复习专题02 一元二次函数、方程和不等式10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题02 一元二次函数、方程和不等式10题型分类 1．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a． (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c． (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． (5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． (6)可开方：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 2．倒数性质的几个结论 (1) a>b，ab>0⇒<． (2) a<0<b⇒<． (3) a>b>0，0<c<d⇒>． (4) 0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<． 3．分式性质的几个结论 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)． (2)若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)． 4．比较大小的方法 (1)作差法． (2)作商法． 5．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为几何平均数． 6．由基本不等式求最值 (1)已知x>0，y>0，如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)． (2)已知x>0，y>0，如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)． 7．几个重要的不等式 (1) ≥． (2) ＋≥2(ab>0)． (3) ≤≤≤ (a＞0，b＞0)． 8．三个“二次”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 9．一元二次不等式的解法 (1)不含参的一元二次不等式：可以用分解因式法或判别式法求解，“大于取两边，小于取中间”． (2)含参的一元二次不等式：需要对参数进行分类讨论． 10．绝对值不等式的解法 (1) |x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)． (2) |x|<a(a>0)的解集为(－a,a)． 11．分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． (2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 12．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0． (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0． (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． （一） (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)用特殊值法排除错误答案． 题型1：不等式的性质 1-1．（24-25高一上·山西·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1-2．（24-25高二上·浙江温州·期中）若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 1-3．（24-25高一上·广东东莞·期中）若，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 1-4．（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 1-5．（24-25高三上·陕西汉中·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （二） 比较大小的方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．注意两式的符号． 题型2：比较大小 2-1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，，则有（   ） A． B． C． D．. 2-2．（2024·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2-3．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （三） 1．解不含参数一元二次不等式的步骤 (1)化标准． (2)判别式． (3)求实根． (4)画草图． (5)写解集． 2．含参一元二次不等式的求解 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． 3.三个“二次”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 4．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0． (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0． (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． (4)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题： f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a； f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a． 题型3：不含参一元二次不等式的解 3-1．（2024高二下·山东威海·期末）若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二下·辽宁·期末）定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3-4．（2024高二下·云南·期末）若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型4：讨论含参一元二次不等式的解 4-1．（2024高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大和最小值； (2)解不等式. 4-2．（2024·上海静安·二模）设(常数)，且已知是方程的根． （1）求函数的值域； （2）设常数，解关于x的不等式： 4-3．（2024高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 4-4．（2024·江西·模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题. 已知函数. (1)若命题：“________，”为真命题，求实数的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集. 4-5．（2024高一上·江苏·阶段练习）设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 题型5：由一元二次不等式的解确定参数 5-1．（2024高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5-2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）若关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的最大值为 5-3．（2024·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 5-4．（2024高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 5-5．（2024高一下·江苏南通·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6：一元二次函数在上的恒（能）成立问题（判别式法） 6-1．（2024高一上·云南昆明·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024高一·全国·专题练习）不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024高一上·云南保山·阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-4．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：分离变量法解决恒（能）成立问题 7-1．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 7-2．（2024·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7-4．（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （四） 1．由基本不等式求最值 (1)一正：各项或各因式均为正． (2)二定：和或积为定值． (3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值． 2．常数代换法求最值 (1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身． (2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理． 题型8：由基本不等式求最值 8-1．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 8-2．（2024·海南·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为 . 8-3．（24-25高一上·浙江丽水·期中）设，则的最小值为（     ） A．81 B．27 C．9 D．3 8-4．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 8-5．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 8-6．（24-25高一上·天津滨海新·期中）设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 题型9：基本不等式的恒成立问题 9-1．（2024高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9-2．（2024高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024高二上·黑龙江绥化·开学考试）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9-4．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． （五） 由基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最值的变量定为函数． (2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题． (3)在定义域内，求出函数的最值． 题型10：基本不等式的应用 10-1．（2024高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 10-2．（2024高二下·云南红河·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（    ） A．小于10g B．等于10g C．大于10g D．大于或等于10g 10-3．（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 10-4．（24-25高三上·河北唐山·期中）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（   ）后池水中药品的浓度达到最大． A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·广东茂名·模拟预测）已知，，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有最小值4 D．若，则 4．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 6．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·福建泉州·一模）若实数，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·重庆·阶段练习）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 11．（2024高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏扬州·期中）关于的不等式的解集是，那么（     ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·广东·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高三上·江苏扬州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2024·北京海淀·三模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 19．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 21．（2024高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·广东·期中）“函数的定义域为”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2024高一上·上海杨浦·期中）在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2024高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·新疆和田·期中）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（） ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2024高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知实数且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（2024高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 30．（2024高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 31．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 33．（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 34．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值3 C．的最小值为 D．的最小值为 35．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 36．（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 37．（2024·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 38．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 39．（2024高二上·陕西西安·期中）若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是 . 40．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 41．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 . 42．（2024·河南郑州·模拟预测）设，记为三个数中最大的数，则的最小值 ． 43．（2024·吉林长春·模拟预测）设且，则的最小值为 ． 44．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 45．（2024·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 46．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 47．（2024高一上·上海普陀·期末）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 ． 48．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ． 49．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 . 四、解答题 50．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 51．（2024高二下·安徽淮北·期末）已知，若关于的不等式的解集是． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 52．（2024高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数． (1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 53．（2024高一下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 54．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 55．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间、、、的长度均为，其中． (1)若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值； (2)若且，求关于的不等式的解集区间长度范围． 56．（2024高一下·江苏南通·期中）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题02 一元二次函数、方程和不等式10题型分类 1．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a． (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c． (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． (5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． (6)可开方：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 2．倒数性质的几个结论 (1) a>b，ab>0⇒<． (2) a<0<b⇒<． (3) a>b>0，0<c<d⇒>． (4) 0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<． 3．分式性质的几个结论 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)． (2)若a>b>0，m>0，则>；<(b－m>0)． 4．比较大小的方法 (1)作差法． (2)作商法． 5．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为几何平均数． 6．由基本不等式求最值 (1)已知x>0，y>0，如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)． (2)已知x>0，y>0，如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)． 7．几个重要的不等式 (1) ≥． (2) ＋≥2(ab>0)． (3) ≤≤≤ (a＞0，b＞0)． 8．三个“二次”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 9．一元二次不等式的解法 (1)不含参的一元二次不等式：可以用分解因式法或判别式法求解，“大于取两边，小于取中间”． (2)含参的一元二次不等式：需要对参数进行分类讨论． 10．绝对值不等式的解法 (1) |x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)． (2) |x|<a(a>0)的解集为(－a,a)． 11．分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． (2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 12．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0． (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0． (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． （一） (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)用特殊值法排除错误答案． 题型1：不等式的性质 1-1．（24-25高一上·山西·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，结合不等式的基本性质，即可求解. 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，，所以. 故选：D. 1-2．（24-25高二上·浙江温州·期中）若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质可判断AB选项；利用特殊值法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，因为，当时，由不等式的基本性质可得，B错； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：A. 1-3．（24-25高一上·广东东莞·期中）若，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C，从而得解. 【详解】因为，且， 对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，取，则，故D错误. 故选：C. 1-4．（24-25高一上·上海·期中）若下列不等式中：① ②；③；④， 成立的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①，作差法比较大小；②，先得到，，作差法得到，故，即；③，由不等式性质得到，，得到③正确；④，由同号可加性得到. 【详解】对于①，因为，所以，故， 所以，①正确； 对于②，因为，所以，， 由得，故，即，②错误； 对于③，两边同乘以得， 两边同乘以得，故，③正确； 对于④，由②知，，又，由不等式性质得，④正确. 故选：C 1-5．（24-25高三上·陕西汉中·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，对数函数的性质结合充分不必要的定义即可判断. 【详解】由，得， 则，从而. 取，满足，不满足. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：. （二） 比较大小的方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．注意两式的符号． 题型2：比较大小 2-1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，，则有（   ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】由作差法判断两式大小. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：C. 2-2．（2024·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解. 【详解】， ，而 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 2-3．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知，为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】运用作差法比较大小，结合充分条件和必要条件知识判断即可. 【详解】由，得，所以，则充分性成立； 由，得，则，所以，则必要性成立. 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选:C. （三） 1．解不含参数一元二次不等式的步骤 (1)化标准． (2)判别式． (3)求实根． (4)画草图． (5)写解集． 2．含参一元二次不等式的求解 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． 3.三个“二次”的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 4．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0． (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0． (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． (4)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题： f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a； f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a． 题型3：不含参一元二次不等式的解 3-1．（2024高二下·山东威海·期末）若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，由必要条件的定义即可判断的范围. 【详解】或， “或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 3-2．（2024高二下·辽宁·期末）定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设定义得到，即可求解. 【详解】因为，由，得到， 整理得到，解得或， 故选：D. 3-3．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定义分析即得解 【详解】由， 解得， 由且， 解得， 故，充分性不成立； ，必要性成立 故是成立的必要不充分条件 故选：B. 3-4．（2024高二下·云南·期末）若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，解得， 则x的取值范围为. 故选：A. 题型4：讨论含参一元二次不等式的解 4-1．（2024高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求函数在区间上的最大和最小值； (2)解不等式. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)答案见解析 【分析】（1）当时，可得，结合二次函数的图象与性质，即可求解； （2）把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得， 则函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 又因为，所以函数的最大值为， 综上可得，函数的最大值为，最小值为. （2）解：由不等式，即， 即不等式， 当时，不等式即为，此时不等式的解集为空集； 当时，即时，不等式的解集为； 当时，即时，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 4-2．（2024·上海静安·二模）设(常数)，且已知是方程的根． （1）求函数的值域； （2）设常数，解关于x的不等式： 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）由条件求出，得到，令，则，然后可得答案； （2）原不等式可化为()，然后分、、、四种情况讨论求解即可. 【详解】（1）将代入方程，解得 故 令，则，因为 所以 即的值域为 （2）() () 即() 1）当时，不等式的解集为； 2）当时，不等式的解集为； 3）当时，不等式的解集为． 4）当时，不等式的解集为． 4-3．（2024高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）利用待定系数法求得的解析式. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）依题意，是二次函数，且， 故可设， 则 ， 所以，解得，所以. （2）不等式，即， ， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 4-4．（2024·江西·模拟预测）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题. 已知函数. (1)若命题：“________，”为真命题，求实数的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)选①，，选②； (2)答案见解析． 【分析】（1）选①，求出在上的最大值，由最大值即可得，选②，求出在上的最小值，由最小值即可得； （2）不等式整理后因式分解，得相应方程的两个根，按根的大小分类讨论可得． 【详解】（1），对称轴是， 选①，，，则得， 选②，，，由得． （2）不等式化简为， ， 当时，，， 时，， 当时，，． 综上，时解集为，时，解集为，时，解集为． 4-5．（2024高一上·江苏·阶段练习）设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析. 【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可； (2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答； (3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答. 【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立，即有实数解，于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得， 综上，， 所以实数的取值范围是； (2)不等式对于实数时恒成立，即， 显然，函数在上递增，从而得，即，解得， 所以实数的取值范围是； (3) 不等式， 当时，， 当时，不等式可化为，而，解得， 当时，不等式可化为， 当，即时，， 当，即时，或， 当，即时，或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 题型5：由一元二次不等式的解确定参数 5-1．（2024高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，且和是方程的的两个根，利用韦达定理，对所求不等式进行变形求解即可. 【详解】关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选:B． 5-2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）若关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（   ） A． B．的解集为 C． D．的最大值为 【答案】D 【分析】题意说明的两根为,代入法1得的值，从而可逐项判断. 【详解】根据题意，关于的不等式的解集为， 所以的两根为， 则，解得， 所以，即A正确，C正确； 且为，解得或， 所以的解集为，B正确； ， 所以的最大值为，D错误. 故选：D 5-3．（2024·新疆·模拟预测）已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】解不等式可得，，分析可知的解集非空，求解即可. 【详解】由于，故不等式的解集为，所以. 这表明条件等价于关于的不等式的解集非空. 假设，则对任意都有，所以的解集为空，不满足条件，故一定有. 而当时，对有，所以不等式的解集包含，一定非空，满足条件. 所以的最小值是. 故答案为：. 5-4．（2024高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意，为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再解不等式即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，解得，， 不等式，即为， 即，解得， 则不等式的解集为. 故选：C. 5-5．（2024高一下·江苏南通·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 题型6：一元二次函数在上的恒（能）成立问题（判别式法） 6-1．（2024高一上·云南昆明·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，将问题转化成恒成立，分和两种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由题意知，“，使”是真命题， 当，即时，不等式可化为，符合题意； 当，即时，则且，解得， 综上，实数m的取值范围为， 故选：C． 6-2．（2024高一·全国·专题练习）不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，. 故选：C. 6-3．（2024高一上·云南保山·阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合根的判别式即可得解. 【详解】当，即时，恒成立， 当，即时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 6-4．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对分类讨论,利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得，解得 综上，的取值范围是. 故选：B 题型7：分离变量法解决恒（能）成立问题 7-1．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【详解】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，所以， 故答案为：． 7-2．（2024·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案. 【详解】解：因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题， 所以，时，， 因为，， 所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是 故选：C 7-3．（2024·四川成都·模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围． 【详解】因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 设，，其中在区间上单调递减， 所以有最小值为， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 7-4．（2024·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，由基本不等式得，故. 【详解】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得， 故选：C （四） 1．由基本不等式求最值 (1)一正：各项或各因式均为正． (2)二定：和或积为定值． (3)三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值． 2．常数代换法求最值 (1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身． (2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理． 题型8：由基本不等式求最值 8-1．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】D 【分析】由得，再利用基本不等式即可求最小值. 【详解】由，得，则， 则， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为18． 故选：D. 8-2．（2024·海南·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用重要不等式计算可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 8-3．（24-25高一上·浙江丽水·期中）设，则的最小值为（     ） A．81 B．27 C．9 D．3 【答案】B 【分析】根据基本不等式的乘“1”法，即可求解. 【详解】由于，故， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为， 故选：B 8-4．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 8-5．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当时，等号成立. 故选：B 8-6．（24-25高一上·天津滨海新·期中）设正实数满足，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值为4 C．最小值为2 D．最小值为2 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式即可求解A；利用乘“1”法即可求解可判断B；利用完全平方式的性质即可求解C；将“1”代换，即可由基本不等式求解D.. 【详解】对于A，，解得，当且仅当时等号成立，故A不正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故D错误． 故选：C. 题型9：基本不等式的恒成立问题 9-1．（2024高二上·广东汕尾·期末）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以有最小值为， 因为不等式在上恒成立， 所以，解得，所以的最小值为4， 故选:C. 9-2．（2024高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 9-3．（2024高二上·黑龙江绥化·开学考试）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，然后根据不等式恒成立，将问题转化为关于的不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 则，因为， 所以，则，当且仅当即时等号成立. 因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立. ，所以，即对任意实数恒成立. 令，因为，所以. 所以. 故选：D. 9-4．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以，， 又， 所以，即， 因为，，所以，所以，所以， 又，即， 所以，所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 则实数的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而参变分离得到，再换元、利用基本不等式求出的最小值. （五） 由基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最值的变量定为函数． (2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题． (3)在定义域内，求出函数的最值． 题型10：基本不等式的应用 10-1．（2024高一上·河南洛阳·阶段练习）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【分析】根据题意，得到，平均损耗蔬菜量之和为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设安排男社员名，女社员名， 根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15. 故选：B. 10-2．（2024高二下·云南红河·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（    ） A．小于10g B．等于10g C．大于10g D．大于或等于10g 【答案】C 【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 故选：C 10-3．（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【答案】B 【分析】设，结合题意求出，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意设，仓库到车站的距离， 由于在距离车站6km处建仓库，则，即， 两项费用之和为， 当且仅当，即时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km. 故选：B 10-4．（24-25高三上·河北唐山·期中）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（   ）后池水中药品的浓度达到最大． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式取等条件可确定结果. 【详解】由，当且仅当 且，即时取等号， 因此经过后池水中药品的浓度达到最大． 故选：B． 一、单选题 1．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，不等式恒成立时，， 所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是. 故选：D. 2．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得. 【详解】当时，，所以A错. 当时， ，所以B错. 当时，，所以C错. 若，则，则成立，所以D正确. 故选：D 3．（2024·广东茂名·模拟预测）已知，，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有最小值4 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A. 利用基本不等式求解判断；对于B.取判断；对于C.利用基本不等式结合指数运算求解判断；对于D.利用作差法比较. 【详解】因为，， 对于选项A：若，则，当且仅当时取等号，A错误； 对于选项B：当时，式子不成立，B错误； 对于选项C：若，则， 当且仅当时取等号，C正确； 对于选项D：因为，且， 所以，故D错误． 故选：C． 4．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值. 【详解】因为m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，在等式两边同时乘以，可得： ， 即，解得. 当且仅当时，即当时，取得最大值8. 故选：D. 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 6．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 7．（2024·福建泉州·一模）若实数，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D. 【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：C. 8．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围. 【详解】命题“”是假命题，则有， 当时，恒成立，满足题意； 当时，有，解得， 综上可得的取值范围为. 故选：A. 9．（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，得到在上恒成立，考虑和两种情况，参变分离，得到. 【详解】由，求出， 在上恒成立， ， 当时，，， 当时，， 其中，当且仅当时，等号成立， 故， 综上，的取值范围为. 故选：A 10．（2024高一上·重庆·阶段练习）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当， 即时，等号成立． 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25． 故选：D 11．（2024高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围. 【详解】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是. 故选：B. 12．（24-25高一上·江苏扬州·期中）关于的不等式的解集是，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式解集与方程根的关系解得，再由对数运算可得结果. 【详解】根据题意可知和5是方程的两个实数根， 由韦达定理可得，解得； 所以. 故选：C 13．（24-25高一上·广东·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式化简集合，再根据补集和交集运算求解即可. 【详解】因为，可得， 即集合，可得， 又因为，解得，即集合， 所以. 故选：D. 14．（2024高三上·江苏扬州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系. 【详解】由， 而，则，所以，即， 由，则，即， 综上，. 故选：D 15．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性. 【详解】取，，此时，， 满足，此时不成立； 当时，因为， 所以， 所以， 所以， 即， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 16．（2024·北京海淀·三模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D. 【详解】对A，当时，则，故A错误； 对B，当时，则，则，故B错误； 对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误； 对D，若，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：D. 17．（2024·山西·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由的解集为，可得，且方程的解为， 所以，则，所以，即，又， 所以，解得，即关于的不等式的解集为. 故选：C. 18．（2024·浙江宁波·一模）不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可. 【详解】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 19．（2024·河南·模拟预测）已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先化简得出，再应用基本不等式常值代换计算即可. 【详解】因为，所以, 又因为， 当且仅当时取最小值9， 所以的最小值为5. 故选：C. 20．（2024·北京朝阳·模拟预测）定义区间的长度为，设，若对于任意，不等式的解集所包含区间长度之和恒为3，则k的值为（）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】原不等式等价于，构造函数，结合“三个”二次的关系，得到原不等式的解集，由韦达定理及题意可列出方程求解. 【详解】不妨设， 原不等式等价于， 整理得:， 因为，可设方程的两根为, 令, 则的零点为，原不等式即. 因为, 0, 结合二次函数图像，可知：. 则不等式的解集为, 则此解集的区间长度之和为, 因为由韦达定理可得，， 所以此不等式的解集的区间长度之和为, 解得， 故选：A 21．（2024高一上·安徽淮北·阶段练习）下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出关于x的不等式对恒成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】若关于x的不等式对恒成立， 当时，不等式等价于恒成立，故满足要求， 当时，原不等式恒成立当且仅当，解得， 综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当， 而选项中只有是的充分不必要条件. 故选：B. 22．（24-25高一上·广东·期中）“函数的定义域为”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意可知：在上恒成立，进而可得，结合包含关系分析充分、必要条件即可. 【详解】若函数的定义域为，则在上恒成立， 则，解得， 又因为是的真子集， 所以“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 23．（2024高一上·上海杨浦·期中）在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可． 【详解】若方程和都没有实数根. 则 ，解得：. 则方程和中，已知至少有一个方程有实数根. 所以或 故选：C 【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题． 24．（2024高一上·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可. 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用不等式解决实际问题，解题思路如下： （1）在解题的过程中，读懂题意； （2）设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本； （3）利用销售收入等于销售价格乘以销售量，根据题意，列出不等式求解即可. 25．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 26．（24-25高一上·新疆和田·期中）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（） ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①，设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可判断①；对于②，③，④，记窗户面积为和地板面积为，同时根据②，③，④设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断②，③，④. 【详解】对于①，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有， 解得，所以这所公寓的窗户面积至少为，故①错误； 对于②，记窗户面积为和地板面积为，同时窗户增加的面积为， 同时地板增加的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故②正确； 对于③，记窗户面积为和地板面积为，同时增加的面积为. 由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，且， 所以，即， 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公裹的采光效果变好了，故③正确； 对于④，记窗户面积为和地板面积为，则窗户增加后的面积为 地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 又因为，所以， 因为，所以， 当时，采光效果不变， 所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故④错误. 故选：B. 27．（2024高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 28．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知实数且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由等式得到关于的表达式，再由条件得到，进而分析各不等式得到的取值范围，从而得解. 【详解】由，得， 因为且，所以， 所以由，得，所以， 由，得，所以， 由，得， 综上，，即. 故选：B. 二、多选题 29．（2024高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集是或 【答案】ABD 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 30．（2024高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出的关系，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可. 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为或， ∴，A选项错误； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：BD 31．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D． 【详解】由题意，得，，， 对于A，，故A正确； 对于B，取，，则，故B错误； 对于C，取，，则，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD 32．（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】ABC 【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 33．（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基本不等式及其使用条件，即可判断各选项. 【详解】对于选项A：因为，当时，，故选项A错误； 对于选项B：因为，所以， 当且仅当即时取“=”，所以函数最小值为4，故选项B正确； 对于选项C：因为，所以， 所以， 当且仅当即，即或时取“=”， 所以函数最小值为4，故选项C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当即时，取“=”，所以函数最小值为4，故选项D正确. 故选：BCD. 34．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用可判断A项，由结合基本不等式可判断B项，令，代入原式，结合“1”的代换及基本不等式可判断C项，由，结合换元法转化为求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】对于A项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故A项正确； 对于B项，因为，，所以，当且仅当时取等号，故B项正确； 对于C项，令，，则，（，）， 所以 ，当且仅当，，即，时取等号，故C项错误； 对于D项，， 令，由A项知，， 则，（）， 所以当时，取得最小值为，故D项正确. 故选：ABD. 35．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 36．（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断CD选项. 【详解】当且仅当时取等号，A选项正确； 当且仅当时取等号，B选项错误； ∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确； ∵，∴，∴，D选项正确. 故选：ACD. 37．（2024·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【分析】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可. 【详解】当时，不等式为恒成立，故满足题意； 当时，要满足， 而， 所以解得； 综上，实数a的取值范围是； 所以对比选项得，实数a可能是，0，1. 故选：ABD. 38．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由韦达定理得出的关系：，判断AB，把用表示代入化简判断C，作差法判断D． 【详解】由题意可得和为方程的两根， 且，所以，即，，故A错误； 又，当且仅当等号成立，因为，所以，故B正确； 而 ，故C正确； 因为，且， 所以，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 39．（2024高二上·陕西西安·期中）若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得原命题的否定，再根据二次函数在区间上恒成立，列出不等式，求解即可. 【详解】原命题的否定为：“任意的，使得”为真命题， 令，则要满足题意，只需且， 即且，解得，即实数的取值范围是：. 故答案为：. 40．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得，即可求解. 【详解】由题意可知，，得. 故答案为： 41．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围. 【详解】因为， 所以，解得， 所以，， 因为不等式组恰有3个整数解， 所以， 故答案为：. 42．（2024·河南郑州·模拟预测）设，记为三个数中最大的数，则的最小值 ． 【答案】2 【分析】分类讨论的大小关系，转化为利用均值不等式求两个正数和的最小值，可分析最大值不小于和的一半，即可得出结论. 【详解】由， ①当时，， 而，可得至少有一个不小于2, 则的最小值为2； ②当时， ， 而，可得至少有一个不小于2， 的最小值不小于2. 综上，的最小值为2. 故答案为：2 43．（2024·吉林长春·模拟预测）设且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知条件得出，再应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 故答案为：. 44．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故答案为：． 45．（2024·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 46．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 47．（2024高一上·上海普陀·期末）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出函数在上的最大值，分类探讨函数在上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答. 【详解】依题意，函数在上单调递增，则当时，， 因对任意，总存在，使得，则存在， 成立， 则当时，成立，而函数是奇函数，当时，，当时，， 因此，在上的最大值只能在上取得 而当时，，在上单调递增，在上单调递减， 当，即时，在上单调递增，， 由解得，于是得， 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，， 而，此时不存在使得成立， 综上得，即， 所以a的最大值为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，则. 48．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可. 【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：. 故答案为：. 49．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在递减，在递增， ，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增，，所以，故； ③即时，在[0，1]递减，， 所以，解得，综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 四、解答题 50．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）将不等式因式分解，对参数a进行讨论即可； （2）恒成立问题用分离参数的方法，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）,即，即， 当时,原不等式解得; 当时，原不等式无解; 当时,原不等式解得; 综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）,即， 即， ， ， 由题意可知只需即可, 令， 则 当且仅当即时，等号成立. ， 51．（2024高二下·安徽淮北·期末）已知，若关于的不等式的解集是． (1)求的值； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系，即可代入求解， （2）分离参数，由二次函数的性质求解最值即可求解. 【详解】（1）由题知1和是的两根， 将代入方程解得，经检验符合题意． （2）由（1）可知不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即实数的取值范围为． 52．（2024高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数． (1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围； （2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式. 【详解】（1）即为， 所以不等式对于任意恒成立， 当时，得，显然符合题意； 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． （2）不等式即为， 即． 又，不等式可化为， 若，即时，得或，即解集为或； 若，即时，得，即解集为； 若，即时，得或，即解集为或． 综上可知，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 53．（2024高一下·辽宁营口·期末）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见详解 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 54．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （3）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （2）， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （3）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 55．（2024·吉林长春·模拟预测）定义区间、、、的长度均为，其中． (1)若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值； (2)若且，求关于的不等式的解集区间长度范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设出不等式的解集区间，借助韦达定理及区间长度列式计算即得. （2）由给定条件，可得及，再求出不等式的解集区间即可. 【详解】（1）依题意，设不等式的解集区间为， 则是方程的两个不等实根，且，， 即有，由，得， 解得，满足题意， 所以的值是． （2）由且，得， 由及，得，则， 不等式化为，即，解得， 所以其解集区间长度为，范围为. 56．（2024高一下·江苏南通·期中）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)500名 (2) 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润，列不等式求解； （2）分别求出从事第三产业和原来产业的员工创造的年总利润，列出不等关系，在（1）的条件下，即可求解． 【详解】（1）由题意，得，即， 又因为，所以，即最多调整500名员工从事第三产业. （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以则在时恒成立. 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以. 又因为，所以，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：根据题目已知条件，列出不等式并求解，即可得出结论. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$