精品解析：福建省莆田市第十五中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

莆田第十五中学2024～2025学年上学期第二次月考检测卷 九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点，在二次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知是半径为4的圆中的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 10 6. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的值可能是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 7. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 8. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝上的概率 B. 掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率 C. 将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率 D. 从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率 9. 如图所示的是某家用晾衣架的侧面示意图，已知，根据图中数据，P，Q两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，在抛物线（为常数且）上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 的值等于_________． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则另一根为_________． 13. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树高为_________ 14. 在一个不透明的口袋中有且仅有6个白球和14个红球，它们除颜色外其他完全相同，从口袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是_____________． 15. 下面是小明同学采用因式分解法求解一元二次方程解题过程， 等式左边去括号，得，① 移项、合并同类项，得，② 等式左边分解因式，得，③ 解得，．④ 以上解题过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_____________． 16. 如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为__________________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 计算：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，轴，垂足为C． （1）求双曲线的解析式，并直接写出点B的坐标． （2）求的面积． 20. 如图，是的直径，弦平分，，过点D作的切线交的延长线于点E，连接． （1）求证：直线是的切线． （2）求证：． 21. 福建某公司经销一种红茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，其关系式为．设这段时间内，销售这种红茶总利润为（元）． （1）求与的函数关系式． （2）求这段时间内，销售这种红茶可获得的最大总利润． 22. 如图，在中，． （1）求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． （2）已知，求的半径． 23. 为了解全校名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题： （1）参加问卷调查的同学共_________名，补全条形统计图． （2）在篮球社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀．现决定从这四人中任选两名参加篮球大赛，用树状图或列表法求恰好选中丙、丁两位同学的概率． 24. 如图1，线段上有一点，分别以，为直角边作等腰和等腰，．将绕点D顺时针旋转（如图2），连接，取的中点M，过点E作交射线于点N，与的交点为F． （1）求证：． （2）求证：． （3）求证：． 25. 如图，抛物线与y轴交于点A，与轴交于点，，P是线段下方抛物线上的一个动点，过点Р作轴的垂线，交轴于点H，交于点D．设点P的横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）用含t的式子表示线段的长，并求线段长度的最大值． （3）连接，当与相似时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第十五中学2024～2025学年上学期第二次月考检测卷 九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据定义逐项判断，即含有一个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：因为符合定义，所以A正确； 因为不是整式方程，不符合定义，所以B不正确； 因为含有两个未知数，不符合定义，所以C不正确； 因为是一元一次方程，不符合定义，所以D不正确． 故选：A． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此对各个图形进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列各点，在二次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将选项A，B，C，D中的点横坐标代入，计算出纵坐标，从而可判断点是否在二次函数的图象上． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ B，C，D不符合题意；A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特点，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本题的关键． 4. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转的性质求得，再结合即可求得的度数． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转的性质，理解掌握旋转前后的对应点的连线构成旋转角是解题的关键． 5. 已知是半径为4的圆中的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8， 因为圆中最长的弦为直径， ∴． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键． 6. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的值可能是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象经过第二、四象限，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得：． ∴选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质：当反比例函数图象在一、三象限时，则；当反比例函数图象在第二、四象限时，则． 7. 在中，，那么的值是（    ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出的值即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝上的概率 B. 掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率 C. 将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率 D. 从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率 【答案】B 【解析】 【分析】由折线统计图可知，试验结果在附近波动，最后稳定在附近，再分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； B、掷一枚正六面体的骰子，出现3的倍数的概率为，故此选项符合题意； C、将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率为，故此选项不符合题意； D、从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，属于基础题型，明确大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键． 9. 如图所示的是某家用晾衣架的侧面示意图，已知，根据图中数据，P，Q两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 结合相似三角形对应高的比等于相似比得， ，而， ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 10. 已知点，，在抛物线（为常数且）上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解抛物线的对称轴方程，再结合开口方向，判断最大值，再根据与对称轴的远近判断函数值的大小，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴当时，函数取得最大值，即最大，同时距离对称轴越远，函数值越小， 而，， ∴， ∴， 综上：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用抛物线的对称性及开口方向比较二次函数的函数值是大小是解本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊的三角值的混合运算．根据即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则另一根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程的另一个根为，结合根与系数的关系可得出，从而可得答案． 【详解】解：∵，方程的另一个根为， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记、是解本题的关键． 13. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，则树高为_________ 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再利用相似三角形的性质求得的长，再加上即可求得树高． 【详解】解：，， ， ， ∵，，， ， ， ∵ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形的模型，再利用相似三角形的性质． 14. 在一个不透明的口袋中有且仅有6个白球和14个红球，它们除颜色外其他完全相同，从口袋中随机摸出一个球，摸出红球的概率是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】用红球的个数除以球的总个数即可； 【详解】解：∵口袋中共有6个白球和14个红球， ∴一共有球（个）， ∴ ． 答：从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 下面是小明同学采用因式分解法求解一元二次方程解题过程， 等式左边去括号，得，① 移项、合并同类项，得，② 等式左边分解因式，得，③ 解得，．④ 以上解题过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_____________． 【答案】③ 【解析】 【分析】将原式去括号、移项合并、提公因式然后求解，对比发现错误步骤即可． 【详解】解： 等式左边去括号，得， 移项、合并同类项，得， 提公因式，得， 解得，． ③开始出现错误， 故答案为：③ 【点睛】本题考查了解一元二次方程；掌握解方程的步骤正确计算是解题的关键． 16. 如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 点在的延长线上时，的长度的最小，最小值， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解： 或， ∴，． 18. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可； 【详解】解：原式 ； 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，轴，垂足为C． （1）求双曲线的解析式，并直接写出点B的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）将点代入直线得A坐标，再将点A代入双曲线即可得到k值，由A，B关于原点对称得到B点坐标； （2）先求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入直线得： ， ∴， 将代入双曲线，得： ，解得：， ∴双曲线的解析式为， 根据题意得：点A，B关于原点中心对称， ∴， 【小问2详解】 ∵轴，， ∴点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解本题的关键． 20. 如图，是的直径，弦平分，，过点D作的切线交的延长线于点E，连接． （1）求证：直线是的切线． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） ∵为的直径， ∴， ∴， 而， ∴， ∵过点D作的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明，可得，结合，可得，从而可得结论； （2）先证明，，可得，可得，证明，从而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是角平分线的含义，平行线的判定与性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定，熟练的利用几何图形的性质解决问题是解本题的关键． 21. 福建某公司经销一种红茶，每千克成本为40元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元/千克）的变化而变化，其关系式为．设这段时间内，销售这种红茶总利润为（元）． （1）求与的函数关系式． （2）求这段时间内，销售这种红茶可获得的最大总利润． 【答案】（1） （2）当时，销售利润y的值最大，最大值为为3700元． 【解析】 【分析】（1）由总利润等于每千克红茶的利润乘以销售量即可得到答案； （2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可． 【小问1详解】 解：， ∴y与x的关系式为：． 【小问2详解】 ∵ ∴当时，销售利润y的值最大，最大值为为3700元． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用．正确的理解题意列出二次函数关系式是解题的关键． 22. 如图，在中，． （1）求作，使圆心O落在边上，且经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． （2）已知，求的半径． 【答案】（1） 解：如图， （2）2 【解析】 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于为半径在两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与的交点为O，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，得，根据三角形外角与内角的关系求出，结合已知可得，运用角所对的直角边等于斜边的一半求出，最后由代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，连接 又 故的半径为：2 【点睛】本题考查了尺规作图，圆的基本性质，与三角形有关的角的计算以及“角所对的直角边等于斜边的一半”；利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键． 23. 为了解全校名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题： （1）参加问卷调查的同学共_________名，补全条形统计图． （2）在篮球社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀．现决定从这四人中任选两名参加篮球大赛，用树状图或列表法求恰好选中丙、丁两位同学的概率． 【答案】（1），见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条形图和扇形图中足球数据即可求出总人数，从而求出跑步的人数，补全条形统计图； （2）画树状图，结合树状图利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的同学人数为： （名） 参加跑步的人数为：（名） 故答案为：，补全条形图如下， 【小问2详解】 解：画树状图如下， 从这四人中任选两名参加篮球大赛，共有种可能； 恰好选中丙、丁两位同学的可能有2种， 则恰好选中丙、丁两位同学的概率为： ． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，还考查了求随机抽样的概率；解题的关键是正确求出总人数及正确画树状图． 24. 如图1，线段上有一点，分别以，为直角边作等腰和等腰，．将绕点D顺时针旋转（如图2），连接，取的中点M，过点E作交射线于点N，与的交点为F． （1）求证：． （2）求证：． （3）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明，，再证明即可得到结论； （2），，可得，证明，可得，从而可得结论； （3）证明，，可得，结合，证明，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵的中点为M， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵等腰和等腰， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握“等腰直角三角形的判定与性质”是解本题的关键． 25. 如图，抛物线与y轴交于点A，与轴交于点，，P是线段下方抛物线上的一个动点，过点Р作轴的垂线，交轴于点H，交于点D．设点P的横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）用含t的式子表示线段的长，并求线段长度的最大值． （3）连接，当与相似时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）；线段长度的最大值为． （3）或 【解析】 【分析】（1）把点，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求解，再求解直线为，设点P的横坐标为．可得，，则，再利用二次函数的性质可得答案； （3）如图，连接，，而与相似，分两种情况讨论：当时，如图，当时，过作于，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 解：∵， 当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设点P的横坐标为． ∴，， ∴， 当时， 的最大值为：． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，而与相似， ∴分两种情况讨论： 当时， ∴，， ∴轴，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，而， ∴； 如图，当时，过作于， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 由轴，可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $