专题 第1章有理数章末重点题型复习（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

（浙教版）七年级上册 第1章有理数章末重点题型复习 题型一 正负数的概念 1．（2024•雁塔区校级四模）在﹣2，0，，2这四个数中，是负数的是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 2．（2024•沙市区三模）某地冬季里某一天的气温为﹣3℃～3℃，那么“﹣3℃”的含义是（　　） A．零下3摄氏度 B．零上3摄氏度 C．降低3摄氏度 D．升高3摄氏度 3．（2023秋•博尔塔拉州期末）在﹣1，π，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023秋•宁德期末）用﹣a表示的数是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或正数 D．负数或正数或0 5．（2024•路南区开学）在+4，﹣9，2.2，0，﹣0.01，﹣0.1，+7.7这些数中，正数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023秋•琼海校级期末）在﹣（﹣2），|﹣3|，0，（﹣2）3这四个数中，是负数的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 用正负数表示具有相反意义的量 1．（2023秋•环翠区期末）《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入90元记作+90元，则支出30元记作（　　） A．+50元 B．﹣50元 C．+30元 D．﹣30元 2．（2024•红河州一模）锂电池是电动汽车的关键部件，我国的锂电池正突破重围，势不可挡．规定充电时长为正，耗电时长为负，若新能源汽车快充充电0.5小时记作+0.5小时，那么新能源汽车连续性耗电8小时记作（　　） A．+0.5小时 B．﹣0.5小时 C．+8小时 D．﹣8小时 3．下列是具有相反意义的量的是（　　） A．向东走5米和向北走5米 B．身高增加2厘米和体重减少2千克 C．胜1局和亏本70元 D．收入50元和支出40元 4．（2024•大石桥市校级一模）七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（　　）分． A．86 B．83 C．87 D．80 5．（2023秋•叙州区期末）智轨已成为宜宾人生活中非常重要的交通工具．若智轨向东行驶记为正，则向西行驶5km记作 　 　km． 6． （2024•临夏州一模）据介绍，我国计划2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验．月球表面没有大气层保温，昼夜温差非常大．面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作 　 ℃． 题型三 运用正负数表示误差范围 1．（2023秋•渝北区期末）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm 2．（2023秋•巴楚县期末）某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（　　）范围内保存最合适． A．17℃～23℃ B．20℃～23℃ C．17℃～20℃ D．20℃～26℃ 3．（2023秋•莱西市期末）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（　　） A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克 4．（2023秋•青田县期末）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里Φ300表示直径是300mm，+0.2和﹣0.5是指直径在（300﹣0.5）mm到（300+0.2）mm之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（　　） A．44.6mm B．44.8mm C．45.3mm D．45.5mm 5． （2024秋•鼓楼区校级月考）超市某品牌清毒液，瓶上印有这样一段字样“净含量550±5ml“，那么一瓶合格的清毒液至少有 　 　ml． 题型四 有理数的概念 1．（2023秋•徐闻县期末）在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋•广阳区期末）下列说法正确的是（　　） A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 3．（2024秋•东港区校级月考）有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②有理数都可以写成分数形式；③零是最小的有理数；④正分数一定是有理数；⑤-a一定是负数，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024秋•肇源县月考）下列7个数：、1.010010001、、0、﹣2π、﹣3.141441444…（每两个1之间依次多一个4）、3.，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 6． （2024秋•回民区校级月考）下列各数：①1.010010001；②﹣2π；③；④0；⑤2.3中，是有理数的是 　 　（填写数字前的序号）． 题型五 有理数的分类 1．（2023秋•衡山县期末）在数0.73，0，﹣39，1，，，2.43，，23%，98，中，分数有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024•民勤县三模）下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．2.4 3．（2024春•宝山区校级期末）在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，π，7中，非负数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．（2023秋•宁阳县期末）下列说法错误的有（　　） ①是负分数； ②1.5不是整数； ③非负有理数不包括0； ④整数和分数统称为有理数； ⑤0是最小的有理数； ⑥﹣1是最小的负整数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，+7，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，，0.3，5%，﹣26，1.010010001…． 正数集合：{ 　 …}； 负数集合：{ 　 　…}； 整数集合：{ 　 　…}； 分数集合：{ 　 　…}． 6．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，﹣700，﹣3.88，0，3.14，，0.． 正有理数集合：{ 　 　…}， 负整数集合：{ 　 　…}， 正分数集合：{ 　 　…}， 非负整数集合：{ 　 …}． 题型六 数轴及其画法 1．（2024•二道区校级模拟）如图，数轴上点M表示的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 2．下列图形中，数轴画正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•雄县校级月考）下列说法中，错误的是（　　） A．数轴上的每一个点都表示一个有理数 B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示 C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要恰当选取 D．在数轴上，与原点的距离是10的点有两个 4．在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？ 5．（2023秋•平桥区月考）给出下面五个数，﹣1，0，2.5，4．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 6．（2023秋•天河区校级期中）画出数轴，并回答下列问题： ①用数轴上的点表示下列各数：﹣4，+3.5，，+1． ②在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A平移8个单位长度后得到的数． 题型七 数轴上两点间的距离 1．（2024秋•珠海校级月考）在数轴上，点A表示的数是1，若点B到A的距离是3，则点B表示的数是（　　） A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．3或﹣3 2．（2024秋•衡阳县月考）一只蚂蚁从数轴的点A出发，沿数轴先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，恰好到达原点，则点A对应的数是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 3．（2023秋•西峰区校级期中）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，若AB＝10，则点A表示的数为（　　） A．﹣5 B．0 C．5 D．﹣10 4．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A：　 　；B：　 　；C：　 　． （2）A、B两点间的距离是 　 　，A、C两点间的距离是 　 　． （3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 5．（2023秋•郾城区校级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 6．（2023秋•礼泉县期末）如图，点A、C在数轴上，所对应的数分别为﹣3、3，已知数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中A、B两点间的距离是2个单位长度，C、D两点间的距离是1个单位长度． （1）在图中标出点B，D的位置，并写出点B对应的数； （2）若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是3个单位长度，求点E所对应的数． 题型八 利用数轴解决实际问题 1．（2024•绿园区校级三模） 2024年，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行．如图，将5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示，那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是（　　） A．纽约时间7月26日14时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分 C．北京时间7月27日3时30分 D．汉城时间7月26日3时30分 2．（2024秋•高碑店市月考）如图，把周长为5个单位长度的圆放到数轴上，圆上一点A与表示﹣1的点重合，圆沿着数轴滚动2周，此时点A表示的数是（　　） A．9 B．﹣11 C．4或﹣6 D．9或﹣11 3．（2024秋•雄县校级月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处依次标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数字2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左不滑动的滚动，数轴上的数字1所对应的点与圆周上的数字2所对应的点重合，则数轴上的数字﹣2024所对应的点与圆周上重合的点所对应的数字为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3km到达A小区，继续向西行驶1km到达B小区，然后向东骑行8km到达C小区最后回到物流公司． （1）以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1cm表示1km，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）求快递员一共骑行的路程． 5．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数　 表示的点重合； （2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 题型九 绝对值 1．（2024•西双版纳一模）﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（2023秋•白云区期末）若|m|＝6，则m的值是（　　） A．﹣6 B．6 C． D．﹣6或6 3．（2023秋•凉山州期末）已知a＝﹣5，|a|＝|b|，则b＝（　　） A．+5 B．﹣5 C．0 D．+5或﹣5 4．（2023秋•莒南县期末）下列结论正确的是（　　） A．|m|一定是正数 B．|m|一定是负数 C．﹣|﹣m|一定是负数 D．﹣|m|一定是非正数 5．（2023秋•黄石期末）已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（　　） A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5 6．在数轴上，表示一个数的点A在原点的左边，且距离原点4个单位长度 （1）这个数的绝对值是多少？ （2）写出这个数的相反数； （3）求这个数对应的点与它的相反数对应点之间的距离． 题型十 相反数和多重符号的化简 1．（2024春•上思县月考）﹣2024的相反数是（　　） A． B． C．2024 D．﹣2024 2．（2024•睢宁县校级模拟）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．﹣0.5和 C．﹣3和 D．和﹣2 3．（2024•盐城二模）如果a与1互为相反数，那么a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 4．（2023秋•科左中旗期中）下面说法：①π的相反数是﹣π；②符号相反的数互为相反数；③﹣（﹣3.8）的相反数是﹣3.8；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024秋•兰山区校级月考）下列说法中，错误的是（　　） A．在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数 B．与2.2互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是3 6．（2023秋•德化县校级月考）化简下列各数： ①﹣（﹣8）＝　 ； ②﹣（+0.75）＝　 　； ③　 ； ④﹣[+（﹣3.8）]＝　 　． 7．（2023秋•景县校级期末）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a的相反数的位置． （2）若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 题型十一 有理数的大小比较 1．（2024•广州）四个数﹣10，﹣1，0，10中，最小的数是（　　） A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10 2．（2024•温州模拟）某一天，温州、杭州、哈尔滨、北京四个城市的最低气温分别是5℃，0℃，﹣22℃，﹣10℃，其中最低气温是（　　） A．5℃ B．0℃ C．﹣22℃ D．﹣10℃ 3．（2024•南明区校级二模）如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．（2023秋•赤坎区校级期末）2021年1月某日零点，北京、上海、深圳、长春的气温分别是﹣4℃、5℃、20℃、﹣18℃，当时这四个城市中，气温最低的是（　　） A．北京 B．上海 C．深圳 D．长春 5．（2023秋•凉山州期末）根据有理数a、﹣b、﹣c，在数轴上的位置，比较a、b、c的大小，则（　　） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a 6．比较下列各对数的大小： （1）3和﹣7． （2）﹣5.3和﹣（+5.4）． （3）和． （4）﹣（﹣7）和|﹣1|． 7．（2024秋•迎泽区校级月考）如图是一个不完整的数轴，已知下列各数：﹣3，3.5，，﹣|﹣1|． （1）请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； （2）将各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来． 题型十二 绝对值的非负性 1．（2023秋•韶关期末）若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|的值是（　　） A．5 B．1 C．2 D．0 2．（2023秋•沈丘县期末）如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2023 B．4046 C．20 D．0 3．（2023秋•光泽县期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（　　） A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2 4．（2023秋•河东区校级月考）若|a|+|b﹣2|＝0，则a＝　 　，b＝　 　． 5．（2024春•南岗区校级期中）已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　 　． 6．（2023秋•中江县期末）若|a﹣2|与|m+n+3|互为相反数，则a+m+n＝　 　． 7．（2023秋•江宁区校级月考）若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0． 计算：（1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|﹣|z|的值． 8．（2023秋•寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题． （1）a＝ 　 ，b＝ 　 　． （2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值． 题型十三 利用绝对值解决实际问题 1．（2023秋•攸县期末）一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：g），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•斗门区期末）质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（　　） A． B． C． D． 3．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 4．（2023秋•沈丘县校级月考）太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 5．（2023秋•沂源县校级月考）国际乒联规定在正式比赛中采用大球，对大球的直径有严格的规定，现有5个乒乓球，测量它们的直径，超过标准直径的毫米数用正数表示，不足的毫米数用负数表示，检验结果如下： A．﹣0.1毫米；B．﹣0.2毫米；C．+0.3毫米；D．﹣0.05毫米；E．+0.1毫米． 你认为应选哪一个乒乓球用于比赛？为什么？ 6．（2023秋•太康县期中）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17． （1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？ （2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？ 题型十四 绝对值的几何意义 1．已知为有理数，则的最小值是 ． 2．同学们都知道，|5﹣2|表示5与2之差的绝对值，|5﹣2|也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答： （1）|﹣5﹣2|＝　 　，这个算式利用数轴可理解为 　 　； （2）求使|x+5|＝7成立的所有整数； （3）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且AB＝BC＝CD，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 3．【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 4．（2023秋•新城区校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　 　，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　； （2）若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则|a+2|+|a﹣5|的值为 　 　； （3）若将数轴折叠，使得1表示的点与﹣3表示的点重合，此时M、N两点也互相重合若数轴上M、N两点之间的距离为2017（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　． 5．（2024秋•龙华区校级月考）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是　 　；表示1和﹣4的两点之间的距离是　 　． （2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　 　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为　 ． （3）若|x+3|＝4，则x＝　 ；若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册 第1章有理数章末重点题型复习 题型一 正负数的概念 1．（2024•雁塔区校级四模）在﹣2，0，，2这四个数中，是负数的是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 【分析】根据负数的定义即可求得答案． 【解答】解：﹣2是负数；，2是正数；0既不是正数也不是负数； 故选：A． 【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2024•沙市区三模）某地冬季里某一天的气温为﹣3℃～3℃，那么“﹣3℃”的含义是（　　） A．零下3摄氏度 B．零上3摄氏度 C．降低3摄氏度 D．升高3摄氏度 【分析】根据正数和负数的定义进行计算． 【解答】解：根据正数和负数的定义可知， “﹣3℃”的含是零下3摄氏度． 故选：A． 【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是关键． 3．（2023秋•博尔塔拉州期末）在﹣1，π，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据正数的定义解答即可． 【解答】解：这五个数中，正数有3个，分别为π，11，3， 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，掌握它们的定义是本题的关键． 4．（2023秋•宁德期末）用﹣a表示的数是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或正数 D．负数或正数或0 【分析】利用正数、负数的意义来判断． 【解答】解：﹣a表示的数是正数、负数或0， 故选：D． 【点评】本题考查了正数、负数，解题的关键是掌握正数、负数的意义． 5．（2024•路南区开学）在+4，﹣9，2.2，0，﹣0.01，﹣0.1，+7.7这些数中，正数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：+4＞0，是正数； ﹣9＜0，是负数； 2.2＞0，是正数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣0.01＜0，是负数； ﹣0.1＜0，是负数； +7.7＞0，是正数； ∴正数有+4，2.2，+7.7，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，解答本题的关键是掌握正数和负数的定义和识别． 6．（2023秋•琼海校级期末）在﹣（﹣2），|﹣3|，0，（﹣2）3这四个数中，是负数的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据相反数的定义，绝对值的性质，有理数的乘方分别进行计算，然后根据负数的定义解答． 【解答】解：﹣（﹣2）＝2是正数， |﹣3|＝3是正数， 0既不是正数也不是负数， （﹣2）3＝﹣8是负数， 所以，负数只有（﹣2）3共1个． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正数和负数，主要利用了相反数的定义，绝对值的性质，有理数的乘方，是基础题，对各数准确化简是解题的关键． 题型二 用正负数表示具有相反意义的量 1．（2023秋•环翠区期末）《九章算术》中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入90元记作+90元，则支出30元记作（　　） A．+50元 B．﹣50元 C．+30元 D．﹣30元 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若收入90元记作+90元，则支出30元记作﹣30元． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2．（2024•红河州一模）锂电池是电动汽车的关键部件，我国的锂电池正突破重围，势不可挡．规定充电时长为正，耗电时长为负，若新能源汽车快充充电0.5小时记作+0.5小时，那么新能源汽车连续性耗电8小时记作（　　） A．+0.5小时 B．﹣0.5小时 C．+8小时 D．﹣8小时 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：新能源汽车快充充电0.5小时记作+0.5小时，那么新能源汽车连续性耗电8小时记作﹣8小时， 故选：D． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 3．下列是具有相反意义的量的是（　　） A．向东走5米和向北走5米 B．身高增加2厘米和体重减少2千克 C．胜1局和亏本70元 D．收入50元和支出40元 【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反． 【解答】解：A．“向东”与“向北”，没有具体数量，不符合题意； B．身高和体重不是相反的量，不符合题意； C．胜1局和亏本70元不是相反的量，不符合题意； D．收入50元和支出40元具有相反意义，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正数和负数，解题关键：相反意义的量的两个关键因素，它们必须是同一属性，意义相反． 4．（2024•大石桥市校级一模）七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（　　）分． A．86 B．83 C．87 D．80 【分析】由正负数的概念可计算． 【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了83﹣3＝80分， 故选：D． 【点评】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义． 5．（2023秋•叙州区期末）智轨已成为宜宾人生活中非常重要的交通工具．若智轨向东行驶记为正，则向西行驶5km记作 　 　km． 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若智轨向东行驶记为正，则向西行驶5km记作﹣5km． 故答案为：﹣5． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 6．（2024•临夏州一模）据介绍，我国计划2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验．月球表面没有大气层保温，昼夜温差非常大．面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作 　 ℃． 【分析】根据正负数的意义求解即可． 【解答】解：面对太阳的一面温度可以达到零上127℃，记作+127℃，背向太阳的一面温度可以达到零下183℃，记作﹣183℃． 故答案为：﹣183． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 题型三 运用正负数表示误差范围 1．（2023秋•渝北区期末）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm 【分析】根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可． 【解答】解：由题意可得合格尺寸的范围为4.3mm～4.7mm， 则A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查正数和负数，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 2．（2023秋•巴楚县期末）某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（　　）范围内保存最合适． A．17℃～23℃ B．20℃～23℃ C．17℃～20℃ D．20℃～26℃ 【分析】选20℃为标准记为0，超过部分为正，不足部分为负，直接计算即可． 【解答】解：20℃﹣3℃＝17℃，20℃+3℃＝23℃， 则该药品在17℃～23℃范围内保存． 故选：A． 【点评】本题考查正负数问题，选准标准，规定超过部分为正，不足部分为负，由此用正负数解答问题是关键． 3．（2023秋•莱西市期末）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（　　） A．25.28千克 B．25.18千克 C．24.69千克 D．24.25千克 【分析】根据一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，可以求出合格面粉的质量的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”， ∴合格面粉的质量的取值范围是：（25﹣0.25）千克～（25+0.25）千克， 即合格面粉的质量的取值范围是：24.75千克～25.25千克， 故选项A不合格，选项C不合格，选项B合格，选项D不合格． 故选：B． 【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正负数在题目中的实际意义． 4．（2023秋•青田县期末）在生产图纸上通常用来表示轴的加工要求，这里Φ300表示直径是300mm，+0.2和﹣0.5是指直径在（300﹣0.5）mm到（300+0.2）mm之间的产品都属于合格产品．现加工一批轴，尺寸要求是，则下面产品合格的是（　　） A．44.6mm B．44.8mm C．45.3mm D．45.5mm 【分析】根据正负数的意义求解即可． 【解答】解：由题意得：合格范围为：45﹣0.3＝44.7到45+0.2＝45.2， 而44.6＜44.7＜44.8＜45.2＜45.3＜45.5， 故可得B合格． 故选：B． 【点评】本题考查了正数和负数，理解并熟记正负数的意义是解题的关键． 5．（2024秋•鼓楼区校级月考）超市某品牌清毒液，瓶上印有这样一段字样“净含量550±5ml“，那么一瓶合格的清毒液至少有 　 　ml． 【分析】根据瓶体上净含量的说明，可判断出瓶内消毒液的质量范围，从而可求出这瓶消毒液的最少含量． 【解答】解：根据“净含量（550±5）ml”， 可得，消毒液的质量在555ml至545ml之间， 故这瓶消毒液至少还有545ml． 故答案为：545． 【点评】本题考查了正数和负数，能够根据正、负数的性质，正确的判断出消毒液的质量范围是解答此题的关键． 题型四 有理数的概念 1．（2023秋•徐闻县期末）在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据有理数的概念进行求解即可． 【解答】解：在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的有3.14，，0，0.1010010001，共4个； 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数：有限小数与无限循环小数是有理数；掌握有理数的概念是解题的关键． 2．（2023秋•广阳区期末）下列说法正确的是（　　） A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、所有的整数不都是正整数，还有负整数和0，故A不符合题意； B、整数和分数统称有理数，故B符合题意； C、0是绝对值最小的有理数，故C不符合题意； D、零既不是正整数，也不是负整数，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 3．（2024秋•东港区校级月考）有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②有理数都可以写成分数形式；③零是最小的有理数；④正分数一定是有理数；⑤-a一定是负数，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据有理数的定义和分类，逐个判断即可． 【解答】解：整数和分数统称为有理数， ①一个有理数不是正数就是负数或者0，原说法错误，不符合题意； ②有理数都可以写成分数形式，原说法正确，符合题意； ③零不是最小的有理数，原说法错误，不符合题意； ④正分数一定是有理数，原说法正确，符合题意； ⑤﹣a不一定是负数，例如当a=0时，﹣a=0不是负数，原说法错误，不符合题意， ∴说法正确的有1个， 故选：B． 【点评】此题主要考查了有理数，正数和负数，关键是掌握0既不是正数也不是负数． 4．（2024秋•肇源县月考）下列7个数：、1.010010001、、0、﹣2π、﹣3.141441444…（每两个1之间依次多一个4）、3.，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，对各个数逐一判断即可． 【解答】解：、1.010010001、、0、都是有理数，共5个， 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数，解题的关键是掌握有理数和无理数的概念． 5．（2024秋•回民区校级月考）下列各数：①1.010010001；②﹣2π；③；④0；⑤2.3中，是有理数的是 　 　（填写数字前的序号）． 【分析】有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 【解答】解：有理数有①1.010010001；③；④0；⑤2.3． 故答案为：①③④⑤． 【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 题型五 有理数的分类 1．（2023秋•衡山县期末）在数0.73，0，﹣39，1，，，2.43，，23%，98，中，分数有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据有理数的分类即可解决问题． 【解答】解：在数0.73，0，﹣39，1，，，2.43，，23%，98，中，分数有0.73，，，2.43，，23%共6个． 故选：C． 【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类． 2．（2024•民勤县三模）下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．2.4 【分析】根据大于零的分数是正分数，可得答案． 【解答】解：A、是整数，故A错误； B、是负分数，故B错误； C、既不是正数也不是负数，故C错误； D、是正分数，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了有理数，大于零的分数是正分数，注意0既不是正数也不是负数，0是整数． 3．（2024春•宝山区校级期末）在﹣18，，0，12%，﹣7.2，，π，7中，非负数有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【分析】根据有理数的分类及定义进行判断即可． 【解答】解：，12%，0，π，7是非负数，共5个， 故选：B． 【点评】本题考查有理数，熟练掌握有理数的分类及定义是解题的关键． 4．（2023秋•宁阳县期末）下列说法错误的有（　　） ①是负分数； ②1.5不是整数； ③非负有理数不包括0； ④整数和分数统称为有理数； ⑤0是最小的有理数； ⑥﹣1是最小的负整数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可． 【解答】解：①是负分数，说法正确，不符合题意； ②1.5不是整数，说法正确，不符合题意； ③非负有理数包括0，说法错误，符合题意； ④整数和分数统称为有理数，说法正确，不符合题意； ⑤0是最小的有理数，说法错误，符合题意； ⑥﹣1是最大的负整数，说法错误，符合题意． 所以错误的有3个． 故选：C． 【点评】此题考查的是有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 5．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，+7，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，，0.3，5%，﹣26，1.010010001…． 正数集合：{ 　 …}； 负数集合：{ 　 　…}； 整数集合：{ 　 　…}； 分数集合：{ 　 　…}． 【分析】利用正数，负数，整数以及分数定义判断即可． 【解答】解：正数集合：{1，，0.5，+7，，0.3，5%，1.010010001…}； 负数集合：{﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26}； 整数集合：{1，+7，0，﹣9，﹣26}； 分数集合：{，0.5，﹣6.4，，0.3，5%}． 故答案为：1，，0.5，+7，，0.3，5%，1.010010001…； ﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26； 1，+7，0，﹣9，﹣26； ，0.5，﹣6.4，，0.3，5%． 【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 6．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，﹣700，﹣3.88，0，3.14，，0.． 正有理数集合：{ 　 　…}， 负整数集合：{ 　 　…}， 正分数集合：{ 　 　…}， 非负整数集合：{ 　 …}． 【分析】根据有理数的分类填写即可． 【解答】解：正有理数集合：{1，0.0708，3.14，0.，…}， 负整数集合：{﹣700，…}， 正分数集合：{0.0708，3.14，0.，…}， 非负整数集合：{1，0，…}． 故答案为：1，0.0708，3.14，0.；﹣700；0.0708，3.14，0.；1，0． 【点评】本题考查了有理数的知识，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 题型六 数轴及其画法 1．（2024•二道区校级模拟）如图，数轴上点M表示的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【分析】观察数轴可得点M表示的数． 【解答】解：如图所示，点M表示的数是﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了数轴，关键是会观察数轴． 2．下列图形中，数轴画正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，根据数轴的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、左边的数比右边的数大，故本选项不符合题意； B、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； C、没有原点，不是数轴，故本选项不符合题意； D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线． 3．（2024秋•雄县校级月考）下列说法中，错误的是（　　） A．数轴上的每一个点都表示一个有理数 B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示 C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要恰当选取 D．在数轴上，与原点的距离是10的点有两个 【分析】根据数轴上点的特点逐项进行判断即可． 【解答】解：A．有的点表示有理数，有的点表示无理数，故A错误，符合题意； B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示，故B正确，不符合题意； C．确定单位长度时可根据需要恰当选取，正确，不符合题意； D．与原点的距离是10的点有两个，分别为10、﹣10，正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握任意一个有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上每一个点不一定能用有理数表示是关键． 4．在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？ 【分析】根据数轴即可得到各点表示的数． 【解答】解：A、B、C、D、E各点分别表示﹣3，﹣1.5，0，0.5，3． 【点评】本题考查了数轴，体现了数形结合的数学思想，掌握数轴上的点所表示的数是解题的关键． 5．（2023秋•平桥区月考）给出下面五个数，﹣1，0，2.5，4．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 【分析】根据已知数据画出合适的数轴，将所给数据表示出来即可． 【解答】解：如图： 【点评】本题考查数轴的应用——表示有理数，属于基础题． 6．（2023秋•天河区校级期中）画出数轴，并回答下列问题： ①用数轴上的点表示下列各数：﹣4，+3.5，，+1． ②在数轴上标出表示﹣1的点A，写出将点A平移8个单位长度后得到的数． 【分析】根据数轴的特点进行解题即可． 【解答】解：①点表示在数轴上为：； ②点A表示的数是﹣1，在数轴上表示为：， 则点A平移8个单位长度后的数为：﹣1+8＝7或﹣1﹣8＝﹣9． 则得到的数为7或﹣9． 【点评】本题考查数轴，掌握数轴的特征是解题的关键． 题型七 数轴上两点间的距离 1．（2024秋•珠海校级月考）在数轴上，点A表示的数是1，若点B到A的距离是3，则点B表示的数是（　　） A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．3或﹣3 【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解． 【解答】解：设点B表示的数为x，则|x﹣1|＝3，所以x＝4或﹣2； 故选：C． 【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 2．（2024秋•衡阳县月考）一只蚂蚁从数轴的点A出发，沿数轴先向左移动2个单位长度，再向右移动6个单位长度，恰好到达原点，则点A对应的数是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】根据题目中点A的平移规律，列出代数式解答即可． 【解答】解：点A对应的数是：0﹣6+2＝﹣4， 故选：D． 【点评】此题考查数轴，关键是根据题目中点A的平移规律解答． 3．（2023秋•西峰区校级期中）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，若AB＝10，则点A表示的数为（　　） A．﹣5 B．0 C．5 D．﹣10 【分析】根据数轴上的点原点右边为正数左边为负数，结合两点间距离即可得到答案． 【解答】解：由数轴可得， b为正数，a为负数， ∵AB＝10， ∴﹣10＜a＜0，0＜b＜10， 故选：A． 【点评】本题考查了数轴上点的关系及两点间距离，解题的关键是掌握数轴知识． 4．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A：　 　；B：　 　；C：　 　． （2）A、B两点间的距离是 　 　，A、C两点间的距离是 　 　． （3）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【分析】（1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于AC＝10，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【解答】解：（1）根据图示，知A、B、C这三个点表示的数各是﹣6、1、4， 故答案为﹣6、1、4； （2）根据图示知AB的距离是7；AC的距离是10， 故答案为：7；10； （3）∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， 此时将点B向左移动2个单位即可． 【点评】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． 5．（2023秋•郾城区校级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置； （2）若数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，求a表示的数是多少？ 【分析】（1）根据互为相反数的点到原点的距离相等在数轴上表示出﹣a，﹣b； （2）先得到b表示的点到原点的距离为10，然后根据数轴表示数的方法得到b表示的数； （3）先得到﹣b表示的点到原点的距离为10，再利用数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a表示的点到原点的距离为5，然后根据数轴表示数的方法得到a表示的数． 【解答】解：（1）如图，； （2）数b与其相反数相距20个单位长度，则b表示的点到原点的距离为10， 所以b表示的数是﹣10； （3）因为﹣b表示的点到原点的距离为10， 而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度， 所以a表示的点到原点的距离为5， 所以a表示的数是5． 【点评】本题考查了相反数：a的相反数为﹣a．也考查了数轴． 6．（2023秋•礼泉县期末）如图，点A、C在数轴上，所对应的数分别为﹣3、3，已知数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中A、B两点间的距离是2个单位长度，C、D两点间的距离是1个单位长度． （1）在图中标出点B，D的位置，并写出点B对应的数； （2）若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是3个单位长度，求点E所对应的数． 【分析】（1）按要求表示出点B、D即可，再写出点B； （2）分别求出点E在点B左右两边时的值即可解答． 【解答】解：（1）如图， 点B坐标为﹣1； （2）∵﹣1+3＝2，﹣1﹣3＝﹣4， ∴点E坐标为2或﹣4． 【点评】本题考查了数轴，两点之间的距离的求法是解题关键． 题型八 利用数轴解决实际问题 1．（2024•绿园区校级三模） 2024年，第33届夏季奥林匹克运动会将在法国巴黎举行．如图，将5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示，那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是（　　） A．纽约时间7月26日14时30分 B．伦敦时间7月26日18时30分 C．北京时间7月27日3时30分 D．汉城时间7月26日3时30分 【分析】由题给数轴上时间之间的关系和一天为24小时进行分析． 【解答】解：A．由题给时间数轴可知，纽约比巴黎晚6小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的纽约时间7月26日13时30分，故A错误； B．由题给时间数轴可知，伦敦比巴黎晚1小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的伦敦时间7月26日18时30分，故B正确； C．由题给时间数轴可知，北京比巴黎早7小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的北京时间7月27日2时30分，故C错误； D．由题给时间数轴可知，汉城比巴黎早8小时，因此巴黎时间7月26日19时30分对应的汉城时间7月27日3时30分，故D错误； 故选：B． 【点评】本题主要考查了数轴和时间之间的关系，题目难度不大，掌握数轴上点之间的关系和一天为24小时是解答该题的关键． 2．（2024秋•高碑店市月考）如图，把周长为5个单位长度的圆放到数轴上，圆上一点A与表示﹣1的点重合，圆沿着数轴滚动2周，此时点A表示的数是（　　） A．9 B．﹣11 C．4或﹣6 D．9或﹣11 【分析】根据数轴上点的移动，有理数的加法，减法运算的含义，利用往右移动用加法，往左移动用减法可得答案． 【解答】解：向右转动2周，﹣1+5+5＝﹣1+10＝9； 向左转动2周，﹣1﹣5﹣5＝﹣（1+5+5）＝﹣11， 所以点A表示的数为9或﹣11． 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是：数轴上，往右移动用加法，往左移动用减法． 3．（2024秋•雄县校级月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆周的4等分点处依次标上数字1，2，3，4，先让圆周上数字1所对应的点与数轴上的数字2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左不滑动的滚动，数轴上的数字1所对应的点与圆周上的数字2所对应的点重合，则数轴上的数字﹣2024所对应的点与圆周上重合的点所对应的数字为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意，依次得出与圆上与数轴上的1，2，3，4，…，重合的数字是多少，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为圆的周长为4个单位长度，且依次标上了数字1，2，3，4， 则根据圆的滚动方式可知， 数轴上的数字﹣1，﹣2，﹣3，﹣4依次与圆上的数字4，1，2，3重合，且每滚动4个单位长度，圆上的数字在数轴上重复出现． 又因为2024÷4＝506， 所以数轴上的数字﹣2024与圆上的数字3重合． 故选：C． 【点评】本题主要考查了数轴，能根据圆的滚动方式发现数轴上的数字﹣1，﹣2，﹣3，﹣4依次与圆上的数字4，1，2，3重合，且每滚动4个单位长度，圆上的数字在数轴上重复出现是解题的关键． 4．快递员骑电动车从物流公司出发，先向西行驶3km到达A小区，继续向西行驶1km到达B小区，然后向东骑行8km到达C小区最后回到物流公司． （1）以物流公司为原点，向东方向为正方向，用1cm表示1km，在如图中画出数轴，并在该数轴上表示A，B，C三个小区的位置． （2）C小区离A小区有多远？ （3）求快递员一共骑行的路程． 【分析】（1）根据数轴表示数的意义和距离可在用数轴表示出来， （2）A小区所表示的数为﹣3，C小区所表示的数为4，即可求出AC的距离， （3）所有行驶路程的和即可求出路程． 【解答】解：（1）在数轴上表示出A、B、C三个小区的位置如图所示： （2）根据题意可知：4＋3＝7， 答：C小区离A小区7千米； （3）3+1+8+4＝16（千米）， 答：快递员一共骑行了16千米． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，数轴，有理数的加减的应用，能读懂题意是解此题的关键． 5．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数　 表示的点重合； （2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数　 　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【分析】（1）根据1表示的点与﹣1表示的点重合读出对称中心即可得； （2）由表示﹣2的点与表示4的点重合，可确定对称点是表示1的点，则： ①表示5的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为4.5，据此求解． 【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合， ∴对称中心是原点， ∴﹣2表示的点与2表示的点重合， （2）①∵若﹣2表示的点与4表示的点重合， ∴对称中心是1表示的点， ∴5表示的点与数﹣3表示的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5， ∵对称点是表示1的点， ∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5， 故答案为：2；﹣3． 【点评】本题主要考查数轴，此题根据重合点确定对称点是解题的关键． 题型九 绝对值 1．（2024•西双版纳一模）﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：﹣2024的绝对值是2024． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握． 2．（2023秋•白云区期末）若|m|＝6，则m的值是（　　） A．﹣6 B．6 C． D．﹣6或6 【分析】根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【解答】解：根据题意可知，m＝±6． 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 3．（2023秋•凉山州期末）已知a＝﹣5，|a|＝|b|，则b＝（　　） A．+5 B．﹣5 C．0 D．+5或﹣5 【分析】由a的值可求|b|＝5，再由绝对值的性质可求b的值． 【解答】解：∵a＝﹣5，|a|＝|b|， ∴|b|＝5， ∴b＝±5， 故选：D． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 4．（2023秋•莒南县期末）下列结论正确的是（　　） A．|m|一定是正数 B．|m|一定是负数 C．﹣|﹣m|一定是负数 D．﹣|m|一定是非正数 【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义进行解题即可． 【解答】解：A、|m|有可能是0也可能是正数，故该项不正确，不符合题意； B、|m|一定不是负数，故该项不正确，不符合题意； C、﹣|﹣m|有可能是0也可能是负数，故该项不正确，不符合题意； D、﹣|m|一定是非负数，故该项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查绝对值和相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5．（2023秋•黄石期末）已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（　　） A．±5 B．0或±1 C．0或±5 D．±1或±5 【分析】根据绝对值的定义以及有理数混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：由于a，b为有理数，ab≠0， 当a＞0、b＞0时，且2+3＝5． 当a＞0、b＜0时，且2﹣3＝﹣1． 当a＜0、b＞0时，且2+3＝1． 当a＜0、b＜0时，且2﹣3＝﹣5． 故选：D． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握有理数混合运算的方法是正确解答的前提． 6．在数轴上，表示一个数的点A在原点的左边，且距离原点4个单位长度 （1）这个数的绝对值是多少？ （2）写出这个数的相反数； （3）求这个数对应的点与它的相反数对应点之间的距离． 【分析】（1）根据绝对值的定义进行解答即可； （2）表示其相反数的点应该在原点的右边，且距离原点4个单位长度，据此即可得解； （3）根据数轴上的点的特点进行解得即可． 【解答】解：（1）∵点A距离原点4个单位长度，∴这个数的绝对值是4； （2）表示其相反数的点应该在原点的右边，且距离原点4个单位长度，∴其相反数是4； （3）∵表示一个数的点A在原点的左边，且距离原点4个单位长度，表示其相反数的点应该在原点的右边，且距离原点4个单位长度， ∴这个数对应的点与它的相反数对应点之间的距离为8个单位长度． 【点评】本题主要考查了数轴的特点，每一个有理数在数轴上都有一个点与之对应，一般选取向右为正方向，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，并关于原点对称，还考查了绝对值的定义，注意总结． 题型十 相反数和多重符号的化简 1．（2024春•上思县月考）﹣2024的相反数是（　　） A． B． C．2024 D．﹣2024 【分析】根据相反数的定义即可求得答案． 【解答】解：﹣2024的相反数为2024， 故选：C． 【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2024•睢宁县校级模拟）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．﹣0.5和 C．﹣3和 D．和﹣2 【分析】根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案． 【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数， 且互为相反数两个数相加得0， ﹣0.50． 故选：B． 【点评】题目考查了相反数的定义，解决题目的关键是掌握相反数的定义，并且了解互为相反数的两个数相加得0． 3．（2024•盐城二模）如果a与1互为相反数，那么a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：因为a与1互为相反数，﹣1与1互为相反数， 所以a＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义，明确在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 4．（2023秋•科左中旗期中）下面说法：①π的相反数是﹣π；②符号相反的数互为相反数；③﹣（﹣3.8）的相反数是﹣3.8；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据相反数的定义可对5个选项进行一一分析进而得出答案即可． 【解答】解：①根据π的相反数是﹣π；故此选项正确； ②只有符号不同的两个数是互为相反数，故此选项错误； ③﹣（﹣3.8）＝3.8，3.8的相反数是﹣3.8；故此选项正确； ④一个数和它的相反数可能相等，如0的相反数等于0，故此选项正确； ⑤正数与负数不一定是互为相反数，如+3和﹣1，故此选项错误； 故正确的有3个． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数是关键． 5．（2024秋•兰山区校级月考）下列说法中，错误的是（　　） A．在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数 B．与2.2互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是3 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：A、在一个数前面添加一个“﹣”号，就变成原数的相反数，正确，故此选项不符合题意； B、与2.2互为相反数，正确，故此选项不符合题意； C、如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，正确，故此选项不符合题意； D、的相反数是，故D错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 6．（2023秋•德化县校级月考）化简下列各数： ①﹣（﹣8）＝　 ； ②﹣（+0.75）＝　 　； ③　 ； ④﹣[+（﹣3.8）]＝　 　． 【分析】利用化简多重符号的方法即可求解． 【解答】解：①﹣（﹣8）＝8； ②﹣（+0.75）＝﹣0.75； ③； ④﹣[+（﹣3.8）]＝3.8． 故答案为：①8；②﹣0.75；③；④3.8． 【点评】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键． 7．（2023秋•景县校级期末）已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示． （1）在数轴上表示出a的相反数的位置． （2）若数a与其相反数相距20个单位长度，则a表示的数是多少？ （3）在（2）的条件下，若数b表示的数与数a的相反数表示的点相距5个单位长度，求b表示的数是多少？ 【分析】（1）在数轴上表示出来即可； （2）根据题意得出方程，求出方程的解即可； （3）分为两种情况，列出算式，求出即可． 【解答】解：（1）如图： ． （2）﹣a﹣a＝20， a＝﹣10． 即a表示的数是﹣10． （3）﹣a＝10， 当b在﹣a的右边时，b表示的数是10+5＝15， 当b在﹣a的左边时，b表示的数是10﹣5＝5， 即b表示的数是5或15． 【点评】本题考查了数轴，相反数，两点间的距离的应用，关键是能根据题意列出算式和方程． 题型十一 有理数的大小比较 1．（2024•广州）四个数﹣10，﹣1，0，10中，最小的数是（　　） A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣10＜﹣1＜0＜10， ∴最小的数是：﹣10． 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 2．（2024•温州模拟）某一天，温州、杭州、哈尔滨、北京四个城市的最低气温分别是5℃，0℃，﹣22℃，﹣10℃，其中最低气温是（　　） A．5℃ B．0℃ C．﹣22℃ D．﹣10℃ 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小即可得出答案． 【解答】解：∵﹣22＜﹣10＜0＜5， ∴最低气温是﹣22°C， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 3．（2024•南明区校级二模）如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可． 【解答】解：因为点B，D表示的有理数互为相反数， 所以原点的位置在线段BD的中点处， ∵离原点越近的点表示的数绝对值越小， ∴表示绝对值最小的数的点是C点． 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用． 4．（2023秋•赤坎区校级期末）2021年1月某日零点，北京、上海、深圳、长春的气温分别是﹣4℃、5℃、20℃、﹣18℃，当时这四个城市中，气温最低的是（　　） A．北京 B．上海 C．深圳 D．长春 【分析】把这些数据比较大小即可判断． 【解答】解：∵20＞5＞﹣4＞﹣18， ∴﹣18最小， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，学生必须熟练掌握． 5．（2023秋•凉山州期末）根据有理数a、﹣b、﹣c，在数轴上的位置，比较a、b、c的大小，则（　　） A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a 【分析】先根据数轴的特点判断出a，﹣b，﹣c的大小及符号，再根据不等式的基本性质便可确定a，b，c的大小． 【解答】解：由数轴上a，﹣b，﹣c的位置可知： a＜0，﹣c＜0，﹣b＞0，|a|＞|c|＞|b|， ∴c＞0，a＜c， ∵﹣b＞0， ∴b＜0， ∴a＜b＜c． 故选：C． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较、数轴上数的特点及不等式的基本性质，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 6．比较下列各对数的大小： （1）3和﹣7． （2）﹣5.3和﹣（+5.4）． （3）和． （4）﹣（﹣7）和|﹣1|． 【分析】（1）正数大于负数； （2）根据相反数的定义化简后，再根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可； （4）根据相反数和绝对值的性质化简后，再比较大小即可． 【解答】解：（1）3＞﹣7； （2）﹣（+5.4）＝﹣5.4， ∵|﹣5.3|＝5.3，|﹣5.4|＝5.4，5.3＜5.4， ∴﹣5.3＞﹣（+5.4）； （3）∵||，||，， ∴； （4）﹣（﹣7）＝7，|﹣1|＝1， ∴﹣（﹣7）＞|﹣1|． 【点评】本题考查了有理数大小比较、相反数以及绝对值，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键． 7．（2024秋•迎泽区校级月考）如图是一个不完整的数轴，已知下列各数：﹣3，3.5，，﹣|﹣1|． （1）请将数轴补充完整，并将各数表示在数轴上； （2）将各数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来． 【分析】（1）根据各数及数轴的特点表示各数； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数比较大小． 【解答】解：（1），﹣|﹣1|＝﹣1． 将各数表示在数轴上： （2）由数轴可得，． 【点评】此题考查了利用数轴表示数，相反数和绝对值，比较有理数的大小，正确理解数轴与数的关系是解题的关键． 题型十二 绝对值的非负性 1．（2023秋•韶关期末）若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|的值是（　　） A．5 B．1 C．2 D．0 【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【解答】解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，∴x＝3，y＝﹣2；则|x|+|y|＝3+2＝5．故选A． 【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 2．（2023秋•沈丘县期末）如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【分析】根据绝对值的非负性，可知|x﹣2023|≥0，得出式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，即可选出答案． 【解答】解：∵绝对值具有非负性， ∴|x﹣2023|≥0， ∵2023﹣|x﹣2023|有最大值， ∴当|x﹣2023|＝0时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确． 故选：A． 【点评】本题考查的是非负数的性质﹣绝对值，掌握绝对值具有非负性是解题的关键． 3．（2023秋•光泽县期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（　　） A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2 【分析】根据绝对值的非负性，可以得知等式成立的条件为a﹣5＝0，b+6＝0，由此得到a＝5，b＝﹣6，继而得到﹣b+a﹣1的值． 【解答】解：因为|a﹣5|+|b+6|＝0， 所以a﹣5＝0，b+6＝0，即a＝5，b＝﹣6， 所以﹣b+a﹣1＝﹣（﹣6）+5﹣1＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值的非负性求代数式的值，掌握绝对值的非负性是本题解题的关键． 4．（2023秋•河东区校级月考）若|a|+|b﹣2|＝0，则a＝　 　，b＝　 　． 【分析】根据非负数的性质即可求出a、b的值． 【解答】解：∵|a|+|b﹣2|＝0， ∴a＝0或b﹣2＝0， 解得a＝0，b＝2． 故答案为：0，2． 【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知非负数之和等于0时，各项都等于0是解答此题的关键． 5．（2024春•南岗区校级期中）已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 　 　． 【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案． 【解答】解：∵|a﹣2|≥0， ∴当a＝2时，|a﹣2|+4的最小值是4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，利用非负数最小时和最小． 6．（2023秋•中江县期末）若|a﹣2|与|m+n+3|互为相反数，则a+m+n＝　 　． 【分析】根据绝对值的非负性和相反数的定义，可得a﹣2＝0，m+n+3＝0，进而求出a和m+n的值，代入求解即可． 【解答】解：∵|a﹣2|与|m+n+3|互为相反数， ∴|a﹣2|+|m+n+3|＝0， ∴a﹣2＝0，m+n+3＝0， ∴a＝2，m+n＝﹣3， ∴a+m+n＝2﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查非负性，解决本题的关键是熟记绝对值的性质，相反数的定义． 7．（2023秋•江宁区校级月考）若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0． 计算：（1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|﹣|z|的值． 【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方程组，即可解出x、y、z的值； （2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可． 【解答】解：（1）由题意，得， 解得． 即x＝2，y＝﹣3，z＝5； （2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时， |x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0， 即|x|+|y|﹣|z|的值是0． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质． 初中阶段有三种类型的非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）二次根式（算术平方根）． 当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 8．（2023秋•寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题． （1）a＝ 　 ，b＝ 　 　． （2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值． 【分析】（1）根据相反数、倒数的定义进行计算即可； （2）根据绝对值的非负性以及a、b的值进行计算即可． 【解答】解：（1）∵a与2互为相反数，而2的相反数是﹣2， ∴a＝﹣2， ∵b与互为倒数，而的倒数是﹣3， ∴b＝﹣3， 故答案为：﹣2，﹣3； （2）∵|m﹣a|+|b+n|＝0， ∴m﹣a＝0，b+n＝0， 又∵a＝﹣2，b＝﹣3， ∴m＝﹣2，n＝3， ∴mn＝﹣2×3＝﹣6， 答：mn的值为﹣6． 【点评】本题考查的是非负数的性质，相反数以及互为倒数，掌握相反数、倒数的定义以及绝对值的非负性是正确解答的前提． 题型十三 利用绝对值解决实际问题 1．（2023秋•攸县期末）一实验室检测A，B，C，D四个元件的质量（单位：g），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用正负数表示相反意义的数来判断即可． 【解答】解：根据题意可知绝对值越小的那个越接近标准质量的原件， ∴D的绝对值为0.8最小， ∴D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了正负数，做题关键是掌握正负数表示相反意义的数． 2．（2023秋•斗门区期末）质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出各个数的绝对值，根据绝对值的大小进行判断即可． 【解答】解：∵|﹣3|＞|2|＞|0.75|＞|﹣0.6|， ∴﹣0.6的足球最接近标准质量， 故选：B． 【点评】考查绝对值的意义，理解绝对值的意义是正确判断的前提． 3．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的． 【解答】解：|2|＝2，|﹣3|＝3，|+4|＝4，|﹣1|＝1， ∵1＜2＜3＜4， ∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为﹣1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 4．（2023秋•沈丘县校级月考）太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出各数绝对值，比较大小即可． 【解答】解：|+2.1|＝2.1，|﹣3.4|＝3.4，|+0.8|＝0.8，|﹣0.7|＝0.7， ∴|﹣0.7|＜|+0.8|＜|+2.1|＜|﹣3.4|， 则实际质量最接近标准质量的是﹣0.7g， 故选：D． 【点评】此题考查了正数与负数，正确理解正负数的意义是解题关键． 5．（2023秋•沂源县校级月考）国际乒联规定在正式比赛中采用大球，对大球的直径有严格的规定，现有5个乒乓球，测量它们的直径，超过标准直径的毫米数用正数表示，不足的毫米数用负数表示，检验结果如下： A．﹣0.1毫米；B．﹣0.2毫米；C．+0.3毫米；D．﹣0.05毫米；E．+0.1毫米． 你认为应选哪一个乒乓球用于比赛？为什么？ 【分析】由题意分别求各选项的绝对值，绝对值越小，说明误差越小，就可以选这误差小的用于比赛． 【解答】解：∵|﹣0.1|＝0.1 |﹣0.2|＝0.2|+0.3|＝0.3，|﹣0.05|＝0.05，|+0.1|＝0.1， ∵0.05＜0.1＜0.2＜0.3，说明D选项误差小， ∴选D，D球直径最接近标准直径． 【点评】此题主要考查绝对值性质的应用，比较简单，是一道好题． 6．（2023秋•太康县期中）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17． （1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？ （2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？ 【分析】（1）根据绝对值的定义求出总路程，再计算耗油量； （3）油费＝汽油单价×耗油量． 【解答】解：（1）出租车共行驶了|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|+|﹣17|＝87（km）， 共耗油87÷100×10＝8.7（升）． 故这天上午汽车共耗油8.7升； （2）7×8.7＝60.9（元）． 故出租车司机今天上午的油费是60.9元． 【点评】本题考查了正数和负数的意义；解题关键是理解“正”和“负”的相对性；在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 题型十四 绝对值的几何意义 1．已知为有理数，则的最小值是 ． 【分析】本题考查绝对值的几何意义求含绝对值的代数式的最值，理解绝对值的几何意义，分类讨论求解即可得到答案，熟记绝对值的几何意义是解决问题的关键． 【解答】解：表示的点为数轴上的一个动点，由绝对值的几何意义可知，指表示的点与表示的点的距离 表示的点与表示的点的距离，分三种情况： 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 当时，如图所示： ，最小值为； 综上所述，的最小值是为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解答此题的关键． 2．同学们都知道，|5﹣2|表示5与2之差的绝对值，|5﹣2|也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答： （1）|﹣5﹣2|＝　 　，这个算式利用数轴可理解为 　 　； （2）求使|x+5|＝7成立的所有整数； （3）如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且AB＝BC＝CD，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【分析】（1）根据绝对值意义可得|﹣5﹣2|的值，根据绝对值的几何意义可得出答案； （2）根据绝对值的意义得x+5＝7或x+5＝﹣7，据此可求出整数x； （3）根据AB＝BC＝CD，则点A到B，C之间的距离较近，点D到B，C之间的距离也较近，据此可确定超 【解答】解：（1）|﹣5﹣2|＝7， 这个算式利用数轴可理解为：在数轴上，﹣5与2之间的距离． 故答案为：7；﹣5与2之间的距离． （2）∵|x+5|＝7， ∴x+5＝7或x+5＝﹣7， 由x+5＝7解得：x＝2， 由x+5＝﹣7解得：x＝﹣12， ∴使|x+5|＝7成立的所有整数有2，﹣12； （3）∵AB＝BC＝CD， ∴点A到B，C之间的距离较近，点D到B，C之间的距离也较近， 超市的位置应在B，C两个村庄之间． 【点评】此题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解答此题的关键． 3．【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【分析】（1）|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，根据|x﹣2|＝5即可求得x的值； （2）计算|x﹣2|+|x+1|＝3，求得x的取值范围即可解题； （3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离，即可解题． 【解答】解：|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 到2的距离为5的数字有7和﹣3， 故答案为7或﹣3； （2）|x﹣2|+|x+1|＝3， 当x＜﹣1时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x﹣1﹣x＝3﹣2x＝3，x＝0（不符合题意舍去）； 当1﹣≤x≤2时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x+x+1＝3， 当x＞2时，|x﹣2|+|x+1|＝x﹣2+x+1＝2x﹣1＝3，x＝2（不符合题意舍去）； 综上所述，当﹣1≤x≤2时，x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3； 所以满足条件的整数为﹣1，0，1，2； （3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离， 求证方法和（2）相同，故有最小值为5． 【点评】本题考查了绝对值的计算，考查了绝对值的定义．本题属于基础题，牢记绝对值定义是解题的关键． 4．（2023秋•新城区校级月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　 　，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　； （2）若数轴上表示数a的点位于﹣2与5之间，则|a+2|+|a﹣5|的值为 　 　； （3）若将数轴折叠，使得1表示的点与﹣3表示的点重合，此时M、N两点也互相重合若数轴上M、N两点之间的距离为2017（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　． 【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解； （2）根据两点间的距离的表示列式计算即可得解； （3）根据点1与﹣3表示的点重合可得对称中心，根据题意得出M、N两点到对称中心的距离，继而由对称中心分别向左和向右得出点M、N所表示的数． 【解答】解：（1）|1﹣4|＝3， |a﹣（﹣2）|＝3， 所以，a+2＝3或a+2＝﹣3， 解得a＝1或a＝﹣5； （2）∵表示数a的点位于﹣2与5之间， ∴a+2＞0，a﹣5＜0， ∴|a+2|+|a﹣5|＝（a+2）+[﹣（a﹣5）]＝a+2﹣a+5＝7； （3）∵数轴上M、N两点之间的距离为2017， ∴点M，N到对称中心的距离为 1008.5， 若沿数﹣1表示的点重合， 则点M表示数﹣1﹣1008.5＝﹣1009.5，点N表示数﹣1+1008.5＝1007.5， 故答案为：（1）3；﹣5或1；（2）7；（3）﹣1009.5；1007.5． 【点评】此题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 5．（2024秋•龙华区校级月考）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是　 　；表示1和﹣4的两点之间的距离是　 　． （2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　 　；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为　 ． （3）若|x+3|＝4，则x＝　 ；若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝　 ． 【分析】（1）根据数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|；表示1和﹣4的两点之间的距离是|﹣4﹣1|，计算求解即可； （2）由题意知，数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|； （3）由|x+3|＝4，可得x+3＝±4，计算求解即可；当x＜﹣4时，|x﹣1|+|x+4|＝﹣x+1﹣x﹣4＝﹣2x﹣3＞5；当﹣4≤x≤1时，|x﹣1|+|x+4|＝﹣x+1+x+4＝5；当x＞1时，|x﹣1|+|x+4|＝x﹣1+x+4＝2x+3＞5；进而可求|x﹣1|+|x+4|的最小值为5． 【解答】解：（1）|6﹣2|＝4；|﹣4﹣1|＝5； 答：数轴上表示2和6两点之间的距离是4；表示1和﹣4的两点之间的距离是5； 故答案为：4，5； （2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|； 故答案为：|x﹣6|，|x+3|； （3）∵|x+3|＝4， ∴x+3＝±4， 解得x＝1或x＝﹣7； 当x＜﹣4时，|x﹣1|+|x+4|＝﹣x+1﹣x﹣4＝﹣2x﹣3＞5； 当﹣4≤x≤1时，|x﹣1|+|x+4|＝﹣x+1+x+4＝5； 当x＞1时，|x﹣1|+|x+4|＝x﹣1+x+4＝2x+3＞5； 综上所述，|x﹣1|+|x+4|的最小值为5， 故答案为：1或﹣7；5． 【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$