精品解析：山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题

聊城二中2023级高二上学期第三次月考数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与a的取值有关 3. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且，设抛物线的焦点为F，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 6 7. 直角坐标系中直线上的横坐标分别为，1的两点A、B，沿x轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为 B. 的面积为1 C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 D. 双曲线的离心率为 11. 如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成的角的余弦值为 C. 点A到平面的距离为 D. 平面与平面所成的角的大小为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________. 13. 已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为___________. 14. 如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程： （2）若直线与圆的交点为两点，求. 16. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 17. 已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：. （1）若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； （2）过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求弦长. 19. 已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足； ①证明：点M在一条定直线上； ②求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城二中2023级高二上学期第三次月考数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方程求出斜率，即可得出直线l的倾斜角. 【详解】由题意， 在直线l：中， 斜率为， 对应直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与a的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据直线经过圆内一点判断出结果. 【详解】由知直线过，而点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：A. 3. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线焦点得双曲线的半焦距，进而求得，即可求解渐近线方程. 【详解】的焦点是，∴双曲线的半焦距， 又虚半轴长且， ∴双曲线的渐近线方程是. 故选：D 4. 从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且，设抛物线的焦点为F，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线写出准线、焦点坐标，设，根据定义可得，进而得坐标，应用两点式求直线斜率即可. 【详解】设，依题意知抛物线准线为， 所以，由题设易知， 所以，则直线的斜率. 故选：C 5. 如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得，进而确定P的坐标，代入椭圆并结合椭圆参数关系求. 【详解】是面积为的正三角形， ，解得. ，代入椭圆方程可得， 与联立，解得. 故选：B 6. 已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及线段长，再求出点P到直线距离的最小值即可. 【详解】由点，得直线，圆的圆心，半径，点C到直线的距离， 因此点P到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值为. 故选：D. 7. 直角坐标系中直线上的横坐标分别为，1的两点A、B，沿x轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出点的坐标，再根据向量基本定理得出，再结合模长及数量积计算求出余弦值得出角. 【详解】直线上的横坐标分别为1，的两点A、B的坐标分别为， 如图为折叠后的图形，作轴于点C，作轴于点D， 则的夹角为，又， ， 则 ，解得，而，则. 故选：A. 8. 如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨令，利用勾股定理可得，根据双曲线的定义可求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】， 不妨令， 又由双曲线的定义得， ， ， 在中，， 又. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理，逐一分析选项即可. 【详解】对于A，因为，所以共面，故A正确； 对于B，因为，所以共面，故B正确； 对于C，假设存在，，使得， 则，显然无解，所以不共面，故C错误； 对于D，因为，所以共面，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为 B. 的面积为1 C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 D. 双曲线的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得出离心率，渐近线方程判断AD，由题意求出点的纵坐标计算三角形面积判断B，利用点到直线的距离判断C. 【详解】对于A，由得，所以双曲线C的渐近线方程为，所以A正确； 对于B，由双曲线，可得，则，设，则，所以，得，因为点P在双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确； 对于C，到一条渐近线的距离为，所以C错误； 对于D，由双曲线方程可知，所以离心率，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成的角的余弦值为 C. 点A到平面的距离为 D. 平面与平面所成的角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间坐标系所示，利用异面直线的向量求法可判断A正确，由线面角的向量表示可判断B错误，再根据点到面的距离的向量求法可得C正确；再由面面角的向量求法可得D错误. 【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，， 设， 由E为的中点可得， 解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示： ，，，，， 则，，，， 对于A，易知， 所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确； 对于B，设平面的法向量为，，即， 取，， 设与平面所成的角为，则，选项B不正确； 对于C，点A到平面的距离为，选项C正确. 对于D，设平面的法向量为，， 则，即，取， ，， 所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据所求双曲线与有相同的渐近线，所以设所求双曲线为，代入已知点，求出，即可得答案. 【详解】由题意设双曲线的标准方程为， 代入点，得，得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 13. 已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，列出等式求解即可. 【详解】 由椭圆定义得，又因为， 所以，， 又，，结合勾股定理得， 解得，则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________． 【答案】8 【解析】 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标、准线方程，设A(x0,y0)(y0＞0)，利用抛物线的定义、勾股定理求出x0,y0，进而求△AFK的面积. 【详解】由题意知，抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2， ∴K(－2,0)，设A(x0,y0)(y0＞0)， ∵过点A作AB⊥l于B， ∴B(－2,y0)， ∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2， ∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)， ∴△AFK的面积为. 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程： （2）若直线与圆的交点为两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标求出弦的垂直平分线的方程，联立直线求出圆心，即可写出圆的方程； （2）由垂径定理即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：； 【小问2详解】 由（1）知，圆心到直线的距离为 圆的半径. 16. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 17. 已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：. （1）若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； （2）过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当或，即可求解； （2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及即可求解. 【小问1详解】 依题意，联立，消去，得：，即：， ①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件； ②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 所以，解得：； 综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点． 【小问2详解】 由于抛物线：的焦点的坐标为， 所以过点且斜率为的直线方程为：， 设，， 联立，消去，得：， 则由韦达定理得：，， 所以， 所以. 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求弦长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与椭圆，再利用弦长公式即可得到答案. 【小问1详解】 由题意，化简， 又因为直线PA、PB的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设，，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有， 又为线段AB的中点， 则有，，代A即得直线的斜率为， 直线的方程为，经检验此时该直线与椭圆有两交点， 整理可得直线的方程为. 【小问3详解】 ， 设，，则，， 故. 19. 已知O为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点. （1）求C的标准方程； （2）过C的右焦点F的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段的中点，过点F且与垂直的直线交直线于M点，点N满足； ①证明：点M在一条定直线上； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据双曲线过定点，结合离心率列方程组可得曲线方程； （2）①由已知直线斜率一定存在，可设直线与，联立直线与双曲线，结合韦达定理可得点Q及直线方程，联立直线与可得点M，进而得证； ②由已知，结合弦长公式可得，则面积，设，则，设，利用导数法求解最值即可得解. 【小问1详解】 由已知双曲线离心率，即， 则双曲线方程为，又曲线过点，即，解得， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 由（1）得， ①由已知直线的斜率k存在且，设直线，， 且， 联立直线与双曲线，得，恒成立，且，即，解得，又Q为A，B中点， 则，则，即， 则直线，又直线过点，且过点F，则， 联立与，即，解得，即， 即点M在直线上； ②，，又点N满足， 则四边形为平行四边形，且， 则， 设，则，则， 设，则， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值为， 即当时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $