2024年九年级中考数学复习函数大招20：反比例与一次函数结合

大招20：反比例与一次函数结合136 大招总结 如图，已知反比例函数，点A(a,b)、B(c,d)是函数图象上任意两点(ab=cd=k)，则： 结论1： 证明： 结论2：过点A，B分别作y轴，x轴的垂线，则MN／／AB 学科网（北京）股份有限公司 证明法1： 如图，构造直角三角形ACB，可知0M=b,ON=c,AC=b-d,BC=c-a. ∵ab=cd ，即 .ΔABC∼ΔMON,故MN∥AB 证明法2： 如图1， 如图2， SΔMAN和面积相等，且有公共底边MN，故高相等，即点M、N到AB的距离相等，又两平行线间的距离处处相等，故可得MN／／AB. 图1 结论3：过点A，B作直线分别与x轴，y轴交于D，C两点，则AC=BD 学科网（北京）股份有限公司 证明：如图，利用上面结论可得MN／／AB， ∵CM//BN, MN//AB ∴四边形CMNB是平行四边形 ∴CB=MN ∵AM//DN,MN//AB ∴四边形AMND是平行四边形 ∴AD=MN ∴CB=AD ∴CB-AB=AD-AB ∴AC=BD 结论4：直线AB分别与x轴、y轴相交于点C、D两点，与反比例函数交于点A、B两点，则AC=BD 学科网（北京）股份有限公司 证明：如图，作AG┴x轴交x轴于点G，作BG┴y轴与点E， AG与BG相交于点G，设A则： EG=a,BE=-b, ∴ΔFEG∼ΔABG ∴EF//AB ∴可得四边形ADEF和BEFC都为平行四边形 ∵在四边形▭ADEF中， AD=EF, 在BEFC,BC=EF ∴BC=AD ∴BC-CD=AD-CD ∴AC=BD 经典例题1 （2023.滨州中考）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+1与（k为常数且k≠0）的图象大致是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 经典例题2 如图，反比例函数的图象与过点（-1,0）的直线AB相交于A、B 两点。已知点A的坐标为（1,3），点C为x轴上任意一点。如果，那么点C的坐标为（ ） A、(-3,0) B、(5,0) C、（-3,0）或（5,0） D、（3,0）或（-5,0） 经典例题3 （2023.山东中考）已知反比例函数且k≠2)的图象与一次函数y=-7x+b 的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值（ ）。 经典例题4 （2021.杭州中考）在直角坐标系中，已知，设函数与函数2）＋5的图象交于点A和点B。已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是-4。 （1）求k1,k2的值； 学科网（北京）股份有限公司 （2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D。求证：直线CD 经过原点。 经典例题5 （2023.苏州中考）如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数）的图象交于点A(4,n)。将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD，BD的中点C在反比例函数的图象上。 （1）求n，k的值； （2）当m为何值时，AB·OD的值最大？最大值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 经典例题6 （2023.济宁中考）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）。 （1）求反比例函数的解析式： （2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与）的图象交于点C，连接AB，AC，求ΔABC的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大招20：反比例与一次函数结合136 大招总结 如图，已知反比例函数，点A(a,b)、B(c,d)是函数图象上任意两点(ab=cd=k)，则： 结论1： 证明： 结论2：过点A，B分别作y轴，x轴的垂线，则MN／／AB 学科网（北京）股份有限公司 证明法1： 如图，构造直角三角形ACB，可知0M=b,ON=c,AC=b-d,BC=c-a. ∵ab=cd ，即 .ΔABC∼ΔMON,故MN∥AB 证明法2： 如图1， 如图2， SΔMAN和面积相等，且有公共底边MN，故高相等，即点M、N到AB的距离相等，又两平行线间的距离处处相等，故可得MN／／AB. 图1 结论3：过点A，B作直线分别与x轴，y轴交于D，C两点，则AC=BD 学科网（北京）股份有限公司 证明：如图，利用上面结论可得MN／／AB， ∵CM//BN, MN//AB ∴四边形CMNB是平行四边形 ∴CB=MN ∵AM//DN,MN//AB ∴四边形AMND是平行四边形 ∴AD=MN ∴CB=AD ∴CB-AB=AD-AB ∴AC=BD 结论4：直线AB分别与x轴、y轴相交于点C、D两点，与反比例函数交于点A、B两点，则AC=BD 学科网（北京）股份有限公司 证明：如图，作AG┴x轴交x轴于点G，作BG┴y轴与点E， AG与BG相交于点G，设A则： EG=a,BE=-b, ∴ΔFEG∼ΔABG ∴EF//AB ∴可得四边形ADEF和BEFC都为平行四边形 ∵在四边形▭ADEF中， AD=EF, 在BEFC,BC=EF ∴BC=AD ∴BC-CD=AD-CD ∴AC=BD 经典例题1 （2023.滨州中考）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+1与（k为常数且k≠0）的图象大致是（ A ） 解：易知函数y=kx+1的图象经过点（0,1），故排除选项B，D； 当函数y=kx+1的图像经过第一、二、三象限时，k>0. ∴-k<0, ∴此时反比例函数y＝-的图象位于第二、四象限，故A选项中的图象正确。 学科网（北京）股份有限公司 经典例题2 如图，反比例函数的图象与过点（-1,0）的直线AB相交于A、B 两点。已知点A的坐标为（1,3），点C为x轴上任意一点。如果，那么点C的坐标为（ D ） A、(-3,0) B、(5,0) C、（-3,0）或（5,0） D、（3,0）或（-5,0） 解：把点A（1,3）代入得， ∴反比例函数为 设直线AB为y=ax+b, 代入点D(-1,0),A（1,3）得 ，解得∴直线AB为 解得 ∴CD=4, ∴点C的坐标为（-5,0）或（3,0）． 经典例题3 （2023.山东中考）已知反比例函数且k≠2)的图象与一次函数y=-7x+b 的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值（ 1.5 ）。 解：令整理得 反比例函数且k≠2)的图象与一次函数y=-7x+b的图象两个交点横坐标为、，∴k<2, ∴满足条件的k值为1.5（答案不唯一）， 经典例题4 （2021.杭州中考）在直角坐标系中，已知，设函数与函数2）＋5的图象交于点A和点B。已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是-4。 （1） 求k1,k2的值； （2） （2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D。求证：直线CD 经过原点。 解；（1）∵点A的横坐标是2， ∴将x=2代入.= (x-2)+5=5, ∴A(2,5), ∴将A（ 2, 5 ） 得： ∵点B的纵坐标是-4， ∴将y=-4代入得， ∴将B代入= (x-2)+5 得： 解得：∴=2(x-2)+5=2x+1. （2）证明：如图所示， 由题意可得：D(2,-4), 设CD所在直线的表达式为y=kx+b, ∴ 解得： ∴CD所在直线的表达式为y=-2x, ∴当x=0时，y=0, ∴直线CD经过原点. 学科网（北京）股份有限公司 经典例题5 （2023.苏州中考）如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数）的图象交于点A(4,n)。将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，D为x轴正半轴上的点，点B的横坐标大于点D的横坐标，连接BD，BD的中点C在反比例函数的图象上。 （1）求n，k的值； （2）当m为何值时，AB·OD的值最大？最大值是多少？ 解：（1）将点A(4,n)代入y=2x 得：n =8, ∴点A的坐标为（4，8) 将点A（4,8）代入y=得：k=32. （2）∵点B的横坐标大于点D的横坐标，∴点B在点D的右侧. 过点C作直线EF┴x轴于F，交AB于E， 由平移的性质得：AB//x轴， AB=m- ∴∠B=∠CDF, ∵点C为BD的中点， ∴BC=DC, 在△ECB和△FCD中 ∴ΔECB≅ΔFCD(ASA), ∴BE=DF, CE=CF. ∵AB//x轴，点A的坐标为（4,8）， ∴EF=8, ∴CE=CF=4, ∴点C的纵坐标为4， 由（1）知：反比例函数的解析式为： ∴当y=4时，x=8,点C的坐标为（8,4）， ∴点E的坐标为（8,8），点F的坐标为（8,0）， ∵点A（4,8），AB=m,AB//x轴， ∴点B的坐标为(m+4,8), ∴BE=m+4-8=m-4, ∴DF=BE=m-4, ∴OD=8-(m-4)=12-m AB⋅OD=m(12-m)=-(m-6+36 ∴当m=6时，AB⋅OD取得最大值，最大值为36． 学科网（北京）股份有限公司 经典例题6 （2023.济宁中考）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）。 （1）求反比例函数的解析式： （2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与）的图象交于点C，连接AB，AC，求ΔABC的面积。 解：（1）把A(m,2)代入 得：，解得m=4, ∴A(4,2), 把A（4,2）代入得：解得k=8, ∴反比例函数的解析式为; （2）过点C作CM┴x轴于M，交AB于点N，如图： 将直线OA向上平移3个单位后，其函数解 析式为，当x=0时，y=3， ∴点B的坐标为（0,3）， 设直线AB的函数解析式为y=mx+n, 将A（4,2），B（0,3）代入可得： ，解得： ∴直线AB的函数解析式为 联立解析式得：，解得： ∴C点坐标为（2,4）， 在中，当x=2时， ∴ ∴ΔABC的面积为3． 学科网（北京）股份有限公司 $$