2.4.1线段垂直平分线的性质和判定课件 2024-2025学年湘教版八年级数学上册

第2章 三角形 数学中的一些美丽定理具有这样的特征，它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏很深----高斯 慈利政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ 情境引入 知识回顾：在同一平面内，两条直线的位置关系有哪些？ 相交、平行 探究新知 活动1 1.请用自己的语言描述下列图形中线段和直线的位置关系。 2.将图形分类，并用适当的形式表示出来。 （2）（8） （3）（6） （5）（7） (1)（4） 问题： 1.（5）和（7）具有的特点是： 2.你能给这样的直线起个名字吗？ 3.你能给具有这样特点的直线下定义吗？ 直线把线段垂直且平分 垂直平分线 垂直于一条线段且平分这条线段直线叫垂直平分线 探究新知 探究新知 线段垂直平分线的概念： 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（又叫作中垂线） 线段垂直平分线的特点： ①垂直于线段 ②平分线段 ③直线 探究新知 活动2 在线段AB的垂直平分线上取一点P，连接PA，并且保持P点和A点不动，点C是线段AB上任意一点，移动点C，比较线段PC和PA的大小关系。如图： 归纳概括：当点C在线段AB上移动时： 当点C移动到线段端点点B时： PA＞PC PA=PC https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#share/cf205ef0-8932-11ef-a146-55dde1a640ce 探究新知 PA=PB（距离相等） 垂直平分线上的点 线段两端点 PA=PB用语言可以描述为： 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 是不是垂直平分线上所有的点都是这样呢？ 探究新知 活动3 固定点A和点B在垂直平分线上任取一点P,移动点P,观察PA,PB长度的变化，如图： https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#share/cf205ef0-8932-11ef-a146-55dde1a640ce 归纳概括：无论点P是直线上的哪一点，线段PA=PB. 探究新知 小结： 线段垂直平分线的性质定理： 几何语言： ∵点P 在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等。 练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . 探究新知 探究新知 小结：线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 探究新知 典例精讲 例题：已知：如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC. 求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上. 证明：∵ 点 O 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴ OA = OB. ∴ OA = OC. ∴ 点 O 在 AC 的垂直平分线上. 同理 OB = OC. 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定导入里购物中心的位置，使它到三个小区的距离相等吗？ 新知应用 1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的 是（　　） A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C. AB 与 CD 互相垂直平分 D. CD 平分∠ACB 2. 在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC 的 ( ) A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 3. 已知线段 AB，在平面内找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有 　　　种. 4. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E ，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则 △BCE 的周长是 cm. 6. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O. 求证：AO = BO. 课堂总结 $$