精品解析：四川省江油市太白中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

四川省江油市太白中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷 命题人：曹林 审题人：李平 周平凡 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，事件：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与独立 5. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，是直线上的一动点，是圆上一点，则当最小时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的范围是 B. 直线与平面所成角的最大值为 C. 二面角的大小不确定 D. 直线与平面不垂直 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得相应分，有选错的得0分. 9. 已知甲、乙两蔬菜店春节假期一周销售蔬菜量统计如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据的极差小于乙组数据的极差 B. 甲店在春节假期间每天的销售量越来越大 C. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数 D. 若甲、乙两组数据的标准差分别为，则 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（　　） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为. 11. 过直线上一点作圆的两条切线.切点分别为，若四边形周长的最小值是6，则（ ） A. B. 的最大度数为 C. 直线必过点 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆关于直线对称，则______． 13. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的分位数是______. 14. 已知直四棱柱，底面是边长为1的菱形，且，点为的中点，点是棱上的动点.则直线与直线所成角的正切值的最小值为___________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数； （2）根据频率分布直方图，估计阅读时间在的当地年轻人的平均阅读时间；（结果保留分数） （3）为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率． 16. 甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷． （1）求第2次由甲投掷的概率； （2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率． 17. 圆C经过点和点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程及原点O到直线AB距离最大时m的值． 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且． （1）求点P的轨迹方程； （2）求过点且与点P的轨迹相切的直线方程； （3）若点的轨迹上运动，求的取值范围． 19. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省江油市太白中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷 命题人：曹林 审题人：李平 周平凡 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系求解即可. 【详解】直线的斜率不存在，因此倾斜角为. 故选：C. 2. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】因为点关于y轴的对称点， 所以. 故选：B. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆上的方程特征得到不等式组，求出答案. 【详解】由题意，得，解得. 故选：C. 4. 不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，事件：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与互斥 D. 与独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；事件：一个红球一个白球，根据事件的基本关系理解发生，一定发生，发生，不一定发生即可判断和事件，积事件，互斥关系，独立关系． 【详解】解：现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球； A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故与不互斥，故选项错误，不符合题意； D．，即发生，一定发生，发生，不一定发生，故与不独立，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程可得，根据圆的方程圆心到直线的距离为，进而可得点到直线的距离的取值范围和面积的取值范围. 【详解】由直线可知，则， 由圆可知圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 设点到直线的距离为， 则，即， 所以面积. 故选：C. 6. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行的充要条件求出满足题设的a值，再由古典概型计算所求概率即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 则， 取，则取出的有序数对共有个， 其中满足的有序数对有，，，共4个， 所以所求概率为. 故选：B. 7. 在平面直角坐标系中，是直线上的一动点，是圆上一点，则当最小时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，根据对称性可得最小值时的的坐标，求出其到圆心的距离，进而可得的最小值. 【详解】作点关于直线的对称点，易知，连接交于点，如下图所示： 显然此时三点共线，取得最小值； 易知直线的方程为； 联立，可得当时取等号， 易知的圆心为，半径； 所以的最小值为. 故选：A 8. 如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成角的范围是 B. 直线与平面所成角的最大值为 C. 二面角的大小不确定 D. 直线与平面不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，由直线方向向量夹角余弦的范围即可判断；对于B，由线面角正弦值的公式即可判断；对于C，由两平面的法向量夹角余弦即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设正方体棱长为1， ， 对于A，， 不妨设直线与所成角为， 所以， 当增大时，分别减小，增大，所以关于单调递减， 所以，所以，故A错误； 对于B，由题意，且显然平面的法向量为， 不妨设直线与平面所成角为， 则单调递增，， 所以，所以，故B错误； 对于C，， 所以， 不妨设平面与平面的法向量分别为， 所以有和，令，解得， 即取平面与平面的法向量分别为， 二面角为锐角，不妨设为， 则， 所以二面角的大小为，故C错误； 对于D，， 所以， 所以与不垂直，所以直线与平面不垂直. 故选：D. 【点睛】关键点睛：C选项的关键是看两平面法向量夹角是否固定不变，由此即可顺利得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得相应分，有选错的得0分. 9. 已知甲、乙两蔬菜店春节假期一周销售蔬菜量统计如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲组数据的极差小于乙组数据的极差 B. 甲店在春节假期间每天的销售量越来越大 C. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数 D. 若甲、乙两组数据的标准差分别为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】从图中甲乙的数据走势情况，结合极差，中位数，标准差的定义作出判断. 【详解】A选项，从图中可以看出甲的极差小，乙的极差大，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，A正确； B选项，从图可以看出甲店在春节假期间每天的销售量有增加的，也有减少的，处于波动中，B错误； C选项，由于甲组数据除1个数据稍微小于乙组数据，剩余数据都大于乙组数据， 故甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，C正确； D选项，从图中可以看出甲组数据的波动幅度小，乙组数据的波动幅度大，故，D错误. 故选：AC 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（　　） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 直线与圆恒相交 D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线变形整理为，列方程组求出定点坐标判断A，在圆方程中令，求出圆和轴交点的坐标判断B，根据定点在圆的位置关系判断C，当直线被圆截得最短弦长时，，求出斜率进而即可求出直线方程判断D. 【详解】选项A：由题意直线的方程可变形整理为， 由解得，则无论为何值，直线过定点，故A说法正确； 选项B：在圆方程中令，得，解得， 所以圆被轴截得的弦长为，故B说法错误； 选项C：因为，所以定点在圆的内部， 则直线与圆恒相交，故C说法正确； 选项C：由圆的方程可得圆心，当截得的弦长最短时，， 又，则直线的斜率为， 此时直线的方程为，即，故D说法正确.， 故选：ACD 11. 过直线上一点作圆的两条切线.切点分别为，若四边形周长的最小值是6，则（ ） A. B. 的最大度数为 C. 直线必过点 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的切线的性质可得四边形的周长，再求的最小值，结合条件列方程求，判断A，求的余弦及其最小值，结合余弦函数性质求的最大度数，判断B，求过点的圆的方程，再求其与圆的公共弦方程，确定其所过定点坐标，判断C，利用等面积法可得，由此可求的最小值，判断D. 【详解】因为方程可化为， 所以圆的圆心为，半径， 所以， 因为为圆的切线，切点分别为， 所以， 所以，， 如图四边形的周长， 因为四边形周长的最小值是6， 所以的最小值为， 所以点到直线的距离为， 所以， 所以，A正确； ，， 所以， 所以当取最小值时，取最小值为， 即， 又余弦函数在上单调递减， 所以，B错误； 因为， 所以点四点共圆，且线段为该圆的直径， 设， 过点的圆的方程为， 化简可得， 因为圆与圆相交， 将圆与圆方程相减可得 ， 化简可得， 故直线的方程为， 又由可得， 所以直线必过点，C正确； 因为的面积， 所以， 所以当取最小值时，取最小值为，D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题为直线与圆的综合问题，涉及直线外一点到直线的最小距离，直线过定点，圆的切线的性质，相交圆的公共弦的求法等方面，难度较大. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆关于直线对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】圆的圆心为，由题意可知，圆心在直线上， 则，解得，当时，此时方程表示圆，满足题意. 故答案为：. 13. 学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的分位数是______. 【答案】84 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可得出结论. 【详解】8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94， 因为，所以分位数为第5个数，即84分. 故答案为：84. 14. 已知直四棱柱，底面是边长为1的菱形，且，点为的中点，点是棱上的动点.则直线与直线所成角的正切值的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，直线AH与直线BE所成角为，换元后求出，从而得到的最大值，得到取最小值时的正切值. 【详解】连接，因为底面是边长为1的菱形，且， 所以，故为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥，， 则⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 故， 设直线与直线所成角为， 则， 令，则， 当，即，时，取得最大值， 最大值为，此时，为最小值， 由于在上单调递增，故此时为最小值， 又在上单调递增，故所成角的正切值的最小值为. 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数； （2）根据频率分布直方图，估计阅读时间在的当地年轻人的平均阅读时间；（结果保留分数） （3）为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率． 【答案】（1）85； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，再根据百分数计算规则计算可得； （2）首先求出、的人数，即可估计平均数； （3）首先求出，和各组抽取的人数，再利用列举法及古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由题意可知，，解得， 前3组的频率和为， 前4组的频率和为， 所以第85百分位数在第4组，设为，则，解得， 所以这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数为85； 【小问2详解】 因为的人数有：人， 的人数有：人， 所以阅读时间在的当地年轻人的平均阅读时间为； 【小问3详解】 由于，和的频率之比为， 故抽取的5人中，和分别为1人，2人，2人， 记的1人为，的2人为，的2人为， 故随机抽取2人的所有样本点为， ，共包含10个样本点， 其中至少有1人每天阅读时间位于的样本点为， ，共包含7个样本点， 故至少有1人每天阅读时间位于概率. 16. 甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷． （1）求第2次由甲投掷的概率； （2）求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出所以满足要求的情况数，然后结合古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，乙恰好投掷2次的情况分三种，分别计算出其对应概率，相加即可得到结果. 【小问1详解】 掷出的骰子的点数的样本点总数为36． 记事件“掷出的点数之和为3的倍数”， 则，有12个样本点． ． 故第2次由甲投掷的概率为． 【小问2详解】 前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种： 第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为， 第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为， 第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为． 故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为． 17. 圆C经过点和点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程及原点O到直线AB距离最大时m的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出线段EF的垂直平分线，联立直线，求出圆心和半径，即得答案； （2）求出以线段PC为直径的圆的标准方程，和圆C方程相减，即可求得直线AB的方程，求出直线AB所过定点N，确定当时，原点O到直线AB的距离最大，根据斜率之间的关系，求得答案. 【小问1详解】 由题意知圆C经过点和点， 线段EF的中点坐标为， 则线段EF的垂直平分线方程为，即， 联立，得C，则 圆C的标准方程为； 【小问2详解】 线段PC的中点坐标为， 以线段PC为直径的圆的标准方程为：， 即， 圆C方程化为：， 两式相减得：，即为直线AB的方程， 即; 由，直线AB经过定点， 当时，原点O到直线AB的距离最大， ， ，解得． 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且． （1）求点P的轨迹方程； （2）求过点且与点P的轨迹相切的直线方程； （3）若点的轨迹上运动，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）设，把，用坐标表示化简整理即可； （2）按切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解； （3）由得，代入圆方程后由判别式大于或等于0求解． 【小问1详解】 设，∵， 所以，化得得，即为点轨迹方程； 【小问2详解】 由（1）知点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 切线斜率不存在时，方程为，此直线与圆相切，满足题意， 切线斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，切线方程为，即， ∴切线方程为或； 【小问3详解】 ，则，代入圆方程得， 即， ∴，解得． 19. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上． （1）证明：平面； （2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求动点Q到线段的距离的取值范围． 【答案】（1） 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面的法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为，所以 ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $