精品解析：山东省栖霞市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

山东省栖霞市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题高一数学阶段性测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式求集合，确定函数的定义域求集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，得，则， 由，得，解得，则， 所以. 故选：C. 2. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 3. 已知函数，则 A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【解析】 【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案. 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数， 又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数． 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理可得到答案. 【详解】因为和均是R上的增函数，所以函数是R上的增函数， 又，，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：C. 5. 若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】由参考数据可得，区间满足题干要求精确到，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以不必考虑端点； 因为，所以不必考虑端点和； 因为，，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度0.1； 所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值）， 根据四个选项可知：. 故选：C. 6. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据函数过排除A; 根据过排除B、D, 故选C． 7. 设函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与二次函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，列出不等式，即可求解. 【详解】设，可得， 因为函数在定义域上为单调递减函数， 要使得 在上单调递减，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8. 若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则有，作出函数的图象，结合图象即可得答案. 【详解】由，得， 作出函数的图象，如图所示： 令，则， 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 从而函数有3个零点， 但对恒成立，即对恒成立， 又，则， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确的是（ ） A. （，，且） B. （，，且） C. （，且） D. （，且） 【答案】BC 【解析】 【分析】由对数的运算性质逐项判断即可； 【详解】对于A，（，，且），故A错误； 对于B，（，，且），故B正确； 对于C，（，且），故C正确； 对于D，（，且），故D错误； 故选：BC. 10. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为. B. 若为奇函数，则 C. 在上单调递减 D. 若，则的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的定义域的求法，可判定A正确；根据函数的奇偶性列出方程，求得的值，可判定B正确，化简，结合指数函数的单调性，可判定C错误；化简函数，结合指数函数的值域，可判定D正确. 【详解】由题意，函数， 对于A中，由，所以函数的定义域为，所以A正确； 对于B中，由函数为奇函数，则满足，即， 所以，即， 所以B不正确； 对于C中，由， 因为函数为单调递增函数，则递增函数， 所以函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，当时，可得， 因为，可得，所以， 即函数的值域为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在处取到最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，得到在上单调递增，在上单调递减，结合函数的图象变换，利用函数的单调性与对称性，以及对数的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确； 又由的图象是由的图象向左平移1个单位得到的， 所以的图象关于对称，所以A正确； 因为，，， 因为且函数在上单调递增，所以， 即，所以B正确； 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减， 所以函数在处取到最小值，所以D不正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】结合对数运算，令即可得定点的坐标. 【详解】令得，此时， 即函数（且）恒过定点. 故答案为： 13. 若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则__________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由条件（1）可判断函数在上单调递增；条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且），即可得解. 【详解】由条件（1）对于任意实数，当时，都有，可得函数在上单调递增， 条件（2）符合指数幂的运算性质：，（且）， 故可选一个单调递增的指数函数：． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 求下列各式的值： （1）. （2）. 【答案】（1）3； （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则和性质结合换底公式即可计算求解； （2）由指数幂的运算法则和性质即可计算得解. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 . 16. 已知函数． （1）求的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）代值即可；（2）分类讨论解不等式组即可. 【小问1详解】 由题知， 所以， 所以. 【小问2详解】 由不等式，可得 或， 解得 或 ， 故不等式的解集为. 17. 已知函数是偶函数，其中e是自然对数的底数. （1）求a的值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由可求出； （2）由可得，令，则，，然后利用基本不等式求出右边的最小值即可. 【详解】（1）∵函数是偶函数， ∴，即， ∴. （2）由题意，知在上恒成立， 则，即， ∴. 令，则. ∴. ∵，当且仅当时等号成立 ∴. 18. 已知函数（且）的图象经过点和. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或16 【解析】 【分析】（1）代入图象上的两个点，求a，b，即可求解函数的解析式； （2）首先求解，再代入（1）的结果，解对数方程. 【小问1详解】 由题知，解得，； 故. 【小问2详解】 由，. 解得或3， 所以或， 所以或16. 19. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （1）函数的图象接近图示； （2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分； （4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择： ①； ②； ③. （1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； （2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； （3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 【答案】（1） 选模型③：，理由如下： 对于模型①，时匀速增长； 对于模型 ②，时，先慢后快增长； 对于模型③，时，先快后慢增长， 由图象可知应选择先慢后快增长的函数模型，故选择模型三比较合适. （2） （3）55分钟 【解析】 【分析】（1）根据图象和函数性质选择即可； （2）将代入求解系数，再结合题设每天最多得分不超过6分条件完善解析式即可； （3）解对数不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入得， 所以. 当时，，满足每天最多得分不超过6分条件， 所以函数解析式为. 【小问3详解】 由， 所以，解得， 所以每天运动时间不少于4.5分，则每天至少运动55分钟. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省栖霞市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题高一数学阶段性测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（   ） A. B. C. D. 2. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则 A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（ ） A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5 6. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 设函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列运算正确的是（ ） A. （，，且） B. （，，且） C. （，且） D. （，且） 10. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为. B. 若为奇函数，则 C. 在上单调递减 D. 若，则的值域为 11. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在处取到最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是______． 13. 若函数满足：（1）对于任意实数，当时，都有；（2），则__________.（写出满足这些条件的一个函数即可） 14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 求下列各式的值： （1）. （2）. 16. 已知函数． （1）求的值； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数是偶函数，其中e是自然对数的底数. （1）求a的值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 18. 已知函数（且）的图象经过点和. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 19. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （1）函数的图象接近图示； （2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分； （4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择： ①； ②； ③. （1）请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； （2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； （3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $