13.1命题、 定理与证明 素养提升练2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

第13章 全等三角形 单元大概念素养目标 大概念素养目标 对应新课标内容 了解命题的意义,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念 通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义.结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立【P67】 掌握判断命题真假的方法 了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的(例79)【P67、P68】 知道证明的意义和证明的必要性 知道证明的意义和证明的必要性(例77),知道数学思维要合乎逻辑(例78),知道可以用不同的形式表述证明的过程,会用综合法的证明格式【P67】 了解全等三角形的概念,掌握判定三角形全等的基本事实和定理 理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【P65】 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理【P66】 掌握等腰三角形、等边三角形的概念及性质、判定,能应用性质、判定解决简单问题 理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理……三个角都相等的三角形(或有一个角是60 的等腰三角形)是等边三角形【P65】 会用尺规作图进行基本作图 能用尺规作图:作一个角等于已知角;作一个角的平分线.能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线(例73)【P64】 掌握角平分线的概念、性质及逆定理 理解角平分线的概念,探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上【P65】 掌握线段垂直平分线的性质、判定 理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上【P65】 13.1 命题、定理与证明 基础过关全练 知识点1 命题及相关概念 1.【新独家原创】下列语句属于命题的是 ( ) A.车站每天的客流量是多少? B.流动中国的活力 C.中国前行的脚步 D.三角形的三边的垂直平分线的交点在三角形的内部 2.(2023广东深圳福田期末)下列命题中,属于真命题的是 ( ) A.如果∠1=∠2,那么∠1与∠2是对顶角 B.三角形的一个外角大于任何一个内角 C.两直线平行,同旁内角相等 D.等角的余角相等 3.【教材变式 P55T1】把命题“不能被2整除的数是奇数”改写成“如果……,那么……”的形式: . 4.命题“互为相反数的两个数的和为0”的条件是 ,结论是 . 知识点2 证明命题的一般步骤 5.【跨学科 物理】(2023甘肃天水期末)如图所示的是一个潜望镜模型示意图,AB,CD代表镜子摆放的位置,并且AB与CD平行,光线经过镜子反射时,满足∠1=∠2,∠3=∠4. 证明离开潜望镜的光线MN平行于进入潜望镜的光线EF. 请补全下述证明过程: ∵AB∥CD, ∴∠2= . ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠1=∠2=∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠5=180 ,∠3+∠4+ =180 , ∴∠5= . ∴MN∥EF( ). 6.(2023广东深圳福田期末)已知:如图, ABC中,点D、E分别在AB、AC上,EF交DC于点F,∠3+∠2=180 ,∠1=∠B. (1)求证:DE∥BC; (2)若DE平分∠ADC,∠3=3∠B,求∠2的度数. 能力提升全练 7.(2020四川雅安中考改编,5, )下列四个选项中不是命题的是 ( ) A.三角形的内角和为180 B.过直线外一点作直线的平行线 C.三角形任意两边之和大于第三边 D.如果a=b,a=c,那么b=c 8.(2020湖北宜昌中考,6, )能说明“锐角 ,锐角 的和是锐角”是假命题的例证图是 ( ) A B C D 9.(2023河南南阳第一完全学校期末,11, )命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是 ,结论是 . 10.【新考法】(2022福建中考,15, )推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误. 例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下: 设任意一个实数为x,令x=m, 等式两边都乘x,得x2=mx.① 等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2.② 等式两边分别分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m).③ 等式两边都除以(x-m),得x+m=m.④ 等式两边都减m,得x=0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是 . 素养探究全练 11.【推理能力】问题情境: (1)如图1,AB∥CD,∠PAB=130 ,∠PCD=120 ,求∠APC的度数.小颖同学的解题思路如下:如图2,过P作PE∥AB,…… 请你接着完成解答; 问题迁移: (2)如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠ ,∠BCP=∠ .试判断∠CPD、∠ 、∠ 之间有何数量关系,并说明理由(提示:过P作PE∥AD); (3)在(2)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动(点P与点A、B、O三点不重合),请你猜想∠CPD、∠ 、∠ 之间的数量关系. 图1 图2 图3 备用图 答案全解全析 基础过关全练 1.D 根据命题的定义判断,只有D符合命题的定义. 2.D A.对顶角出现的前提条件是两直线相交,相等的角不一定是对顶角,故原命题是假命题;B.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角,故原命题是假命题;C.两直线平行,同旁内角互补,故原命题是假命题;D.等角的余角相等,正确,是真命题,符合题意,故选D. 3.答案 如果一个数不能被2整除,那么这个数是奇数 4.答案 两个数互为相反数;这两个数的和为0 解析 命题可改写为“如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0”,故条件是“两个数互为相反数”,结论是“这两个数的和为0”. 5.解析 ∠3;∠6;∠6;内错角相等,两直线平行. 6.解析 (1)证明:∵∠DFE+∠2=180 ,∠3+∠2=180 , ∴∠DFE=∠3, ∴BD∥EF, ∴∠1=∠ADE, ∵∠1=∠B, ∴∠ADE=∠B, ∴DE∥BC. (2)由(1)知∠ADE=∠B,BD∥EF, ∴∠2=∠ADC, ∵DE平分∠ADC, ∴∠ADC=2∠ADE=2∠B, ∵∠3+∠ADC=180 ,∠3=3∠B, ∴3∠B+2∠B=180 ,解得∠B=36 , ∴∠ADC=72 , ∴∠2=72 . 能力提升全练 7.B 由题意可知,A、C、D都是命题,B项没有作出判断,不是命题.故选B. 8.C A.如图(1)所示,∠1是锐角,且∠1=∠ +∠ ,所以此图无法说明“锐角 ,锐角 的和是锐角”是假命题,故本选项不符合题意;B.如图(2)所示,∠2是锐角,且∠2=∠ +∠ ,所以此图无法说明“锐角 ,锐角 的和是锐角”是假命题,故本选项不符合题意;C.如图(3)所示,∠3是钝角,且∠3=∠ +∠ ,所以此图能说明“锐角 ,锐角 的和是锐角”是假命题,故本选项符合题意;D.如图(4)所示,∠4是锐角,且∠4=∠ +∠ ,所以此图无法说明“锐角 ,锐角 的和是锐角”是假命题,故本选项不符合题意.故选C. 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 9.答案 两条直线平行于同一条直线;这两条直线平行 解析 命题可改写成“如果两条直线平行于同一条直线,那么这两条直线平行”,故命题的条件是两条直线平行于同一条直线,结论是这两条直线平行. 10.答案 ④ 解析 ④的依据为等式的基本性质2,但是用法出错,证明过程中给出的条件是x=m,所以x-m=0,所以不能直接除. 素养探究全练 11.解析 (1)∵AB∥CD, ∴PE∥AB∥CD, ∴∠APE=180 -∠A=50 ,∠CPE=180 -∠C=60 , ∴∠APC=50 +60 =110 . (2)∠CPD=∠ +∠ .理由如下: 如图,过P作PE∥AD交CD于E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠ =∠DPE,∠ =∠CPE, ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠ +∠ . (3)当P在BA延长线上时,∠CPD=∠ -∠ , 理由:如图,过P作PE∥AD交ON于E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠ =∠DPE,∠ =∠CPE, ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠ -∠ . 当P在B、O之间时,∠CPD=∠ -∠ , 理由:如图,过P作PE∥AD交CO于E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠ =∠DPE,∠ =∠CPE, ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠ -∠ . 学科网(北京)股份有限公司 $$