m/min 60m/min 80m/min 15min 10 min 通过图示，你有什么发现？ 小华家向家所走的下坡路上等于小华去学校所走的上坡路长. 探究新知 小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走 40 m，平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，则他从家里到学校需 15 min，从学校到家需 10 min. 试问：小华家离学校多远？ 40m/min 60m/min 60m/min 80m/min 15min 10 min 根据图示，你能找到其中得等量关系吗？ 本问题中的等量关系： 走上坡路的时间+走平路的时间=15min 走平路的时间+走下坡路的时间=10min 探究新知 40m/min 60m/min 60m/min 80m/min 15min 10 min 分析：本问题中的等量关系： 走上坡路的时间+走平路的时间=15min 走平路的时间+走下坡路的时间=10min 解：设小华家到学校的上坡路长 x m，平路长 y m，则 根据等量关系，得 于是，上坡路与平路的长度之和为 x+y=400+300=700 (m). 因此，小华家离学校700m. ＝15， ＋＝10 x=400, y=300 探究新知 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. 同时出发， 同向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲追上乙 乙 2 h 行程 甲 2 h 行程 甲 2 h 行程 = 4 km + 乙 2 h 行程 探究新知 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. 同时出发， 相向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲 0.5 h 行程 乙 0.5 h 行程 甲 0.5 h 行程 + 乙 0.5 h 行程 = 4 km 相遇地 探究新知 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？ 解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 解方程组，得 答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h. 2x－2y＝4， 0.5x＋0.5y＝4 x＝5， y＝3. 探究新知 归纳 找等量关系 列二元一次方程组解决实际问题的步骤： 审题 设元 列方程组 解方程组 检验作答 2个未知数 根据等量关系 代入法 加减法 探究新知 例1 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂， 分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 甲种货车数 / 辆 2 5 乙种货车数 / 辆 3 6 累计运货量 / t 26 56 该果园第三次打算继续租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果. 如果每吨运费为 30 元，果园三次总共应付运费多少元? 分析：本问题涉及的等量关系为： 2 辆甲种货车运货量＋3 辆乙种货车运货量 = 26 t 5 辆甲种货车运货量＋6 辆乙种货车运货量 = 56 t 应用新知 解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨， 解得 x = 4， y = 6. 2x + 3y = 26， 5x + 6y = 56. 于是，第三次运输了 3×4 + 5×6 = 42 ( t ). 因而合计运输了 26 + 56 + 42 = 124 ( t ). 因此，三次总共应付运费 124× 30 = 3 720 (元). 答：该果园三次总共应付运费 3 720 元. 根据题意，得 借助列表分析，确定题目中的数量关系. 应用新知 例2 对于多项式 kx + b (其中 k， b 为常数)，若 x 分别用 1，－1 代入时，kx + b 的值分别为 －1， 3，求 k 和 b 的值. 分析 k，b是待确定的系数.把x分别用两个数代入，得出kx+b 的两个值，这样可得到一个关于k，b的二元一次方程组. 解：根据题意，得 k×1＋b＝－1， k×(－1)＋b＝3. 解方程组，得 k＝－2， b＝1. 故所求 k 和 b 的值分别为 －2 和 1. 待定系数法求多项式k，b得值. 应用新知 1.已知制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等，现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个? 分析：本问题中的等量关系： 甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张 甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张 巩固新知 1.已知制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等，现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个? 解：设制作甲、乙两种纸盒各x个，y 个. 根据题意，得 解得 答：可制作甲、乙两种纸盒各30个、60 个. x + 2y = 150, 4x + 3y = 300. x = 30, y = 60. 巩固新知 2.对于多项式kx＋b(k，b为常数)，若x分别用2，6 代入时，kx＋b的值分别为30，10，求k和b的值. 解：根据题意，得 解得 故所求k和b的值分别为-5和40. k×2＋b＝30， k×6＋b＝10， k=－5, b＝10， 巩固新知 3. 某星期日，七年级与八年级分别有 20，30 人去颐和园参观，有 30，15 人去圆明园参观.七年级买门票花去 450 元，八年级买门票花去 525 元. 试问：颐和园和圆明园的门票各多少元？ 解：设颐和园门票为 x 元，圆明园门票为 y 元， 根据等量关系得 解这个方程组得 答：颐和园门票为 15 元，圆明园门票为 5 元. 20x + 30y = 450, 30x + 15y = 525. x= 15, y = 5. 巩固新知 应用 二元一次方程组的应用 行程问题、求解多项式中的k、b的值 解题步骤 审题：弄清题意和题目中的________ 数量关系 设元：用____表示题目中的未知数 字母 列方程组：根据__个等量关系列出方程组 2 解方程组：______________ 代入法、加减法 检验作答 课堂小结 $$