精品解析：江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期12月阶段检测数学试题

高三年级阶段检测 数学 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知数列满足：，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 6. “函数的图象关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，则（ ） A. 函数的最小值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最小值为1 D. 函数的最小值为1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据满足：，若去掉后组成一组新数据，则（ ） A. 若，则原数据的第80百分位数为15 B. 新数据与原数据相比，中位数不变 C. 新数据与原数据相比，平均数不变 D. 新数据与原数据相比，方差变小 10. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则（ ） A. B C. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 D. 直线与双曲线的左支有两个不同的交点 11. 如图，在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ） A. 三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B 四点共面 C. 点到的最近距离为 D. 异面直线与所成角的范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则______. 13. 2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为______． 14. 如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 16. 玻璃杯成箱出售，共2箱，每箱20只.假设各箱含有只残次品的概率分别为和一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃 （1）记随机变量表示2箱玻璃杯中残次品的总数，求的分布列和期望； （2）求顾客买下该箱玻璃杯的概率. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面为棱上一点，为棱的中点，四棱锥的体积为. （1）求的长； （2）是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 在平面直角坐标系中，若点满足都是整数，则称点为格点. （1）指出椭圆上的所有格点； （2）设是抛物线上两个不同的格点，且线段的长度是正整数.求直线的斜率的所有可能值； （3）设且项数列满足：点是函数的图象上的格点.则是否存在正整数，使得数列为常数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 已知的子集和定义域同为的函数，．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“关联函数”． （1）求的所有关联函数； （2）若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围； （3）已知是定义在上的函数．若存在定义在上的函数，使得对任意正整数，都满足是的一个“关联函数”，求证：是上的严格增函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级阶段检测 数学 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，利用模长公式可得结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故选：C. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可 【详解】由题意可得，且，解得． 故选：B. 3. 已知数列满足：，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式计算可得数列的周期为2，即可得. 【详解】由可得，即； 又，可得， 所以数列是周期为2的周期数列，因此. 故选：A 4. 若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用球的体积公式和表面积公式列方程求解即可. 【详解】由题意，所以. 故选：B 5. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 即，解得. 故选：B 6. “函数的图象关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断可确定选项. 【详解】当函数图象关于点对称时，，解得，不能得到. 当时，， 由得，，函数的对称中心为， 令得对称中心为. 综上得，“函数的图象关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取弦MN的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解. 【详解】设弦MN的中点为，由，得， 由为MN的中点，得，设向量与的夹角为， ，又， 所以的最小值为. 故选：D 8. 在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，则（ ） A. 函数的最小值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最小值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象分辨和的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性即可得解. 【详解】由图可知，两个函数图象都在轴上方，则，函数单调递增， 因此实线为的图象，虚线为的图象，， 对于A，，在上单调递增，无最小值，A错误； 对于B，，由图知，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，B错误； 对于C，，由图知， 函数在上单调递增，无最小值，C错误； 对于D，，， 由图知，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，函数取得最小值，D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：区分坐标系内函数的图象，并结合图象特征求解是解题的关键. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据满足：，若去掉后组成一组新数据，则（ ） A. 若，则原数据的第80百分位数为15 B. 新数据与原数据相比，中位数不变 C. 新数据与原数据相比，平均数不变 D. 新数据与原数据相比，方差变小 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】对于A，当时，数据按从小到大顺序排列：， 由，得该组数据的第80百分位数是，A错误； 对于B，由，得原数据组为 ，原中位数与现在的中位数均为，中位数不变，B正确； 对于C，原平均数为，去掉后的平均数为，平均数不变，C正确； 对于D，原方差为， 去掉后的方差为，方差变小，D正确. 故选：BCD 10. “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 D. 直线与双曲线的左支有两个不同的交点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得，即B错误，由两直线的斜率关系可判断C正确，易知一条渐近线的斜率为，可判断D错误. 【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为， 由题黄金分割比为，且 若为黄金双曲线， 则离心率为，即A正确； 对于B，设，其中， 又在双曲线线上，所以， 两式相减可得， 即，可得， 所以，可得B错误； 对于C，易知，所以， 易知双曲线的一条渐近线斜率为， 则， 因此直线与双曲线的一条渐近线垂直，即C正确； 对于D，由离心率为可得，解得， 可得一条渐近线的斜率为， 而直线斜率， 根据渐近线性质可知直线与双曲线的左右两支各有一个交点，即D错误. 故选：AC 11. 如图，在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ） A. 三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B. 四点共面 C. 点到的最近距离为 D. 异面直线与所成角的范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A:由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积． 对于B：由线面垂直，和线线垂直，又有公共点即可判断； 对于C: 设为的中点，令为的中点,点在以为圆心，1为半径的圆上运动，作出图形， 可知当三点共线，可求最小值； 对于D：结合B、C选项可判断. 【详解】对于A：因为，所以等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1； 旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1； 所以几何体的体积为，A错误； 对于B: 在正四面体中，各个侧面都是等边三角形，又因为为棱的中点， 所以，又相交于点，又都在平面内， 所以平面，又，与平面有一个公共点， 所以在平面内，所以四点共面，故B正确； 对于C: 在图1中，令为的中点，为的中点，则点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 由图可知当三点共线，且当运动到的位置时，到的距离最小， 在中，，所以，C正确 对于D:由B、C可知，在圆锥的底面内，如图1，由圆锥轴截面中，， 由线面角的概念可知，与圆锥底面中的直线所成最小角就是，最大角一定为 由此可知异面直线与所成角的范围为，正确 故选:BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】设公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式化简计算即得. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得， 化简得，因，解得. 故答案为：9. 13. 2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】先考虑最后一棒的方案，再考虑中间两棒的方案即可. 【详解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：种； 安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：种， 由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：种. 故答案为：10 14. 如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求解. 【详解】当时，过原点作的切线， 设切点，，， 则切线方程为， 又切线过点，所以，所以. 设，则，故为增函数，且， 所以， 当时，过原点作的切线， 设切点B，， 则切线为，又切线过点 所以，又，， 因为，所以两切线垂直，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且， （1）求的大小； （2）若，求的面积． 【答案】15. 16. 【解析】 【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. 【小问1详解】 ，可得 又 【小问2详解】 由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 16. 玻璃杯成箱出售，共2箱，每箱20只.假设各箱含有只残次品的概率分别为和一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃 （1）记随机变量表示2箱玻璃杯中残次品的总数，求的分布列和期望； （2）求顾客买下该箱玻璃杯的概率. 【答案】（1）分布列见解析，期望为0.6 （2） 【解析】 【分析】（1）易知的取值为，分别求得对应概率计算期望值即可得结果； （2）利用互斥事件概率的加法公式计算可得结果. 【小问1详解】 因为事件表示“箱中恰好有只残次品”， 则. 的取值为， 则，， ，， ， 可得分布列如下： 0 1 2 3 4 所以， 【小问2详解】 设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，用表示一箱玻璃杯中残次品的个数； 易知， 所以 . 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面为棱上一点，为棱的中点，四棱锥的体积为. （1）求的长； （2）是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2； （2）存在，为上靠近点的三等分点. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质证得平面，再利用锥体体积公式求出长. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在等边三角形中，由为的中点，得， 又平面平面，平面平面平面， 则平面，即是四棱锥的高， 设，则，矩形的面积， 于是，解得， 所以长为2. 【小问2详解】 在平面内过点作，由（1）知直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然平面的一个法向量为， ，而，解得， 所以存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，为上靠近点的三等分点. 18. 在平面直角坐标系中，若点满足都是整数，则称点为格点. （1）指出椭圆上的所有格点； （2）设是抛物线上的两个不同的格点，且线段的长度是正整数.求直线的斜率的所有可能值； （3）设且项的数列满足：点是函数的图象上的格点.则是否存在正整数，使得数列为常数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）0 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据点为椭圆上的格点，结合椭圆的对称性可得到结果. （2）设且，根据题意得，从而得到直线的斜率. （3）记，为整数，根据题意得到，变形为，根据确定的值，验证发现不是正整数，从而得到不存在正整数，使得数列为常数列. 【小问1详解】 根据题意，椭圆， 当时，不满足； 当时，，不满足； 当时，，则点和为椭圆上的格点， 由椭圆的对称性可得格点：. 【小问2详解】 设且， 则为正整数，记为， 所以， 由于都是整数，所以与都是完全平方数， 故只能有， 因此，即直线的斜率为0. 小问3详解】 设存在正实数，使得数列为常数列， 记，则为整数. 由题意得，，即， 所以，且，为的因数， 所以正整数只可能使得， 经检验得，当时，不是正整数， 所以不存在正整数，使得数列为常数列. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是利用题目条件得到，根据，为正整数确定的值，验证得到不合题意，即不存在正整数，使得数列为常数列. 19. 已知的子集和定义域同为的函数，．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“关联函数”． （1）求的所有关联函数； （2）若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围； （3）已知是定义在上函数．若存在定义在上的函数，使得对任意正整数，都满足是的一个“关联函数”，求证：是上的严格增函数． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）要根据“S关联函数”的定义找出满足条件的函数； （2）需要利用导数分析函数单调性结合定义求出m的取值范围； （3）要从充分性和必要性两个方面进行证明. 【小问1详解】 设是的关联函数. 对于任意，当时，. 因为，所以， 设，则， 令，，那么. 所以的关联函数为. 【小问2详解】 因为是其自身的一个关联函数. 对任意，当时， 设，（），则. 展开得. 对求导，. 因为在上单调递增，所以在上恒成立. 即在上恒成立，设，. 令，得. 在上递减，在上递增，. 所以. 【小问3详解】 因为存在定义在上的函数，使得对于任意正整数，都满足是的一个关联函数. 所以对任意，当时，有， 取，则， 取，则， 取，则， 因为 所以 若，则存在，使得，此时，矛盾， 所以， 所以对任意，对于任意正整数，当时， 有， 可得当时，， 则对于任意整数，在上单调递增， 当时，存在整数，使得， 则可得， 则是上的严格增函数. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $