2024北京中考数学二模分类——新定义

2024北京中考数学二模分类——新定义解析 1．（2024•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，以AB为边作平行四边形ABCD．对于平行四边形ABCD和弦AB，给出如下定义：若边CD所在直线是⊙O的切线，则称四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”． （1）若点A（0，﹣1），C（1，0），四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”ABCD，并直接写出点D的坐标； （2）若弦AB的“弦切四边形”为正方形，求AB的长； （3）已知图形M和图形N是弦AB的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形M与N不重合．P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记PQ的长为t，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）因为四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”故CD是⊙O的切线，因为C（1，0），四边形ABCD是平行四边形，故线段CD是在直线x＝1上，且垂直于x轴，根据平行四边形的性质可得AB∥CD，所以AB垂直x轴，因为AB是⊙O的一条弦，B在⊙O上，A（0，﹣1），由图象可得B点坐标为 （0，1），所以AB＝2，因为AB＝CD＝2，AB∥CD，C（1，0），所以由图象可得点D的坐标为（1，﹣2）． （2）当弦AB的“弦切四边形”为正方形时，则以AB为边作出的四边形ABCD为正方形，可得线段CD 与⊙O相切，交点为点E，连接OE并延长交AB于点G，故可得出正方形ABCD，因为线段CD与⊙O相切，交点为点E，O为⊙O的圆心，所以GE⊥CD，因为AB∥CD，所以GE⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，四边形ABDC为矩形，设OG为m，因为0E＝0B＝1，所以GE＝BD＝AB＝m+1，又因为OB＝OA，OG⊥AB，所以点G是AB的中点，即，故在Rt△OGB 中，OB2＝OG2+BG2，代入数值求值，即可解答． （3）分情况讨论：①由题意可得，圆上任意点A（与x轴y轴交点除外），关于y轴的对称点B，作菱形分别为菱形ABUT和菱形ABCD，且TU和CD与圆相切于点N，P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接PQ交y轴于点G，连接AB，交y轴于点M，连接OB；②当点A在圆上与x轴y轴交点上时，分别求解即可解答． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”， ∴CD是⊙O切线， ∵C（1，0），四边形ABCD是平行四边形， 故线段CD是在直线x＝1上，且垂直于x轴， 根据平行四边形的性质可得AB∥CD， ∴AB垂直x轴， ∵AB是⊙O 的一条弦，B在⊙O上，A（0，﹣1）， 由图象可得B点坐标为（0，1）， ∴AB＝2， ∵AB＝CD＝2，AB∥CD，C（1，0）， ∴由图象可得点D的坐标为（1，﹣2）． （2）当弦AB的“弦切四边形”为正方形时，则以AB为边作出的四边形ABCD为正方形，可得线段CD与⊙O相切，交点为点E，连接OE并延长交AB于点G，故可得出正方形ABCD，如图所示： ∵线段CD与⊙O相切，交点为点E，O为⊙O的圆心， ∴GE⊥CD， ∵AB∥CD， ∴GE⊥AB， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， 设OG为m， ∵OE＝OB＝1， ∴GE＝BD＝AB＝m+1， 又∵OB＝OA，OG⊥AB， ∴点G是AB的中点， 即， 在Rt△OGB中，OB2＝OG2+BG2， 即， 解得或m＝﹣1（舍）， ∴． （3）①由题意可得，圆上任意点A（与x轴y轴交点除外），关于y轴的对称点B，作菱形分别为菱形ABUT和菱形ABCD，且TU和CD与圆相切于点N，P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接PQ交y轴于点G，连接AB，交y轴于点M，连接OB，故△OMB是直角三角形，如图所示： 设OM＝x， ∵ON＝1， ∴MN＝1﹣x， ∵AB⊥ON，UD⊥ON，Q和P分别是AU和BD的中点，QP⊥ON，QG＝GP，MG＝NG，， ∵AB＝AD，M和P分别是AB和BD的中点， ， ∵OB＝1，OM＝x， ， 在Rt△MGP中，PG2＝PM2+MG2， 即， 当时，， ∵， ∴PG＞0，即， ∵PQ＝t＝2PG， ； ②当点A在圆上与x轴y轴交点上时，如图所示，关于x轴的对称点B，作菱形ABC1D1和菱形ABC4D4，P1，Q2分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时P1Q2的长为圆的直径，即P1Q2＝2，即t＝2； 同理可得作菱形ABC2D2和菱形ABC3D3，P2，Q1分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时P2Q1的长为圆的直径，即P2Q1＝2，即t＝2； 同理可得作菱形ABC1D2和菱形ABC3D3，P1，P2分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时，即t＝1； 同理可得作菱形ABC1D1和菱形ABC2D2，P1，Q1分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时，即． 综上所述，t的取值范围为或t＝2． 【点评】本题考查了圆的综合应用，主要考查平行四边形的性质、菱形的性质、正方形的性质、勾股定理、平面直角坐标系、矩形的性质，二次函数的实际应用、切线的性质定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2．（2024•西城区二模）如图1，对于⊙O外的线段PQ（线段PQ上的各点均在⊙O外）和直线PQ上的点R，给出如下定义：若线段PQ绕点R旋转某一角度得到的线段P'Q'恰好是⊙O的弦，则称点R为线段PQ关于⊙O的“割圆点”．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1． （1）如图2，已知点S（1，4），T（﹣1，2），U（1，2），W（0，3）．在线段ST，TU，UW中，存在关于⊙O的“割圆点”的线段是 　UW　，该“割圆点”的坐标是 　（2，1）　； （2）直线y＝x+b经过点W（0，3），与x轴的交点为点V．点P，点Q都在线段VW上，且PQ，若线段PQ关于⊙O的“割圆点”为点R，写出点R的横坐标xₙ的取值范围； （3）直线l经过点H（1，），不重合的四个点A，B，C，D都在直线l上，且点H既是线段AB关于⊙O的“割圆点”，又是线段CD关于⊙O的“割圆点”．线段AB，CD的中点分别为点M，N，记线段MN的长为d，写出d的取值范围． 【分析】（1）分别求出ST，TU，UW的长度，跟半径进行比较，即可得出“割圆点”的线段，从而得出坐标； （2）根据运动的过程，分类讨论：①当点Q与点V重合时，②当点Q向上运动时，点R也向上运动，③当点Q运动到OO′⊥VW时，④当点Q继续向上运动一点时； （3）分当线段AB，CD在点H异侧时，当线段AB，CD在点H同侧时，两种情况进行讨论． 【解答】解：（1）∵S（1，4），T（﹣1，2）， ∴， ∴ST不是关于⊙O的“割圆点”的线段， 由题意得，若将⊙O绕着点R旋转后的圆记作⊙O′，则⊙O′经过PQ， 则RO＝RO′， ∴点R在OO′的垂直平分线上， ∵T（﹣1，2），U（1，2）， ∴TU＝2＝2R， ∴点O′为TU中点， ∵OO′的垂直平分线与TU平行， ∴TU不是关于⊙O的“割圆点”的线段， 由题意得圆心O′在弦UW的垂直平分线上，且根据旋转的性质， 得O′W＝R＝1， ∴点O′即为TU中点， 由题意得“割圆点”一定是弦所在的直线与OO′的垂直平分线的交点，如图： ∵U（1，2），W（0，3）， ∴设直线UW表达式为：y＝kx+b， 代入得：， 解得， ∴直线UW表达式为：y＝﹣x+3， 把yR＝1代入得：﹣x+3＝1， ∴x＝2， ∴R（2，1）， ∴UW是关于⊙O的“割圆点”的线段， 故答案为：UW，（2，1）； （2）将W（0，3）代入y＝x+b得b＝3， ∴直线VW表达式为y＝x+3， 当y＝0时，x+3＝0， ∴x＝﹣3， ∴V（﹣3，0）， 由题意知点R为OO′的垂直平分线与直线PQ的交点，连接O′P，O′Q，则O′P＝O′Q＝R＝1， ∵， ∴O′P2+O′Q2＝PQ2， ∴∠PO′Q＝90°， ∴△PO′Q为等腰直角三角形， ∴∠O′QP＝45°， 而OV＝OW＝3，∠VOW＝90°， ∴∠WVO＝45°， 当点Q与点V重合时，则点O′落在x轴上，此时xR＝﹣1，如图： 当点Q向上运动时，点R也向上运动，此时xR＞﹣1，如图： 当点Q运动到OO′⊥VW时，即OO′的垂直平分线与直线VW平行，此时xR正无穷大，如图： ∴xR≥﹣1， 当点Q继续向上运动一点时，OO′的垂直平分线与直线PQ交点在第三象限很远处，此时xR负无穷大，如图： 当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点O′落在y轴上， ∴yR＝1，代入直线y＝x+3，得：xR+3＝1， ∴xR＝﹣2， ∴xR≤﹣2， 综上所述：xR≤﹣2或xR≥﹣1； （3）∵点， ∴， ∵直线l经过点，以直线x＝1分析， 由题意得，点O′在以点H为圆心，OH＝2为半径的圆上，则线段AB，CD是以点O′为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦， 连接O′M，O′A， ∵O′M经过圆心，点M为AB中点， ∴O′M⊥AB， ∴， 当O'M减小时，AM增大直至等于O'A，如图： 第一种情况，当线段AB，CD在点H异侧时， 当点O′与点M重合时，此时MN最大值＝2OH＝4，如图： 当⊙O′与直线x＝1相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接HO′，如图： 则，同理， ∴，但是取不到， ∴； 第二种情况，当线段AB，CD在点H同侧时， 当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，如图： ∴MN＞0， 当线段AB为⊙O′与直线x＝1相交的线段，另一个⊙O′与直线x＝1相切，此时MN最大，但是取不到，由于点C、D重合，如图，连接O′H， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或2． 【点评】本题考查了新定义，难度很大，旋转的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点，正确理解题意，找出临界位置是解决本题的关键． 3．（2024•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ和直线l，称线段PQ的中点到直线l的距离为线段PQ关于直线l的平均距离，记为t． 已知点A（3，0），B（0，3）． （1）线段AB关于x轴的平均距离t为 　1.5　； （2）若点M在x轴正半轴上，点N在y轴正半轴上，且MN＝2，则线段MN关于直线AB的平均距离t的最小值为 　1　； （3）已知点P是半径为1的⊙O上的动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，直接写出线段PQ关于x轴的平均距离t的取值范围． 【分析】（1）利用平均距离的定义解答即可； （2）设MN的中点为P，利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质得到点P在以O为圆心，1为半径的圆弧上，过点O作OC⊥AB于点C，与该圆弧交于点P，则此时线段MN关于直线AB的平均距离t的值最小，利用圆的有关性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）利用待定系数法求得直线AB的解析式，设P（x，y），则Q（x，﹣x+3），利用线段中点的定义得到线段PQ的中点M的坐标为（x，），则t，得到y＝x+2t﹣3；利用圆的方程得到关于x的一元二次方程2x2+2（2t﹣3）x+（2t﹣3）2﹣1＝0，利用根的判别式解答即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（0，3）， ∴线段AB的中点为（1.5，1.5）， ∵（1.5，1.5）到x轴的距离为1.5， ∴线段AB关于x轴的平均距离t为1.5 故答案为：1.5； （2）设MN的中点为P， ∵点M在x轴正半轴上，点N在y轴正半轴上，且MN＝2， ∴∠MON＝90°， ∵P为MN的中点， ∴OPMN＝1， ∴点P在以O为圆心，1为半径的圆弧上，如图1， 过点O作OC⊥AB于点C，与该圆弧交于点P，则此时线段MN关于直线AB的平均距离t的值最小， ∵AO＝OB＝3，OC⊥AB，∠AOB＝90°， ∴OCAB， ∴线段MN关于直线AB的平均距离t的最小值＝PC＝OC﹣OP1． 故答案为：1． （3）设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3． 设P（x，y）， ∵点P作x轴的垂线交直线AB于点Q， ∴Q（x，﹣x+3）， ∴PQ的中点M（x，）， ∴t． ∴y＝x+2t﹣3． ∵点P是半径为1的⊙O上的动点， ∴x2+y2＝1， ∴x2+（x+2t﹣3）2＝1， 则2x2+2（2t﹣3）x+（2t﹣3）2﹣1＝0． ∵此关于x的一元二次方程有实数解， ∴Δ＝4（2t﹣3）2﹣4×2[（2t﹣3）2﹣1]≥0， ∴（2t﹣3）2≤2， ∴t． ∴线段PQ关于x轴的平均距离t的取值范围为：t． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． 4．（2024•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和点C，给出如下定义：若△ABC是直角三角形，称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣1），在点O（0，0），C1（1，1），C2（1，2）中，是弦AB的“关联点”的是 　O，C2　； （2）已知⊙O的直径A1B1的“关联点”C在y轴上，△A1B1C有一边与⊙O相切，设点A1（x1，y1），当时，直接写出点C的纵坐标yC的取值范围； （3）点E，F在⊙O上，EF⊥y轴，EF＝t，已知点M（1，0），N（0，2），若线段MN上存在一点P是⊙O的弦EF的“关联点”，且∠EPF＝90°，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）由图可知△AOB是直角三角形，再由两点之间距离公式，结合勾股定理的逆定理判定即可得到△ABC1不是直角三角形，△ABC2是直角三角形，再由“关联点”定义即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，如图所示，当点，O（0，0）时，A1O＝1，则，解得m或m，利用两点之间距离公式、勾股定理及对称性分类求解即可得到答案； （3）根据新定义可得P点是EF为直径的圆上的一点，根据题意求得EF的最大值为2，进而分EF在x轴的上方与下方两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，△AOB是直角三角形， ∴由“关联点”定义可知，O（0，0）是弦AB的“关联点”， ∵点A（﹣1，0），B（0，﹣1），C1（1，1）， ∴，，， ∵AB2＝2，， ∴△ABC1不是直角三角形，由“关联点”定义可知，C1（1，1）不是弦AB的“关联点”； ∵点A（﹣1，0），B（0，﹣1），C2（1，2）， ∴，，， ∵AB2＝2，即， ∴△ABC2是直角三角形，由“关联点”定义可知，C2（1，2）是弦AB的“关联点”； 故答案为：O，C2； （2）如图所示： 当点A1（﹣2，m），O（0，0）时，A1O＝1，则，解得m或m； 设y轴上的C（0，n），n＞0，即在y轴正半轴时， 若，此时，△A1B1C1是直角三角形时， 当∠OA1C＝90°，则，则，解得，即，此时yc取到最大值； 若，此时，△A1B1C是直角三角形时，根据对称性； 若A1（0，1），此时B1（0，﹣1），△A1B1C是直角三角形时，则C（0，1）（此时A1，C1重合），此时yc最小； ∴； 设y轴上的C（0，n），n＜0，即在y轴负半轴时， 若，此时，△A1B1C是直角三角形时， 当∠OA1C＝90°，则，则，解得，即，此时yc取到最小值； 若，此时，△A1B1C是直角三角形时，根据对称性； 若A1（0，﹣1），此时B1（0，1），△A1B1C是直角三角形时，则C（0，﹣1），此时yc取到最大值； ∴， 综上所述，点C的纵坐标yc的取值范围或； （3）由题意可知，当EF为直径时，满足题意，则t最大值为2； 当EF在x轴下方时，如图所示，设以EF为直径的圆与MN相切于点H，则当P和点H重合时，∠EPF＝90°， ∵M（1，0），N（0，2）， ∴OM＝1，ON＝2，则， ∵EF＝t，则GH， ∵tan∠MNO＝tan∠HNG，即， ∴， ∴NH＝t， ∴， ∵，NO＝2， ∴， 解得：或（舍去）， 当EF在x轴上方时，如图所示， 同理可得， ∵，NO＝2， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，． 【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 5．（2024•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于点A和⊙O的弦BC，给出如下定义： 若∠BAC＝90°，则称弦BC是点A的“关联弦”． （1）如图1，已知点A（1，0），点B1（2，0），，B2（﹣2，0），，B3（0，2），，在弦B1C1，B2C2，B3C3中，点A的“关联弦”是 　B1C1和B2C2　； （2）如图2，已知点，C（，﹣1）在⊙O上，弦BC是点A的“关联弦”，直接写出OA长度的最大值； （3）如图3，已知点M（0，﹣2），N（2，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦BC，使得弦BC是点S的“关联弦”，若对于点S，将其对应的“关联弦”BC长度的最大值记为d，则当点S在线段MN上运动时，直接写出d的取值范围． 【分析】（1）根据题意判断角是否为90°即可； （2）根据直径所对的圆周角为90°，找出A的运动轨迹后求解即可； （3）分类讨论OA的长度，求出关联弦BC的取值范围，再根据OS的取值范围求解即可． 【解答】解：（1）连接B1C1，B2C2，B3C3，AC1，AC2，AC3，AB3，如图所示： ∵点A（1，0），点B1（2，0），，B2（﹣2，0），， ∴∠C1AB1＝90°，∠C2AB2＝90°，B1C1和B2C2是点A的关联点； ∵B3（0，2），， ∴，，B3（﹣1）2+（2）2＝8+4， ∴， ∴∠B3AC3≠90°， 综上点A的“关联弦”是B1C1和B2C2， 故答案为：B1C1和B2C2； （2）∵，， ∴， 设BC的中点为M，则M（0，﹣1）， ∵∠BAC＝90°，BC的长为定值， ∴点A的运动轨迹为以M为圆心，MC为半径的圆上，如图所示： ∴当OA在y轴上时OA最大，此时OM＝1，， ∴； （3）设BC是点A的关联弦，∠BAC＝90°， 当点A在圆心上时，即OA＝0，如图所示： 此时△BAC为等腰直角三角形，BA＝AC＝2， ∴； 当点A在圆上时，即OA＝2时，如图所示： 此时△BAC为等腰直角三角形，BC＝4， ∴当0＜OA＜2时，设BC的中点为M，连接AM，OA，OM，如图所示： ∴BC＝2AM， ∴当AM越大，OM越小时BC越大，即AM﹣OM≤OA， ∴AM﹣OM＝OA，此时BC得到最大值，如图： ∴， ∵当点A在圆外，且BA与AC相切时，，如图所示： 此时四边形ABOC为正方形，此时， ∴当时，设BC的中点为M，连接AM，OA，OM，如图所示： ∴BC＝2AM， ∴当AM越大，OM越小时BC越大，即AM+OM≥OA， ∴AM+OM＝OA，此时BC得到最大值，如图： ∴， 综上所述，； 又∵连接MN，OS，当OS⊥MN时，如图所示： ∵M（0，﹣2），， ∴，， ∴， ∴， ∵0时，关联弦的取值为：， ∴． 【点评】本题为圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系，几何变换等知识点，根据所给的信息合理分类讨论弦的长度是解题的关键． 6．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P为⊙O外一点．给出如下定义：以线段OP为对角线作矩形OMPN，若点M在⊙O内或⊙O上，点N在⊙O外，则称矩形OMPN是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形OMPN是点P的一个“圆伴矩形”． （1）已知矩形OMAN是点A的“圆伴矩形”且点N在⊙O外， ①若点A的坐标为（2，1）且点M在⊙O上，则矩形OMAN的面积是 　2　； ②若点A的坐标为（2，0），则点N的横坐标t的取值范围是 　1.5≤t＜2　； （2）已知OB＝2，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段CD上存在点N，使得矩形OMBN是点B的“圆伴矩形”（点N在⊙O外），直接写出b的取值范围． 【分析】（1）①根据A的坐标，求出边长，可得面积．②作NP⊥OA于P．∠ONA＝90°，OA＝2，OM＝AN＝1，根据三角函数可求∠OAN＝60°，求出AP，可得N的横坐标，就能求出t的范围． （2）OM2+ON2＝OB2＝4，求出ON的取值范围，当ON＝2时，求出b的临界值，点N在线段CD上，当ON⊥CD时，ON有最小值，此时再求出b的临界值，由此求解即可． 【解答】解：（1）①如图 OM＝1，ON＝2， S矩形OMAN＝1×2＝2． ②如图：点M在圆O上时，作NP⊥OA于P． OM＝AN＝1，OA＝2，∠ONA＝90°， ∴cos∠OAN， ∴∠OAN＝60°， ∴， ∴AP＝0.5， ∴OP＝OA﹣AP＝1.5． ∵∠ONA＝∠OMA＝90°， ∴O，M，A，N在以OA为直径的圆上， 如图，OM＜1，点M在圆O内以OA为直径的弧上， 点N在OA为直径的弧上，更接近点A， 0＜AN＜1，N不能和A重合， 所以点N横坐标t的取值范围：1.5≤t＜2． 故答案为：2，1.5≤t＜2． （2）如图， ∵OB＝2．∠ONB＝90°， ∴OM2+ON2＝OB2＝4， ∵0＜OM≤1， ∴3≤ON2＜4 ∴ON＜2， 设N的坐标为（x，y）， 当ON＝2时， ∵tan∠DCO， ∴sin∠DCO， ∴CO＝2， ∴， ∴b＝±； ∵点N在线段CD上，当ON⊥CD时，ON有最小值． ∵ON＝OC， ∴， ∴b， ∴b或b． 【点评】本题考查了矩形的性质，圆的性质，一元二次方程判别式．关键是理解题中各量变化中的关系． 7．（2024•大兴区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点T，M（a，b），N（n，0），给出如下定义：若点N以点T为中心逆时针旋转90°后，能与点M重合，则称点T为线段MN的“完美等直点”． （1）如图1，当a＝0，b＝2，n＝2时，线段MN的“完美等直点”坐标是 　（0，0）　； （2）如图2，当a＝0，n＝2时，若直线y＝x+2上的一点T，满足T是线段MN的“完美等直点”，求点T的坐标及b的值； （3）当﹣2≤n≤4时，若点M（a，b）在以（1，1）为圆心，为半径的圆上，点T为线段MN的“完美等直点”，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件得到ON＝2，OM＝2，如图，由点N以点T为中心逆时针旋转90°后，能与点M重合，得到ON＝OM＝2，求得△MON是等腰直角三角形，于是得到结论； （2）过点T作TA⊥x轴，TB⊥y轴，垂足分别为A，B，得到∠TBM＝∠TAN＝90°．根据全等三角形的性质得到TA＝TB，BM＝AN．求得点T坐标为（﹣1，1）点A坐标为（﹣1，0）．点B坐标为（0，1）．于是得到结论； （3）解：如图所示，当n＝﹣2时，N（﹣2，0），点M在圆上，圆心坐标为Q（1，1），半径为，求得点M横坐标的取值范围为：1，纵坐标的取值范围为：1，得到线段MN的中点坐标为P（），过点P作线段MN的垂直平分线，推出△TMN是等腰直角三角形，根据正方形的性质得到TN＝ON＝2＝TM＝OM，得到T的横坐标为﹣2，当点M，Q，N三点共线时，线段MN的长度值最大，如图所示，以N，T，M作矩形NSRK，根据全等三角形的性质得到ST＝RM，SN＝TR，得到S＜SR，即点T的横坐标大于﹣2，求得QM，Q（1，1），求得P（3，0），由TP是MN的垂直平分线，得到T的横坐标为3，于是得到结论． 【解答】解：（1）（1）当a＝0，b＝2，n＝2时，M（0，2），N（2，0）， ∴ON＝2，OM＝2， 如图，∵点N以点T为中心逆时针旋转90°后，能与点M重合， ∴ON＝OM＝2， ∴△MON是等腰直角三角形， ∴MN的中点B的坐标为（1，1）， ∴OB⊥MN，BM＝BN， ∴旋转中心在线段MN的垂直平分线上， ∵MO＝NO， ∴点T与点O重合， ∴线段MN的“完美等直点”坐标是（0，0）， 故答案为：（0，0）； （2）过点T作TA⊥x轴，TB⊥y轴，垂足分别为A，B， ∴∠TBM＝∠TAN＝90°． ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4． ∵TM＝TN， ∴△MBT≌△NAT（AAS）． ∴TA＝TB，BM＝AN． ∵点T在直线y＝x+2上，不妨设点T坐标为（x，x+2）． ∴|x|＝|x+2|． 解得：x＝﹣1， ∴点T坐标为（﹣1，1）， 点A坐标为（﹣1，0）． 点B坐标为（0，1）． ∴AN＝BM＝3． ∴OM＝4． ∴b＝4； （3）解：如图所示，当n＝﹣2时，N（﹣2，0），点M在圆上，圆心坐标为Q（1，1），半径为， ， ∴点M横坐标的取值范围为：1，纵坐标的取值范围为：1， 由（1）可知，线段MN的中点坐标为P（）， 过点P作线段MN的垂直平分线， ∴由“完美等直点”的定义，旋转的性质得到，中心对称点T在线段MN的垂直平分线上，且∠NTM＝90°， ∴TN＝TM，∠NTM＝90°， ∴△TMN是等腰直角三角形， ∴由（1）可证得四边形OMTN是正方形， ∴TN＝ON＝2＝TM＝OM， ∴T的横坐标为﹣2， 当点M，Q，N三点共线时，线段MN的长度值最大，如图所示，以N，T，M作矩形NSRK， ∵∠S＝∠R＝90°＝∠NTM，TM＝TN，∠NTS+∠RTM＝∠RTM+∠TMR＝90°， ∴△TSN≌△MRT（AAS）， ∴ST＝RM，SN＝TR， ∵ST+TR＝SR， ∴ST＜SR， 即点T的横坐标大于﹣2， 当n＝4时，N（4，0），如图所示，作QL⊥x轴于L， ∴∠NTM＝90°，QM，Q（1，1）， ∴QL＝LM＝1， ∴M（2，0）， ∴P， 即P（3，0）， ∵TP是MN的垂直平分线， ∴T的横坐标为3， 综上所述，点T的横坐标t的取值范围为﹣2≤t≤3． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了平面直角坐标系中图形的变换规律，新定义“完美等直点”，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论，数形结合思想是解题的关键． 8．（2024•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两点M，N和直线l，过点M作直线l的垂线，垂足为点P，若点N关于点P的对称点为点H，则称点H为点M关于直线l和点N的“垂足对称关联点”．已知点A（4，0），B（0，2）． （1）①点（1，3）关于x轴和点A的“垂足对称关联点”的坐标为 　（﹣2，0）　； ②点B为点A关于直线l和点（6，﹣2）的“垂足对称关联点”，则点A到直线l的距离为 　1　； （2）如图，点C在线段AB上，点D在x轴下方，且满足OD＝1，若直线y＝x+b上存在点C关于x轴和点D的“垂足对称关联点”，求b的取值范围． 【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可； （2）①以点O为圆心，OD为半径作圆，当直线y＝x+b与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线y＝x+b的垂线，则∠EOB＝45°，且OE＝1，据此求出b的值；②当点D与点R（﹣1，0）重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出b＝﹣9，由此得到b的取值范围为． 【解答】解：（1）①如图1，过点（1，3）作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为（1，0）， ∵A（4，0）， ∴点（1，3）关于x轴和点A的“垂足对称关联点”的坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）； ②∵B（0，2），点（6，﹣2）， ∴它们的中点的坐标为，即（3，0）， ∵点B为点A关于直线l和点（6，﹣2）的“垂足对称关联点”， ∴点A到直线l的距离为1， 故答案为：1； （2）①如图2， 以点O为圆心，OD为半径作圆，当直线y＝x+b与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线y＝x+b的垂线，则∠EOB＝45°，且OE＝1， ∵点D与点E的中点为O， ∴点C与点B重合， ∵∠OEF＝90°，∠EOF＝45°，OE＝1， ∴， ∴； ②当点D与点R（﹣1，0）重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图3， ∵G（﹣1，0），A（4，0）， ∴点G关于点A的对称点H的坐标为（9，0）， 将H（9，0）代入y＝x+b，得b＝﹣9， ∴b的取值范围为． 【点评】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键． 9．（2024•平谷区二模）平面直角坐标系xOy中，已知线段AB，P为线段AB上一点（不与点A、B重合），以A为圆心，AP长为半径画⊙A，以B为顶点作∠MBN，∠MBN＝β°，若角∠MBN的两边一边与⊙A相切，另一边与⊙A相交，则称线段AB与⊙A关于点P—β关联． （1）若点P为线段AB的中点，线段AB与⊙A关于点P—β关联，则满足条件的β值可以是 　①②　； ①30° ②45° ③60° ④90° （2）⊙O半径为1，P是⊙O上一点，B（0，m）是y轴上一点，线段OB与⊙O关于点P﹣90关联，直接写出m的取值范围； （3）⊙O半径为1，点A是⊙O上一点，点B（5，0），线段AB与⊙A关于点P﹣60关联，若在直线y＝x+b上存在满足条件的点P，直接写出b的取值范围． 【分析】（1）通过计算得出∠MBN＜60°，所以①②符合题意； （2）当点B在y轴的正半轴时，；当点B在y轴的负半轴时，； （3）在⊙O上任取一点A，在AB上任取一点P，以A为圆心，AP为半径作⊙A，过点B分别作⊙A的切线BE，BF，求出临界值，得出． 【解答】解：（1）如图， 由新定义知BN与⊙A相切， ∴∠ANB＝90°， ∵点P为线段AB的中点， ∴AB＝2AP＝2AN， ∴sin， ∴∠ABN＝30°， ∵BM与⊙A相交， ∴∠MBN＜60°， ∴①②符合题意， 故答案为：①②； （2）如图，当点B在y轴的正半轴时， ∵线段OB与⊙O关于点P﹣90关联， ∴∠MBN＝90°， 当BM与⊙O相切于点D时，连接OD，则∠ODB＝90°， ∵∠ONB＝90°， ∴四边形ODBN是矩形， ∵BN＝BD， ∴四边形ODBN是正方形， ∴， 当点B与点P重合时，OB＝1， ∴； 当点B在y轴的负半轴时，如图， 同理可求； 综上可知，或； （3）在⊙O上任取一点A，在AB上任取一点P，以A为圆心，AP为半径作⊙A，过点B分别作⊙A的切线BE，BF， ∵要使线段AB与⊙A关于点P﹣60关联， ∴∠EBF＞60°，即∠ABF＞30°， ∴， 取AB中点H，则P点在线段BH上，不包括端点B、H， 随着A在⊙O上运动，取OB中点G， ∴AB中点G始终在以为圆心，半径为的⊙G上运动， ∴P始终在线段BH扫得区域， ∴当y＝x+b与⊙G相切时，如图所示，取点，则∠OMG＝45°， ∴△TNG是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵y＝x+b过点，代入解得：， 当y＝x+b过点（5，0）时，b＝﹣5， ∴． 【点评】本题考查含30°的直角三角形三边关系，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，切线性质，一次函数图象性质等知识点，熟悉相关图形的性质是解决问题的关键． 10．（2024•门头沟区二模）对于关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数为一次函数y＝kx+b（k≠0）的n级衍生函数（其中n为常数）． 例如，y＝﹣4x+1的3级衍生函数为：当x＜3时，y{x}＝﹣4x+1；当x≥3时，y{x}＝4x﹣1． （1）如果y＝x+1的4级衍生函数为y{4}， ①当x＝3时，y{4}＝　4　； ②当时，x＝　　． （2）如果y＝2x+1的﹣2级衍生函数为y{﹣2}，求双曲线与y{﹣2}的图象的交点坐标； （3）如果以点A（0，t）为圆心，2为半径的⊙A与y＝﹣x+2的﹣1级衍生函数y{﹣1}的图象有交点，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）根据定义可得，①当x＝3时，代入x+1计算即可；②当时，分两种情况分别求解：当x＜4时和当x≥4时，再根据x的取值范围作进一步判断； （2）根据定义可得再分两种情况分别建立联立方程组求解即可： （3）根据题意可得，如图，直线y＝x﹣2与y轴于点C，与x轴于点D，过点M作MB⊥y轴于点B，确定M（﹣1，﹣3），C（0，﹣2），D（2，0），N（﹣1，3），得到OC＝OD＝2，∠OCD＝∠ODC＝45°，设⊙A沿y轴正方向移动，再分两种情况进行讨论：i）当x≥﹣1时，如图，当点M刚好在⊙A上时，过点M作MB⊥y轴于点B，连接AM；如图，当⊙A与直线y＝x﹣2相切时，设切点为E，连接AE；ii）x＜﹣1时，如图，当点N刚好在⊙A上时，过点N作NF⊥y轴于点F，连接NA；如图，当⊙A与直线y＝﹣x+2相切时，设切点为G，连接AG，设直线y＝﹣x+2交y轴于点H，可得结论． 【解答】解：（1）∵y＝x+1的4级衍生函数为y{4}， ∴， ①当x＝3时，y{4}＝3+1＝4， 故答案为：4； ②当时， 当x＜4时，得：， 解得：， 当x≥4时，得：， 解得：（舍去）， 故答案为：； （2）∵y＝2x+1的﹣2级衍生函数为y{﹣2}， ∴ 当x＜﹣2时， 联立方程组， ∴2x2+x+3＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×3＝﹣23＜0， ∴方程无解，即方程组无解， 此时两个函数图象之间没有交点； 当x≥﹣2时， 联立方程组， 解得：或， ∴双曲线与y{﹣2}的图象的交点坐标是和（1，﹣3）； （3） ∵y＝﹣x+2的﹣1级衍生函数为y{﹣1}， ∴ 如图，直线y＝x﹣2与y轴于点C，与x轴于点D， 当x＝1时，得：y＝﹣1﹣2＝﹣3；当x＝0时，得：y＝0﹣2＝﹣2；当y＝0时，得：x＝2， ∴M（﹣1，﹣3），C（0，﹣2），D（2，0）， 当x＝﹣1时，得：y＝﹣（﹣1）+2＝3， ∴N（﹣1，3）， ∴OC＝OD＝2， ∵∠COD＝90°， ∴∠OCD＝∠ODC＝45°， ∵以点A（0，t）为圆心，2为半径的⊙A与y＝﹣x+2的﹣1级衍生函数y{﹣1}的图象有交点， 设⊙A沿y轴正方向移动， i）当x≥﹣1时， 如图1，当点M刚好在⊙A上时，过点M作MB⊥y轴于点B，连接AM， ∴MA＝2，MB＝1， ∴， ∵∠MCB＝∠OCD＝45°， ∴， ∴， ∴此时； 如图2，当⊙A与直线y＝x﹣2相切时，设切点为E，连接AE， ∴AE＝2，∠AEC＝90°， 在Rt△EAC中，， ∴， ∴此时， ∴t的取值范围是； ii）x＜﹣1时， 如图3，当点N刚好在⊙A上时，过点N作NF⊥y轴于点F，连接NA， ∴NA＝2，NF＝1，OF＝3， ∴， ∴， ∴此时； 如图4，当⊙A与直线y＝﹣x+2相切时，设切点为G，连接AG，设直线y＝﹣x+2交y轴于点H， ∴AG＝2，∠AGH＝90°， 对于直线y＝﹣x+2， 当x＝0时，得：y＝2；当y＝0时，得：x＝2， ∴H（0，2），且D（2，0）在直线y＝﹣x+2上， ∴OH＝OD＝2， ∵∠HOD＝90°， ∴∠OHD＝∠ODH＝45°， ∴∠AHG＝∠OHD＝45°， 在Rt△GAH中，， ∴， ∴此时， ∴t的取值范围是； 综上所述，t的取值范围是或． 【点评】本题考查函数的新定义，函数图象上点的坐标特征，一次函数与反比例函数图象的交点，点和圆的位置关系，切线的性质，等边对等角，解直角三角形等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握函数图象交点坐标的确定方法，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，解直角三角形是解题的关键． 11．（2024•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线OQ的对称点P′在图形M上，则称P为图形M的关联点． （1）如图，点A（﹣2，2），B（2，2）．在点C1（1，0），C2（2，﹣2），C3（﹣2，0）中，线段AB的关联点是 　C2，C3　； （2）已知点D（﹣1，0），⊙D的半径为2，点P在直线上，若P为⊙D的关联点，求点P的横坐标xP的取值范围； （3）⊙T的圆心为（0，t），半径为3，x轴上存在⊙T的关联点，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）点C2关于直线OB的对称点是点A，点C3关于直线OA的对称点是线段AB的中点，故C2，C3是线段AB的关联点； （2）由题意得OP＝OP'，则以O为圆心，OP为半径的圆要与⊙D有公共点即P′，PP′的中垂线OQ与⊙D有交点即点Q，则|OP﹣2|≤1≤2+OP，即1≤OP≤3，①当点P在第一象限时，当OP＝1时，⊙D，⊙O内切于x轴正半轴，切点为点p，则OG＝xPOP；当OP＝3时，⊙D，⊙O内切于x轴负半轴，切点为点P′，则OG＝xPOP，因此xp，当点P在第三象限时，同理可求xp； （3）当OP，OQ与⊙T相切时，∠POP′最大，能让点P′落在x轴上，当点P′落在x轴负半轴时，设∠POT＝∠QOT＝α，则∠P′OQ＝2α，可得3α＝90°，则α＝30°，此时t＝6，当点P′落在x轴正半轴时，可求t＝﹣6，因此t的取值范围是﹣6≤t≤6． 【解答】解：（1）如图1，作直线OA，OB， 由图可知：点C2关于直线OB的对称点是点A1，点C3关于直线OA的对称点是线段AB上的点C， 所以线段AB的关联点是 C2、C3， 故答案为：C2，C3； （2）由题意得OP＝OP'，则以O为圆心，OP为半径的圆要与⊙D有公共点即P′，PP′的中垂线OQ与⊙D有交点即点Q， ∴满足|RO﹣RD|≤OD≤RD+RO， ∴|OP﹣2|≤1≤2+OP， 解得：1≤OP≤3； ①当点P在第一象限时， 当OP＝1时，⊙D，⊙O内切于x轴正半轴，切点为点P′，如图2：过点P作x轴的垂线，垂足为点G，设P（m，m）， 即OG＝m，PGm， ∴tan∠OPG， ∴∠OPG＝30°， ∴OG＝xPOP； 当OP＝3时，⊙D，⊙O内切于x轴负半轴，切点为点P′，如图3： OG＝xPOP， ∴当xp时，满足条件； ②当点P在第三象限时，同理可求xp， 综上所述，若P为⊙D的关联点，点P的横坐标xp的取值范围为：xp或xp； （3）t的取值范围为﹣6≤t≤6．理由如下： 由题意得∠POQ＝∠P′OQ，先定点Q和⊙T，当点P向下运动，点P′越靠近x轴，即∠POQ尽可能大，因此当OP与⊙T相切符合题意，如图4： ∵OP与⊙T相切时，点T到OP的距离最大，由OT不变，得到sin∠TOP最大，则∠TOP最大， ∴∠POQ最大， ∴第一个满足的约束条件是OP与⊙T相切，定点P和⊙T，则当点Q向下运动时，点P′越靠近x轴，即∠POQ要尽可能大，同上可得当OQ与⊙T 相切时，∠POQ最大， ∴第二个满足的约束条件是OQ与⊙T相切， ∴当OP，OQ与⊙T相切时，∠POP最大，当点p落在x轴负半轴时，如图6： ∵∠TQO＝∠TPO＝90°，TQ＝TP，OT＝OT， ∴Rt△OPT≌Rt△OQT（HL）， 设∠POT＝∠QOT＝α，则∠POQ＝2α， ∵3α＝90°， 解得：α＝30°， ∴OT＝t＝2TP＝6； 当点P′落在x轴正半轴时，如图7： 同理可求OT＝﹣t＝2TP＝6， ∴t＝﹣6， ∴t的取值范围为﹣6≤t≤6． 【点评】本题考查了新定义，轴对称图形的性质，直线与圆的位置关系，30° 角的直角三角形的性质，圆与圆的位置关系，解题的关键是将问题进行转化为直线与圆的位置关系，圆与圆的位置，难点在于“控制变 量”，找出临界状态． 12．（2024•昌平区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转90°得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知A（0，2），B（3，1）． （1）如图2，点P是线段AB的“关联点”，在点P1（1，0），P2（0，1），P3（2，3）中，则满足条件的点是 　P1，P3　； （2）若直线y＝﹣x+b上存在点P，使点P为线段AB的“关联点”，直接写出b的取值范围； （3）以（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段AB上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【分析】设AB旋转后得到线段CD，所以CD⊥AB，若要线段AB和CD有交点，则P需要在以AB为对角线的正方形内； （1）以AB为对角线作正方形，看P点是否在正方形内即可； （2）以AB为对角线作正方形AMBN，直线上存在P点即直线与正方形有交点，据此解答； （3）求出圆心T关于P的旋转点R，根据两圆关系与半径之间的关系求解即可． 【解答】解：（1）以AB为对角线作正方形AMBN， ∵A（0，2），B（3，1）， ∴M（1，0），N（2，3）， 如图： ∴P1，P3是线段AB的“关联点”， 故答案为：P1，P3； （2）如图： 当直线过M点时，将M（1，0）代入直线方程得： 0＝﹣1+b， ∴b＝1， 当直线经过N点时，将N（2，3）代入直线方程得： 3＝﹣2+b， ∴b＝5， ∴1≤b≤5； （3）设T关于P点的“关联点”为R，连接RT，如图： ∵∠RPT＝90°，PR＝PT， ∴△PRT为等腰直角三角形， ∵圆T与圆R有交点， ∴RT≤2， ∴PT， ∴T在以AB上点为圆心，半径为的圆所覆盖的区域内， 设该区域与x轴的交点分别为E，F，E在F左侧， 延长AB交x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，过E作EG⊥AB于G，如图： ∴EG＝BF， 设AB所在直线的表达式为：y＝kx+2， 将B点坐标代入解析式得：1＝3k+2， ∴k， ∴AB所在直线的表达式为：yx+2， 令y＝0，则x＝6， ∴C（6，0）， ∵B（3，1）， ∴BD＝1，D（3，0），BC， 又∵BF， ∴DF＝1， ∴F（4，0）， ∵∠ECG＝∠BCD，∠EGC＝∠BDC＝90°， ∴△BCD∽△ECG， ∴， ∴CE＝2， ∴E（6﹣2，0）， ∵T在E和F之间， ∴6﹣2t≤4． 【点评】本题主要考查了新定义与圆的综合题，灵活运用圆的性质、一次函数图象的性质、两点之间距离公式、三角形相似的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，正确理解新定义是本题解题的关键． 13．（2024•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）． ①在点C1（﹣1，1），C2（﹣1，），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是 　C2　； ②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出AC，OC的长． （2）已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段MN上一点T，存在⊙O的弦PQ，使得点T是弦PQ的“关联点”，记四边形OPTQ的面积为S，当点T在线段MN上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的PQ长． 【分析】（1）求出OB1的关系式，再求出垂直于OB1的l的关系式，代入x＝﹣1即可； （2）同理求出OB2级CB2的关系式，代入x＝﹣1即可； （3）由点圆关系得，点离圆越近，离圆心的距离OT越短，切点之间的距离PQ越短，当OT⊥MN时，OT值最小，PQ最小，当点T在点M出时OM最大，PQ最大，此时S最大，利用等面积和全等求出相应线段即可解答此问． 【解答】解：（1）①连接OB1，过B1作OB1的垂线l，如图， 设OB1：y＝kx， 把B1（，）代入得k， ∴k， ∴yx， ∵l⊥OB1， ∴设l：yx+b， 把（，）代入得， k+b， ∴b， ∴l：yx， 把x＝﹣1代入得，y， ∴C2（﹣1，）是弦AB1的“关联点”， 故答案为：C2； （2）连接OB2，过B2作CB2⊥OB2，交x＝﹣1于点C， 同理求得OB2：yx，CB2：yx， 把x＝﹣1代入得，y， ∴AC， ∴OC＝2AC； （3）由点圆关系得，点离圆越近，离圆心的距离OT越短，切点之间的距离PQ越短， 如图，直线MN为yx+2， 当OT⊥MN时，OT值最小，PQ最小， ∵OT⊥PQ， ∴SOT•PQ， ∴此时S最小，由直线MN为yx+2得，∠ONM＝60°，∠OMN＝30°， ∴ON＝2，OM＝2，MN＝4， ∴OT＝2×24， ∵OQ＝1，∠OQT＝90°， ∴TQ， ∴QH＝1， ∴PQ＝2QH， ∴S； 如图，当点T在点M出时OM最大，PQ最大，此时S最大， ∵OM＝2，OQ＝1， ∴QM， ∴QH1×÷2， ∴QP＝2HQ， ∴S2． 综上，S的最小值为，PQ，S的最大值为，PQ． 【点评】本题考查了圆的综合，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，三角形相似及勾股定理的应用是本题的解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/27 23:52:15；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024北京中考数学二模分类——新定义 1．（2024•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，以AB为边作平行四边形ABCD．对于平行四边形ABCD和弦AB，给出如下定义：若边CD所在直线是⊙O的切线，则称四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”． （1）若点A（0，﹣1），C（1，0），四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”ABCD，并直接写出点D的坐标； （2）若弦AB的“弦切四边形”为正方形，求AB的长； （3）已知图形M和图形N是弦AB的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形M与N不重合．P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记PQ的长为t，直接写出t的取值范围． 2．（2024•西城区二模）如图1，对于⊙O外的线段PQ（线段PQ上的各点均在⊙O外）和直线PQ上的点R，给出如下定义：若线段PQ绕点R旋转某一角度得到的线段P'Q'恰好是⊙O的弦，则称点R为线段PQ关于⊙O的“割圆点”．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1． （1）如图2，已知点S（1，4），T（﹣1，2），U（1，2），W（0，3）．在线段ST，TU，UW中，存在关于⊙O的“割圆点”的线段是 　 　，该“割圆点”的坐标是 　 　； （2）直线y＝x+b经过点W（0，3），与x轴的交点为点V．点P，点Q都在线段VW上，且PQ，若线段PQ关于⊙O的“割圆点”为点R，写出点R的横坐标xₙ的取值范围； （3）直线l经过点H（1，），不重合的四个点A，B，C，D都在直线l上，且点H既是线段AB关于⊙O的“割圆点”，又是线段CD关于⊙O的“割圆点”．线段AB，CD的中点分别为点M，N，记线段MN的长为d，写出d的取值范围． 3．（2024•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段PQ和直线l，称线段PQ的中点到直线l的距离为线段PQ关于直线l的平均距离，记为t． 已知点A（3，0），B（0，3）． （1）线段AB关于x轴的平均距离t为 　 　； （2）若点M在x轴正半轴上，点N在y轴正半轴上，且MN＝2，则线段MN关于直线AB的平均距离t的最小值为 　 　； （3）已知点P是半径为1的⊙O上的动点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，直接写出线段PQ关于x轴的平均距离t的取值范围． 4．（2024•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和点C，给出如下定义：若△ABC是直角三角形，称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣1），在点O（0，0），C1（1，1），C2（1，2）中，是弦AB的“关联点”的是 　 　； （2）已知⊙O的直径A1B1的“关联点”C在y轴上，△A1B1C有一边与⊙O相切，设点A1（x1，y1），当时，直接写出点C的纵坐标yC的取值范围； （3）点E，F在⊙O上，EF⊥y轴，EF＝t，已知点M（1，0），N（0，2），若线段MN上存在一点P是⊙O的弦EF的“关联点”，且∠EPF＝90°，直接写出t的取值范围． 5．（2024•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于点A和⊙O的弦BC，给出如下定义： 若∠BAC＝90°，则称弦BC是点A的“关联弦”． （1）如图1，已知点A（1，0），点B1（2，0），，B2（﹣2，0），，B3（0，2），，在弦B1C1，B2C2，B3C3中，点A的“关联弦”是 　 　； （2）如图2，已知点，C（，﹣1）在⊙O上，弦BC是点A的“关联弦”，直接写出OA长度的最大值； （3）如图3，已知点M（0，﹣2），N（2，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦BC，使得弦BC是点S的“关联弦”，若对于点S，将其对应的“关联弦”BC长度的最大值记为d，则当点S在线段MN上运动时，直接写出d的取值范围． 6．（2024•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P为⊙O外一点．给出如下定义：以线段OP为对角线作矩形OMPN，若点M在⊙O内或⊙O上，点N在⊙O外，则称矩形OMPN是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形OMPN是点P的一个“圆伴矩形”． （1）已知矩形OMAN是点A的“圆伴矩形”且点N在⊙O外， ①若点A的坐标为（2，1）且点M在⊙O上，则矩形OMAN的面积是 　 　； ②若点A的坐标为（2，0），则点N的横坐标t的取值范围是 　 　； （2）已知OB＝2，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段CD上存在点N，使得矩形OMBN是点B的“圆伴矩形”（点N在⊙O外），直接写出b的取值范围． 7．（2024•大兴区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点T，M（a，b），N（n，0），给出如下定义：若点N以点T为中心逆时针旋转90°后，能与点M重合，则称点T为线段MN的“完美等直点”． （1）如图1，当a＝0，b＝2，n＝2时，线段MN的“完美等直点”坐标是 　 　； （2）如图2，当a＝0，n＝2时，若直线y＝x+2上的一点T，满足T是线段MN的“完美等直点”，求点T的坐标及b的值； （3）当﹣2≤n≤4时，若点M（a，b）在以（1，1）为圆心，为半径的圆上，点T为线段MN的“完美等直点”，直接写出点T的横坐标t的取值范围． 8．（2024•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两点M，N和直线l，过点M作直线l的垂线，垂足为点P，若点N关于点P的对称点为点H，则称点H为点M关于直线l和点N的“垂足对称关联点”．已知点A（4，0），B（0，2）． （1）①点（1，3）关于x轴和点A的“垂足对称关联点”的坐标为 　 　； ②点B为点A关于直线l和点（6，﹣2）的“垂足对称关联点”，则点A到直线l的距离为 　 　； （2）如图，点C在线段AB上，点D在x轴下方，且满足OD＝1，若直线y＝x+b上存在点C关于x轴和点D的“垂足对称关联点”，求b的取值范围． 9．（2024•平谷区二模）平面直角坐标系xOy中，已知线段AB，P为线段AB上一点（不与点A、B重合），以A为圆心，AP长为半径画⊙A，以B为顶点作∠MBN，∠MBN＝β°，若角∠MBN的两边一边与⊙A相切，另一边与⊙A相交，则称线段AB与⊙A关于点P—β关联． （1）若点P为线段AB的中点，线段AB与⊙A关于点P—β关联，则满足条件的β值可以是 　 　； ①30° ②45° ③60° ④90° （2）⊙O半径为1，P是⊙O上一点，B（0，m）是y轴上一点，线段OB与⊙O关于点P﹣90关联，直接写出m的取值范围； （3）⊙O半径为1，点A是⊙O上一点，点B（5，0），线段AB与⊙A关于点P﹣60关联，若在直线y＝x+b上存在满足条件的点P，直接写出b的取值范围． 10．（2024•门头沟区二模）对于关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数为一次函数y＝kx+b（k≠0）的n级衍生函数（其中n为常数）． 例如，y＝﹣4x+1的3级衍生函数为：当x＜3时，y{x}＝﹣4x+1；当x≥3时，y{x}＝4x﹣1． （1）如果y＝x+1的4级衍生函数为y{4}， ①当x＝3时，y{4}＝　 　； ②当时，x＝　 　． （2）如果y＝2x+1的﹣2级衍生函数为y{﹣2}，求双曲线与y{﹣2}的图象的交点坐标； （3）如果以点A（0，t）为圆心，2为半径的⊙A与y＝﹣x+2的﹣1级衍生函数y{﹣1}的图象有交点，直接写出t的取值范围． 11．（2024•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线OQ的对称点P′在图形M上，则称P为图形M的关联点． （1）如图，点A（﹣2，2），B（2，2）．在点C1（1，0），C2（2，﹣2），C3（﹣2，0）中，线段AB的关联点是 　 　； （2）已知点D（﹣1，0），⊙D的半径为2，点P在直线上，若P为⊙D的关联点，求点P的横坐标xP的取值范围； （3）⊙T的圆心为（0，t），半径为3，x轴上存在⊙T的关联点，直接写出t的取值范围． 12．（2024•昌平区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转90°得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知A（0，2），B（3，1）． （1）如图2，点P是线段AB的“关联点”，在点P1（1，0），P2（0，1），P3（2，3）中，则满足条件的点是 　 　； （2）若直线y＝﹣x+b上存在点P，使点P为线段AB的“关联点”，直接写出b的取值范围； （3）以（t，0）为圆心，1为半径的⊙T，若线段AB上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围． 13．（2024•燕山二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）． ①在点C1（﹣1，1），C2（﹣1，），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是 　 　； ②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出AC，OC的长． （2）已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段MN上一点T，存在⊙O的弦PQ，使得点T是弦PQ的“关联点”，记四边形OPTQ的面积为S，当点T在线段MN上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的PQ长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$