精品解析：山东省淄博第七中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学12月月考（A卷） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上 3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写. 4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本大题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（ ） A. 1.5 B. 1.25 C. 1.375 D. 5. 设m，n为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是3 D. 的最小值为 10. 给出下列结论，其中不正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 已知定义在上的奇函数在内有110个零点，则函数的零点个数为221 11. 已知函数，则（ ） A. 是R上的减函数 B. 不等式的解集为 C. 若是奇函数，则 D. 的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. ______. 13. 幂函数在上单调递增，则的图像过定点______. 14. 设函数，若函数的零点为4，则使得成立的整数的个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，，求； （2）若，求正数a的取值范围. 16. 已知（，且），且． （1）求a的值及的定义域； （2）求在上的最小值． 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 18. 学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下： （i）函数的图象接近图示； （ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； （iiii）每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择： ①；②；③. （1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； （2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ （参考值：） 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学12月月考（A卷） 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上 3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写. 4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本大题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助对数函数单调性可得即可得，再借助并集定义即可得. 【详解】由，可得，即， 又，则. 故选：C. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断得解. 【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以是：. 故选：C 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式直接列出式子即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 4. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（ ） A. 1.5 B. 1.25 C. 1.375 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先分析题意与表格，运用二分法求方程的近似解进行解答. 【详解】由表格可知,方程的近似根在内, 又因为，又， 故方程的一个近似根(精确度)可以为. 故选：D. 5. 设m，n为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简和，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系. 【详解】因为函数为上的单调递增函数，又，所以，所以，又函数在上单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件，因为函数在上单调递减，又，所以，当为负数时，没有对数值，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确， 故选：A. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，指数函数的单调性，以及当时函数的符号判断即可； 【详解】定义域为关于原点对称，， 所以函数为奇函数，关于原点对称，故A、C错误； 当时，，所以，故B错误， 故选：D. 7. 已知，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，作出函数的图象，判断和的范围，代入解析式，求得的值，验证后即可求出的值. 【详解】由，可知当时，函数是增函数， 当时，函数也是增函数，且，作出其图象如图： 因，且，则， 故得，解得或， 由知，故，则. 故选：B. 8. 已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，确定的范围，即可比较各函数值的大小. 【详解】函数，由得 ，故，解得. ∵，∴为偶函数，故. 当时，， ∵在上为减函数，且，∴在上为增函数， ∴在上为增函数，在上为减函数. ∵，，， ∴， ∴，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定自变量的取值范围，结合函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小. 二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是3 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，直接应用均值不等式求出的最大值即可求解；对于B项：应用，对直接应用均值不等式即可求解；对于C项：构造展开再应用均值不等式即可求解；对于D项：将消去再应用均值不等式求解即可. 【详解】解：对于A项：因为，所以， 则（当且仅当时取等号），故A错误； 对于B项：因为（当且仅当时取等号），故B正确； 对于C项：因为，所以， 因为， 所以（当且仅当时取等号），故C正确； 对于D项：（当且仅当时取等号），故D正确. 故选：BCD. 10. 给出下列结论，其中不正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是 C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 D. 已知定义在上的奇函数在内有110个零点，则函数的零点个数为221 【答案】AB 【解析】 【分析】由复合函数的单调性可求的的最小值，在上为减函数时的范围，判断A、B的正误，结合指对数函数图像的关系、奇函数的性质可判断C、D的正误. 【详解】对A选项，利用复合函数的单调性，令，随增大函数值减小， 而当时，有最大值，可求得当时，的最小值为，可知A选项错误； 对B选项，可令， 当时，中，随增大而减小，若原函数是减函数，则随增大而增大，可得，与条件矛盾； 当时，随减小而减小，且真数要恒大于0， 满足题意的不等式组为，可知的取值范围为，B选项错误； 对C选项，设的图像上任意一点，将指数式转化为对数式：，可知其关于的对称点在的图像上， 反之，对于的图像上的任意一点，将对数式转化为指数式，有，即点关于直线的对称点在函数的图像上， 可知的图像与的图像关于对称，C选项正确； （也可根据同一底数的指数函数和对数函数互为反函数，互为反函数的函数图像关于对称判断）； 对于D选项，奇函数的图像关于原点中心对称，在有个零点，则在也有个零点，再加上定义在上的奇函数图像必过原点，也是一个零点，共有个零点，D选项正确. 故选：AB 11. 已知函数，则（ ） A. 是R上的减函数 B. 不等式的解集为 C. 若是奇函数，则 D. 的图象关于点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据在R上单调递增，且恒成立，得到A正确；B选项，先计算出，从而得到，由函数单调性得到不等式，求出解集；C选项，由得到，求出；D选项，根据得到对称中心. 【详解】A选项，在R上单调递增，且恒成立， 故是R上的减函数，A正确； B选项，， 故，所以， 由A知，是R上的减函数，故，解得， 故等式的解集为，B正确； C选项，若是奇函数，则， 由B选项知，，故，解得，C正确； D选项，由B选项知，，故的图象关于点对称， 由于与不一定是同一个点，D错误. 故选：ABC 【点睛】函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】由指数，根式，对数的运算化简即可； 【详解】原式， 故答案为：. 13. 幂函数在上单调递增，则的图像过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数定义得到且，解得，结合指数函数的性质，得到定点坐标. 【详解】由题意得且，解得或-1（舍去）， 故，令，得，此时， 故的图象过定点. 故答案为： 14. 设函数，若函数的零点为4，则使得成立的整数的个数为______. 【答案】10 【解析】 【分析】先由函数零点求出，判断此时函数的单调性，将所求不等式化为，根据单调性，得到，进而可根据题中条件，求出结果. 【详解】因为函数的零点为，所以， 又，所以，所以， 所以，. 因为在上单调递减，在上单调递增； 所以在上单调递减，且； 由得，即，所以， 故，又， 故，故整数的个数为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性解不等式时，一般需要根据所给函数的解析式，先判断函数单调性，再将所求式子变形整理，利用函数单调性，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，，求； （2）若，求正数a的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）根据和得到，从而得到，由补集概念得到答案； （2）解指数不等式得到，并且，根据，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ，故，解得， 又，故，则， 或； 【小问2详解】 ，故，解得， 故， 因为，所以， 故， 因为，所以，解得， 所以正数a的取值范围是. 16. 已知（，且），且． （1）求a的值及的定义域； （2）求在上的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入函数值即可求出参数的值，由对数运算中真数大于0列出不等式求得定义域； （2）化简函数解析式得到一个复合函数，通过复合函数的单调性的定义得出函数单调区间，从而找到最小值点得到最小值. 【小问1详解】 ，即，则， 由题意得，∴，的定义域为：. 【小问2详解】 ， 令，则， 的对称轴：， ∴在上单调递增，在上单调递减； ∵，∴在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增， ∴. 17. 已知函数为奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1； （2） 在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， 设，且， 则， 因为，所以，，， 所以，， 即函数在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）由求解的值，再检验即可； （2）根据单调性的定义判断和证明即可； （3）将问题转化为，利用换元法及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由函数为奇函数，其定义域为， 所以，即，解得， 此时，满足，即为奇函数， 故的值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当恒成立， 则恒成立， 令， 所以； 又，当且仅当时等号成立， 而，所以，则. 所以实数的取值范围为 18. 学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下： （i）函数的图象接近图示； （ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分； （iiii）每天得分最多不超过12分. 现有以下三个函数模型供选择： ①；②；③. （1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式； （2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？ （参考值：） 【答案】（1）选择③，； （2）29.25. 【解析】 【分析】（1）根据三种函数的图象特征选择合适的函数模型，然后代入点和解方程组即可得解析式； （2）根据题意解对数不等式即可. 【小问1详解】 模型①，由图象过点， 得，解得， ，在原点附近增长速度先快后慢，不符合； 模型②为爆炸增长型函数，不符合， 故选模型③. 由题知，，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得，解得， 所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟. 19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数 （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4； （2）（ⅰ）， 故， 故函数的图像关于点对称； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，故； （2）（ⅰ）计算得到，得到的图像关于点对称； （ⅱ）分离常数得到在上单调递增，求出的值域为，设在上的值域为，由题意得，分，和三种情况，结合对称性，得到的单调性，得到值域，结合得到不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的图像关于点对称， 故， 令得； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， 故在上单调递增，其中， ， 故的值域为， 设在上的值域为，由题意得， 图象开口向上，对称轴为，且， 当时， 若，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，故在上单调递增， 因为，所以， 所以，由得，解得， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可知，或， 因为，所以， ， 又， 所以， 所以当时，满足； 当，即时，在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，故在上单调递减， 因为，所以， 所以，由得，解得， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法， 一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论； 三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $