第十四章 整式的乘法与因式分解 单元拔尖测试卷-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十四章 整式的乘法与因式分解单元拔尖测试卷 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．当时，下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（    ） A．a3+a4＝a7 B．a3•a6＝a9 C．2m•5m＝7m D．a3+a3＝3a3 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则的结果是（   ） A．19 B．31 C． D． 8．如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两个正方形和两个长方形．若去掉边长为的小正方形后，再将剩余部分拼成一个长方形，则长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 9．如图所示，以长方形的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长之和为，面积之和为，则长方形的面积为(  ) A．10 B．20 C．40 D．80 10．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．计算： ． 12．计算（1） ；（2） ． 13．如果是一个完全平方公式，那么k= . 14．若，，则 ． 15．已知m+n=2019，m-n=，则m2-n2的值为 ． 16．若（m＋1）（m－1）＝1，则 ． 17．因式分解： ． 18．若，则 ． 三．解答题（共6小题，满分46分） 19．因式分解： (1)； (2)． 20． 已知，且，求证：． 21．先化简，再求值： (1)，其中 (2)已知，求代数式的值． 22． 材料一 定义：对任意一个四位数（其中，，，且均为整数），若，，则称为“久久数”． 材料二 如果一个两位数的个位数是，十位数是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 阅读以上材料，完成下列任务： 任务一 填空： （“是”或“不是”）“久久数”， （“是”或“不是”）“久久数”； 任务二 请用含，，，的代数式表示 ； 任务三 求证：任意一个“久久数”都能被整除． 23．计算： (1) (2) 24．如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：　　，　　； (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？　　； (3)试利用这个公式计算： ① ② ③． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C D A B C D 1．D 【分析】本题考查了积的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 2．B 【分析】根据因式分解的概念，把多项式改写成几个整式积的形式进行判断即可． 【详解】解：A、不是化成整式积的形式，故错误； B、把多项式化成几个整式积的形式，故正确； C、将整式积的形式化成单项式和的形式，故错误； D、不是化成整式的积的形式，故错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念是解决本题的关键． 3．A 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，熟记概念与性质是解题的关键； 根据有理数的乘方的定义和绝对值的性质对各选项分析判断利用排除法求解即可． 【详解】A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项正确； D、，故本选项正确． 故选：A． 4．B 【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘以单项式以及积的乘方运算法则化简求出答案． 【详解】解：A、a3和a4不是同类项，不能合并，故错误； B、a3•a6＝a9，故正确； C、2m•5m＝10m，故错误； D、a3+a3＝2a3，故错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查了合并同类项、单项式乘以单项式运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 5．C 【分析】此题主要考查了积的乘方、幂的乘方和整式乘除运算，根据运算法则逐项计算即可． 【详解】解：，故A选项计算错误，不合题意； ，故B选项计算错误，不合题意； ，故C选项计算正确，符合题意； ，故D选项计算错误，不合题意； 故选：C． 6．D 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选A． 8．B 【分析】根据题意，先将剩余部分拼成长方形，再根据图形的边长关系将新长方形的长和宽表示出来，就可以计算面积． 【详解】解：如下图所示，    可以将图①拼到到图②的位置，就构成了长方形： 该长方形的长为：，宽为：， 则长方形的面积为：， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形周长的计算，单项式乘以单项式，题目较简单，解题的关键是能够用剩余部分图形拼出矩形． 9．C 【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据四个半圆的周长之和为14π，可得a+b=14，根据面积之和为29π，可得a2+b2=116，进而求出ab的值即可． 【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，由题意得， πa+πb=14π，即：a+b=14， π×（）2+π×（）2=29π，即：a2+b2=116， ∴ab=[（a+b）2（a2+b2）]= （196116）=40， 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义，将公式进行适当的变形是解决问题的关键． 10．D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知， ，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 11． 【分析】根据幂的乘方和积的乘方先算乘方，再按照单项式乘单项式法则化简即可． 【详解】解：原式=9m4n-4•2m-3n4 =18m． 故答案为：18m． 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，单项式乘单项式，掌握（ab）n=anbn是解题的关键． 12． / 【分析】本题考查整式乘法．根据同底数幂的法则、积的乘方法则进行计算． 【详解】解：（1）；（2）． 故答案为：；． 13． 【分析】现将原公式变形，再利用完全平方公式的特点，求出k值，注意k值，有两个. 【详解】 因为是一个完全平方公式，因此，，则. 【点睛】本题考查了完全平方公式的结构，，根据结构就可以解答. 14．16 【分析】本题考查了同底数的幂的乘法，幂的乘方，能正确根据同底数幂的乘法进行变形是解此题的关键． 根据同底数幂的乘法得出，将变形后代入求出即可． 【详解】∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：16． 15．2018 【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案． 【详解】解：∵m+n=2019，m-n=， ∴m2-n2=（m+n）（m-n） =2019× =2018． 故答案为2018． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键． 16．2 【分析】先用平方差公式将等式左边展开，然后解关于的方程即可． 【详解】解：（m＋1）（m－1）＝1 -1=1 =2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，牢记平方差公式成为解答本题的关键． 17． 【分析】先提取公因式，再运用完全平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法：1.提公因式法；2.运用公式法（平方差公式与完全平方公式）． 18．-1 【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性，即可求出x、y的值，然后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查了求代数式，解题的关键是利用非负性求出x、y的值. 19．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式； （1）利用分组分解法因式分解即可； （2）原式变形后提取公因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．见解析 【分析】展开，因式分解，后运用不等式的性质计算即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，不等式组的解集，熟练掌握因式分解，灵活运用不等式的性质是解题的关键． 21．【答案】(1)，7 (2)0 【分析】（1）运用乘法公式化简，再代入求值即可； （2）运用乘法公式将代数式化简，再整体代入计算即可求解， 本题主要考查整式的混合运算，整式的化简求值，根据乘法公式，整式的混合运算化简，代入求值即可，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 当时，， （2）解： ， ∵， ∴． 22．任务一：是，不是 任务二： 任务三：证明见解析 【分析】（1）结合新定义“久久数”，直接判断即可； （2）结合材料二直接表示为：； （3）依题意，结合新定义和数的表示方法可得：，于是得证． 【详解】解：（1）依题意， ，， 是久久数， ，， 不是久久数， 故答案为：是，不是； （2）根据材料二表示一个数的方法可得： ， 故答案为：； （3）依题意可得： ，， ， 任意一个“久久数”都能被整除． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加减运算，去括号，合并同类项，等式的性质等知识点，读懂题意，弄清新定义并准确列式计算是解题的关键． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； （2）依次计算负指数幂、零指数幂、负指数幂、然后先乘方再算绝对值，最后求和即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、正负底数的负指数幂、零指数幂、绝对值、实数运算法则等知识点，属于基础的计算题，难度不大．解题的关键是掌握相关的运算法则．注意：同底数幂的乘法和除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．负指数幂的运算法则：把幂指数变号后所得的幂的倒数．任何非零底数的零次幂都等于1． 24．(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式进行计算，因此，本题熟练掌握平方差公式是关键． （1）分别根据面积公式进行计算； （2）根据图1的面积图2的面积列式； （3）①把后两项看成一个整体，利用平方差公式进行计算； ②把分母利用平方差公式分解因式，再计算并约分得5； ③添一项后，与第一个括号里的数组成平方差公式，依次这样计算可得结果． 【详解】（1）解：原阴影面积，拼剪后的阴影面积 （2）解：验证的公式为：. （3）解：①， ， ， ； ②； ③， ， ， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$