精品解析：山东省泰安市新泰第一中学（新泰中学）2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

新泰中学2022级高三上学期第二次阶段性 数学试题 时间：2024.12.10 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. “直线与圆有公共点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ） A B. C. D. 5 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数（自然对数的底数）的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 设是边长为1的正三角形，是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值，的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 当时， D. 当时， 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是周期为的奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 的值域是 10. (多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（ ） A. 满足条件的圆C的圆心在一条直线上 B. 满足条件圆C有且只有一个 C. 点(2，－1)在满足条件的圆C上 D. 满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点P的轨迹长度为 B. 若平面，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则点P的轨迹长度为 D. 若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知，直线与互相垂直，则最小值为__________. 14. 若函数的图象上恰好有两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A的大小； （2）若，，求BC边上高的长. 16. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ACDE正方形，四边形FDCB是梯形，DF与BC为梯形上底与下底.是等腰直角三角形，直线平面ABC，. （1）求证：平面平面BEF； （2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 19. 设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”. （1）已知数列是等差数列，且，求证：数列是“数列”； （2）若数列的前n项和，证明：数列不是“数列”； （3）设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求d的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰中学2022级高三上学期第二次阶段性 数学试题 时间：2024.12.10 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式，得到集合，然后由集合的交并补混合运算得到结果. 【详解】∵，∴或，∴， ∵，即，∴， ∴. 故选：B. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简求得. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. “直线与圆有公共点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆有公共点则圆心到直线的距离小于等于半径列式求解，再根据充分与必要条件的性质判断即可. 【详解】直线与圆有公共点则 ， 由，反之推不出，故为必要不充分条件. 故选：B 4. 放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，计算即可得解. 【分析】由题意可得， 即，即. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的性质得到，根据指数的性质得到，即可得到答案． 【详解】∵，， 且，，， ∴． 又∵，∴． ∴． 故选：D. 6. 函数（自然对数的底数）的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从函数的变化趋势排除错误的选项．一是从时，的变化趋势排除两个选项，再由导数确定时，的变化率的变化趋势排除一个，从而得正确选项． 【详解】时，，从而，排除AB， ，时，，因此时，的图象的变化率越来越大，即切线的倾斜角越来越大，因此排除C， 故选：D． 7. 设是边长为1的正三角形，是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值，的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得出，，再应用数量积公式化简，利用二次函数配方法求得答案. 【详解】因为，， 所以，得， 所以，， ， 所以， ， 设，则， 当，即，也就是时， 取得最小值. 故选：C 8. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】对A，令，得，令，整理得到可判断；对B，先证明是增函数，可得不是周期函数判断；对于C，D，利用单调性可判断. 【详解】对于A，由， 令，则，得， 令，得，由 整理可得. 由题可知不恒为0，故，即，故是奇函数，故A错误； 对于B，设，则，， 故，，， ， 故，即是上的增函数， 又是奇函数，故是R上的增函数，所以不是周期函数，故B错误； 对于C，当时，则， ，故C错误； 对于D，当时，，即， ，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用条件结合函数单调性的定义判断是R上的增函数. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是周期为的奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 的值域是 【答案】CD 【解析】 【分析】先化简，，A选项利用奇函数若，则，验证；B选项令，求出对称中心的坐标；C选项通过令，求出的增区间，再判断是否正确；D选项通过，确定的值域. 【详解】. 对于A，周期为，，因此不是奇函数，故A错误； 对于B，令，，解得：, 当时，，所以关于对称， 则关于对称，故B错误； 对于C，令，，解得:， 所以增区间为，, 当时，则，故C正确； D选项：，则，则，故D正确. 故选：CD. 10. (多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（ ） A. 满足条件的圆C的圆心在一条直线上 B. 满足条件的圆C有且只有一个 C. 点(2，－1)在满足条件的圆C上 D. 满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆C和两条坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，设出圆心坐标(a，－a)(a>0)，得到圆的标准方程为：(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，进而判断每个答案. 【详解】因为圆C和两条坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，由此得到圆C的标准方程为：(x－a)2＋(y＋a)2＝a2. 于是圆心在y＝－x的图象上，A正确； 把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误； 根据答案B，圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x－1)2＋(y＋1)2＝1，故C正确； 两圆的圆心距为，故D正确． 故答案为：ACD. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点P的轨迹长度为 B. 若平面，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则点P的轨迹长度为 D. 若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理与性质，三棱锥的体积公式，三棱锥的外接球的求法，针对各个选项分别求解即可. 【详解】解：对A选项，如图， 分别取，的中点N，M， 则易得，，， ，， 平面，平面 从而易得平面平面， 又P是正方形内的动点，且平面， ∴P点的轨迹为线段，又，∴A选项正确； 对B选项，由A选项分析可知P点的轨迹为线段，， ∴三角形的面积为定值，又D到平面的距离也为定值， ∴三棱锥的体积为定值，∴B选项正确； 对C选项，如图，若，又，且平面， 则， ∴P点的轨迹是正方形内以为圆心，1为半径的四分之一圆弧， ∴P的轨迹长度为，∴C选项错误； 对D选项，如图， 若P是棱的中点，取的中点G，的中点H， 则，∴G到E，F，P的距离相等，又平面， ∴三棱锥的外接球的球心O在上， 设，则，又，， 设三棱锥的外接球的半径为R，则， ∴在与中，根据勾股定理可得： ，解得， ∴， ∴三棱锥的外接球的表面积是，∴D选项正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将所求的角转化为用已知的角表示，即，再利用两角差的余弦公式展开即可求解. 【详解】， ， 又，， . 故答案为：. 13. 已知，直线与互相垂直，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，由两直线垂直的充要条件，可得，所以，再利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】根据，直线与直线互相垂直， ， 所以， 所以，当且仅当时取等号． 则ab最小值等于， 故答案为: . 14. 若函数的图象上恰好有两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转换为关于x的方程有两个不等的正实数根，构造函数，求导函数，得到导函数的零点，确定函数的单调区间，然后由函数零点个数确定参数的范围. 【详解】关于y轴对称的曲线为， 函数的图象上恰好有两对关于y轴对称的点， 关于x的方程有两个不等的正实数根， 即函数恰好有两个零点， ，令，其中， 因为，对称轴， 函数在上有一个零点，记为， 当，，；当时，，， 在上单调递增，在上单调递减， 当或时，， 要使函数在上有两个零点，则需，即， 又，即，所以， 又函数在上单调递增，且，，， 由，得， 又，，， 则正实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题讨论函数图象上点关于对称，通过将函数图象对称后变成函数交点个数，将两个函数作差构造新的函数，转化成根据函数零点个数求参数问题．利用导数确定函数的单调性及最值，从而得到不等关系即可得出结果. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A的大小； （2）若，，求BC边上高的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理再结合两角和的正弦公式化简计算即可求角； （2）先根据余弦定理求边，再根据面积公式求高即可. 【小问1详解】 ， ， ，即. 又，，， ，. 【小问2详解】 设BC边上的高为h， ，即，解得， ，解得， 即BC边上的高为. 16. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造思想，等式两边同时加1，即可证得等比数列，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法直接求和即可. 【小问1详解】 由， 所以是首项、公比均为3的等比数列，故 所以 【小问2详解】 由（1）有，则， 所以， 两式相减，得 所以. 17. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ACDE是正方形，四边形FDCB是梯形，DF与BC为梯形上底与下底.是等腰直角三角形，直线平面ABC，. （1）求证：平面平面BEF； （2）求平面ABF与平面EBF夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可证平面平面ABC，进而可得平面DEF，结合垂直关系可得平面BFD，即可得面面垂直； （2）建系标点，分别求平面ABF与平面EBF夹角的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 因为，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC， 在正方形ACDE中，，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 因为，DE、平面DEF，所以平面平面ABC. 因为平面ABC，所以平面DEF. 因为平面DEF，所以. 因为，所以. 由题意知，，，则，所以. 因为，CD、平面BFD，所以平面BFD. 又平面BEF，所以平面平面BEF. 【小问2详解】 因为，平面ABC， 所以以A为原点，以AB，AC，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 可得，，. 设为平面ABF的法向量，则， 取，则为平面ABF的一个法向量， 设为平面BEF的法向量，则， 取，则为平面BEF的一个法向量， 可得. 所以平面ABF与平面EBF夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画山大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 19. 设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”. （1）已知数列是等差数列，且，求证：数列是“数列”； （2）若数列的前n项和，证明：数列不是“数列”； （3）设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求d的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列前项和与通项公式，结合“数列”的定义证明即可； （2）由求得数列通项公式，根据通项公式和前项和及“数列”的定义证明结论； （3）由等差数列前项和与通项公式，结合“数列”的定义得到，进而确定参数值. 【小问1详解】 因为，设公差为d，所以， 令，则，此时， 即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得，所以，数列是“H数列”； 【小问2详解】 因为数列的前n项和， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，， 假设数列是“H数列”，则对任意正整数，总存在正整数，使得， 当时，有，则，与题意不符； 当时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解， 所以对任意正整数，不存在正整数，使得，所以数列不是“H数列”； 【小问3详解】 依题意，，， 若是“H数列”，则对任意，都存在使得， 即，所以， 又因为，，所以对任意的，，且， 所以. 【点睛】方法点睛：本题对数列作出了新的定义，根据数列的通项公式和数列前和公式以及新的定义，建立等量关系是本题的关键.当方程有解时，则数列是“H数列”；当方程无解时，则数列不是“H数列”；当数列是“H数列”时，则方程必有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$