精品解析：甘肃省白银市第八中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

白银市第八中学2024-2025学年度第一学期第7次阶段考试试卷A 科目：高三数学 命题人：王定先 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆和圆的位置关系判断可得答案. 【详解】由题意知，两圆的圆心分别为， 圆心距为， 两圆的半径分别为2，3， 由于， 所以两圆相交. 故选：B. 2. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解. 【详解】依题意可得分组的本数分配只有种，即，，， 则不同的分组方法数为. 故选：C 3. 等比数列中，已知，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由，，，成等比数列即可求解. 【详解】因为数列是等比数列， 所以，，，成等比数列， 且公比为，所以． 故选：A 4. 已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是（ ） A. 2或4 B. 6或12 C. 4或16 D. 2或18 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据抛物线的定义求解； 详解】 设，代入抛物线，解得：， 又因为点到焦点的距离是10，根据抛物线的定义，得： 化简得： 解得：或18. 故选：D. 5. 如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ） A. 780 B. 840 C. 900 D. 960 【答案】D 【解析】 【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法计数原理，可得不同的涂色方法种数. 【详解】解：先涂，则有种涂法，再涂，因为与相邻，所以的颜色只要与不同即可，有种涂法，同理有种涂法，有种涂法，有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为． 故选：D. 6. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：分析可得，将直线和直线的方程建立，求出点的坐标，再由，可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值； 方法二：推导出，结合对称性可求出的值，求出的值，由此可得出该双曲线的离心率的值. 【详解】方法一：因为，且为线段的中点，所以，，则， 不妨设点在第一象限，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 联立，解得，即点， 所以，， 化简可得，即，双曲线的离心率． 方法二：因为为中点，，则，所以， 又直线与直线分别为双曲线的两条渐近线， 得，所以，， 所以，故． 故选：C． 7. 已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出的距离，再由题意得到关于的不等式求得答案. 【详解】 如图，圆的半径为，圆上存在点， 过点作圆的两条切线，切点为，使得， 则，在中，， 又圆的半径等于，圆心坐标， ，， ， 由， 解得：，则的取值范围为. 故选：D. 8. 已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列的递推关系构造出常数列，再求通项，然后分离参变量，再利用数列的单调性思想，研究不等式成立的条件. 【详解】因为， 所以，所以， 即， 所以数列是常数列，当时，， 所以，即， 因为，所以， 令， 所以 ， 当时，，即， ，，，，， 为了满足不等式有且仅有4个解，则， 此时有，，，. 故选：. 【点睛】方法点睛：通过数列递推关系构造出常数列，不等式恒成立或有解问题要用分离参变量方法，数列的单调性用作差或作商法来研究. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分.全部选对的6分，部分选对得部分分，选错不得分.） 9. 已知数列的前项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列中的最小项为12 C. 数列的前项和为 D. 若，恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据递推关系式以及与的关系求得的通项公式，可判断；对B，列出的关系式，结合对勾函数的性质即可判断；对C，利用分组求和、并项求和的方法即可求出判断；对D，判断的单调性，进而可得的最大值即可判断. 【详解】对A，依题意， ， ，. 也满足上式， ，，数列为等差数列，故A正确； 对B，， 当时递增，当时递减， 当时，， 当时，，最小值为．故B错误； 对C，而， .故C正确； 对D，考查数列，因为 ， 故随的增大而减小，即当时取最大值， 为，故， 故若，恒成立，则，故D正确. 故选：ACD． 10. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由直线，令，解得，所以抛物线的焦点， 所以，所以A选项错误，抛物线方程为，准线为， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项正确. 由上述分析可知，中点， 其到准线的距离是，所以以为直径的圆与相切， C选项正确. ， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：BC 11. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】对分奇偶讨论可求得判断A；令与，可求得的值判断B；利用展开式的通项公式求解判断C；求得中的与的系数即可判断D. 【详解】对于A，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大或， 此时或，解得或，故A错误； 对于B，令，可得， 令，可得，所以，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以第5项为常数项且常数项为，故C正确； 对于D，展开式中的系数为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：赋值法是求解二项式定理中各项系数和的重要方法，求解展开式中的常数项的方法主要是利用展开式的通项公式求解. 三、填空题（共5题，每题3分，共15分.） 12. 若数列满足，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可. 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 13. 已知直线与直线平行，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行建立方程，验根，可得答案. 【详解】由题意可得，则，，解得或， 当时，直线与直线重合，不符合题意； 当时，，显然成立，符合题意. 故答案为：. 14. 已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据离心率定义求椭圆的离心率，结合条件确定椭圆的离心率，讨论焦点位置列方程求. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则， ， ， 所以椭圆的离心率，又， 所以， 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，所以， 所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 所以或. 故答案为：或. 四、解答题（共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务. （1）若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【答案】（1）34； （2）1260. 【解析】 【分析】（1）由题意，分成3种情况（有1、2、3名女性）讨论，求出对应的选法，进而相加即可； （2）由题意，结合分组分配问题即可求解. 【小问1详解】 由题意，分成3种情况讨论： 只有1名女性，共有种选法， 有2名女性，共有种选法， 有3名女性，共有种选法， 所以共有种选法， 即至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有34种选法； 【小问2详解】 由题意，先选3名航天员，然后分为的两组，然后分配到实验室， 共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有1260种选派方式. 16. 设向量，满足. （1）求动点轨迹的方程； （2）若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模长公式，表达出，再根据椭圆定义，可推出动点轨迹； （2）根据点斜式求出直线方程，和椭圆方程联立，根据韦达定理求出两交点长度，根据点到直线距离公式可求出到直线距离，即可求出的面积. 【小问1详解】 由得， 由椭圆定义知： 点到两定点的距离之和为4，且， 所以，，所以可得 所以点的轨迹C的方程为：. 【小问2详解】 因为， 所以直线方程为， 联立方程组得， 设，则 所以 点到直线PQ距离 所以 17. 已知数列的前n项和为S，且有，数列满足，且，前11项和为220． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据和的关系计算通项公式，再根据数列的递推公式证明为等差数列，结合已知条件计算公差，进而得通项公式； （2）利用裂项相消求数列的前n项和为，再适当变形即可证明. 【小问1详解】 ，故当时，； 当时，，满足上式， 所以，. 又，， 数列为等差数列，令其前项和为，则， ， 公差， ，. 【小问2详解】 由（1）知：， 故， ； ． 18. 若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. （1）当点坐标为时，求； （2）当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； （3）证明：的面积为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程，再根据共轭点的条件得到满足的方程，进而求出. （2）斜率公式和共轭点条件表示出，再利用均值不等式求的最小值. （3）利用三角形面积公式，结合前面求出的关系来证明面积为定值. 【小问1详解】 的共轭点分别记为， ， 直线的方程为， 联立得， ， ； 【小问2详解】 点在椭圆上， ，即， 由（1）知，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，代入， 得，即， ， ， 当时，易知，对应共轭点为， 此时，故也成立， ，当且仅当时等号成立； 【小问3详解】 由（2）知，对任意点，都有， ， 点到直线距离为， 的面积， 故的面积为定值. 19. 材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： （1）求共点直线系方程的“共点”的坐标； （2）设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； （3）若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）解方程组可得点坐标. （2）确定点与圆的位置关系，根据圆外的点与圆上的点的距离的最值可求解. （3）把转化为点和到直线的距离相等，根据非零实数对唯一存在可求的值，进而确定的值；再判断点与圆的位置关系，可确定过点的弦长最短时，直线所在的方程. 【小问1详解】 由. 所以“共点”的坐标为： 【小问2详解】 圆：，所以圆心，半径， 由， 所以点在圆外. 所以. 【小问3详解】 由得：点和到直线的距离相等. 所以直线过的中点或与直线平行或重合，又非零实数对唯一存在，所以就是直线. 所以. 因为：，所以点在圆内. 因为，所以当最小时，直线的方程为：. 若，理论上到AB距离为的直线有两条，它们与直线AB平行，这不唯一， 但注意到直线不过原点，由于AB方程为，当直线与平行过原点时， 方程为，所以另一条直线是，它是唯一符合条件的直线，此时，满足题意， 点，，所以在圆内，因为，所以当|ST|最小时，直线ST方程为， 综上，满足条件的直线方程为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市第八中学2024-2025学年度第一学期第7次阶段考试试卷A 科目：高三数学 命题人：王定先 一、单选题（共8小题，每题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 2. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，已知，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 已知点在抛物线上，若点到抛物线的对称轴的距离是6，到焦点的距离是10，则的值是（ ） A. 2或4 B. 6或12 C. 4或16 D. 2或18 5. 如图所示，积木拼盘由，，，，五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：与为相邻区域，与为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是（ ） A. 780 B. 840 C. 900 D. 960 6. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（ ） A B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分.全部选对的6分，部分选对得部分分，选错不得分.） 9. 已知数列的前项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列中最小项为12 C. 数列的前项和为 D. 若，恒成立，则 10. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ） A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 11. 在下列关于二项式的命题中，正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 在的展开式中，常数项为60 D. 的展开式中，的系数为5 三、填空题（共5题，每题3分，共15分.） 12. 若数列满足，，则__________． 13. 已知直线与直线平行，则实数a的值为__________. 14. 已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则________． 四、解答题（共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务. （1）若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答） （2）若选中4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 16 设向量，满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若点，设斜率为且过的直线与（1）中的轨迹交于P，Q两点，求的面积. 17. 已知数列的前n项和为S，且有，数列满足，且，前11项和为220． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 18. 若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. （1）当点坐标为时，求； （2）当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； （3）证明：的面积为定值. 19. 材料：我们把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：（其中，且该方程不表示）． 问题：已知圆M：．求： （1）求共点直线系方程的“共点”的坐标； （2）设点为第（1）问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； （3）若有唯一一组非零实数对满足关于实数方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $