3.8 三元一次方程组（课件）2025-2026学年湘教版数学七年级上册

湘教版七年级数学上册 第3章 一次方程（组） *3.8 三元一次方程组 问题： 1.什么叫二元一次方程和二元一次方程组？ 含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程.只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组. 2.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 消元：即把二元一次方程组转化为一元一次方程. 导入新课 3 3.求解二元一次方程组有哪些方法？ ①代入消元法；②加减消元法. 导入新课 4 主题一：三元一次方程组的有关概念及解法 在列方程解许多实际问题时，其涉及的未知数可能不止两个，例如三个.此时常常需要列出含有三个未知数的方程. 1.类比一元一次方程和二元一次方程、二元一次方程组的概念，请说一说：什么叫三元一次方程？ 什么叫三元一次方程组？ 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程.含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组.一般地，三元一次方程组含有三个方程. 高效课堂 5 2.做一做 已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，三位数字之和为12.设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组. 本题中的等量关系有几个？ 分别是什么？ 个位数字＝2×(十位数字＋百位数字)，百位数 字＝3×十位数字，个位数字＋十位数字＋百位数字＝12. 高效课堂 6 能列出相应的方程组吗？ 根据题意，所求方程组为 高效课堂 7 根据二元一次方程组的解的定义，能说一说什么叫作三元一次方程组的解吗？ 对于未知数为x，y，z的三元一次方程组，若x，y，z分别用数c1，c2，c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1，c2，c3)叫作这个方程组的一个解.习惯上也记作 高效课堂 8 思考：解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程求解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？ 三元→二元→一元. 高效课堂 9 3.解方程组： 观察相同字母的系数，有哪些方法把三元一次方程组变形为二元一次方程组？ 可以采用代入消元法或加减消元法，消去未知数x或y或z得到二元一次方程组. 高效课堂 10 结合上述消元的方法，选择适合自己的方法解此方程组. 解 将方程①两边都乘2，得2x＋2y＋4z＝6.④ ④＋②，得y＋5z＝3.⑤ ①－③，得－y＋6z＝8，⑥ 解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得y＝－2，z＝1. 把y＝－2，z＝1代入方程①，得x＝3. 因此， 是原三元一次方程组的解. 高效课堂 11 由此受到启发，解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解，消元的方法仍是代入消元法或加减消元法. 高效课堂 12 主题二：例题讲解 例1 解三元一次方程组： 高效课堂 13 解 ③×⑤－①，得y＋4x＝－10.④ ③×3－②，得2y＋7z＝－7.⑤ ④×2－⑤，得z＝－13.把z用－13代入方程④，得y＝42.把y用42，z用－13代入方程③，得x＝－31. 因此， 是原三元一次方程组的解. 高效课堂 14 主题二：例题讲解 例2 解三元一次方程组： 高效课堂 15 解 ②×3－①，得x＋7z＝－12.④ ②＋③，得5x－2z＝－23.⑤ ④×5－⑤，得37z＝－37，两边都除以37，得z＝－1.把z用－1代入方程④，得x＝－5.把x 用－5，z用－1代入方程②，得y＝－4. 因此， 是原三元一次方程组的解. 高效课堂 16 练一练：解方程组： 将②分别代入①③得 解得 把y＝1代入②，得z＝3，所以 是原三元一次方程组的解. 17 总结：解三元一次方程组的一般步骤： (1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数； (2)消元，得到一个二元一次方程组； (3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解. 高效课堂 18 1.(1)含有　 　个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．  (2)共含有　 　个未知数的　 　个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．  注意：满足三元一次方程组的条件： ①方程组中含有三个未知数； ②所含未知数的项的次数是1； ③每个方程等号的左右两边是整式． 　三　 　三　 　三　 课堂评价 2． (北师八上P131、人教七下P106)一个三位数，各数位上的数字和是14，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2．求这个三位数． 解：设个位数字为 x，十位数字为 y，百位数字为 z． 由题意得解得 ∴这个三位数为275． 回练教材P131问题解决的第4题. ★3． (人教七下P112改编)汽车在平路上每小时行驶 30公里，上坡时每小时行驶 28公里，下坡时每小时行驶 35公里，现在行驶 142公里的路程用去 4小时30 分钟，回来时用去 4小时42 分钟，问这段平路有多少公里？去时上、下坡路各有多少公里？ 解：设去时上坡路有 x公里，平路有 y公里，下坡路有 z公里． 由题意得　解得 答：这段平路有30公里，去时上坡路有42公里，下坡路有70公里． 0.50 1.解三元一次方程组的基本思想是什么？ 2.解三元一次方程组有哪些方法？ 3.结合自己的经验，说一说两种解法如何选择？ 归纳：解题前认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程中含有两个未知数时，一般地，这个方程中缺少哪个未知数，就将另两个方程用加减消元法消去哪个未知数；如果这个含有两个未知数的方程系数较简单，也可以用代入消元法求解. 课堂总结 22 基础性作业：教材练习. 提高性作业：教材习题3.8第1~3题. 作业设计 23 感 谢 观 看 $