3.7 二元一次方程组的应用（第2课时）教学设计 2024-2025学年湘教版数学七年级上册

配套初中数学湘教版（新课标） 第三章 一次方程（组） 3.7 二元一次方程组的应用 第2课时 一、教学目标 1. 会根据问题情境及条件列出二元一次方程组，正确解方程组并检验其解是否合理. 2.体验运用二元一次方程组求多项式中的待定系数，感受方程思想的广泛应用 3. 进一步积累运用方程模型解决实际问题的经验，培养良好的数学思维习惯以及分析问题、解决问题的能力. 4. 通过解决实际问题进一步体会方程建模的过程和作用，培养应用数学的意识. 二、教学重难点 重点：列出二元一次方程组解决实际问题及运用二元一次方程组求多项式中的待定系数. 难点：掌握列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等 4、 教学过程设计 环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：引导学生复习列二元一次方程组解应用题的解题步骤. 想一想：列二元一次方程组解应用题的解题步骤： 预设答案： 1.审题：弄清题意和题目中的数量关系； 2.设元：用字母表示题目中的未知数 3.列方程组：根据2个等量关系列出方程组； 4.解方程组：代入法，加减法； 5.检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备. 环节二 探究新知 【思考】 小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走 40 m，平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，则他从家里到学校需 15 min，从学校到家需 10 min. 试问：小华家离学校多远？ 问题1：通过图示，你有什么发现？ 小华家向家所走的下坡路上等于小华去学校所走的上坡路长. 问题2：根据图示，你能找到其中得等量关系吗？ 本问题中的等量关系： 走上坡路的时间+走平路的时间=15min 走平路的时间+走下坡路的时间=10min 解:设小华家到学校的上坡路长 x m，平路长 y m，则 根据等量关系，得 解方程组得 于是，上坡路与平路的长度之和为 x+y=400+300=700 (m). 因此，小华家离学校700m. 设计意图：学会借助线段图分析，找到等量关系，列出二元一次方程组解决问题. 【做一做】 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. 同时出发，同向而行： 甲 2 h 行程 = 4 km + 乙 2 h 行程 同时出发，相向而行： 甲 0.5 h 行程 + 乙 0.5 h 行程 = 4 km 解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 解方程组，得 答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h. 追问：说一说列二元一次方程组解决实际问题的步骤 设计意图：通过问题，激发学生的求知欲望，结合实际问题，引导学生认真思考，进一步掌握列二元一次方程组解决问题的基本步骤. 环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂， 分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示： 该果园第三次打算继续租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果. 如果每吨运费为 30 元，果园三次总共应付运费多少元? 提示：借助列表分析，确定题目中的数量关系. 分析：本问题涉及的等量关系为： 2 辆甲种货车运货量＋3 辆乙种货车运货量 = 26 t 5 辆甲种货车运货量＋6 辆乙种货车运货量 = 56 t 解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨 根据题意，得 解得， 于是，第三次运输了 3×4 + 5×6 = 42 ( t ). 因而合计运输了 26 + 56 + 42 = 124 ( t ). 因此，三次总共应付运费 124× 30 = 3 720 (元). 答：该果园三次总共应付运费 3 720 元. 例2 对于多项式 kx + b (其中 k， b 为常数)，若 x 分别用 1，－1 代入时，kx + b 的值分别为 －1， 3，求 k 和 b 的值. 分析：k，b是待确定的系数.把x分别用两个数代入，得出kx + b的两个值，这样可得到一个关于k，b的二元一次方程组. 解：根据题意，得 解方程组，得 故所求 k 和 b 的值分别为 －2 和 1. 小结：待定系数法求多项式k，b得值. 设计意图：鼓励学生通过独立思考,找到题中的 “等量关系”.，然后列出方程组并解决，在解决实际问题中，让学生切实体会二元一次方程组的应用，提升学生解决问题的能力. 环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 已知制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等，现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个? 分析：本问题涉及的等量关系： 甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张, 甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张 解：设制作甲、乙两种纸盒各x个，y 个. 根据题意，得 解得 答：可制作甲、乙两种纸盒各30个、60 个. 2.对于多项式kx＋b(k，b为常数)，若x分别用2，6 代入时，kx＋b的值分别为30，10，求k和b的值. 解：根据题意，得 解方程组，得 故所求 k 和 b 的值分别为 －5 和 40. 3. 某星期日，七年级与八年级分别有 20，30 人去颐和园参观，有 30，15 人去圆明园参观.七年级买门票花去 450 元，八年级买门票花去 525 元. 试问：颐和园和圆明园的门票各多少元？ 解：设颐和园门票为 x 元，圆明园门票为 y 元， 根据题意有 解得 答：颐和园门票为 15 元，圆明园门票为 5 元. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯. 学科网（北京）股份有限公司 $$